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§10.6 二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．n次独立重复试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下 n次伯努利试验，约定这n次试验是 的，此时这n次伯努利
试验也常称为n次独立重复试验．
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复
试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝
(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
由于表中的第二行中的概率值恰好是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…
＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作 ．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ ．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，
用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝t，t＋1，t
＋2，…，s，其中，n，N，M∈N ，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，
＋
M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φ (x)对应的正态曲线与x轴
μ，σ
在区间[a，b]内围成的 ，则称X服从参数为μ与σ的 ．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称；
②曲线在 处达到峰值；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ，
P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ，
P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ .
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值
E(X)＝，方差D(X)＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取 3次，则取到红球的个数X
服从超几何分布．( )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( )
2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则 P(X＝1)＝
____.
题型一 二项分布
例1 (2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，
工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、
丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；
方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器．
(1)对于方案一，设 X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求 X的分布列与均值
E(X)；________________________________________________________________________
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(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判
断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
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跟踪训练1 (2023·太原模拟)第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、
乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知
甲每次射进点球的概率为，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为，从
第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为，若前
一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为.
(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的分布列和均值；
(2)求乙总得分为100分的概率．
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题型二 超几何分布
例2 (2023·宿州质检)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集
群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计
智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，
若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值．
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思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，
考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练2 (2024·安庆模拟)乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣、亲近自然、寻味
乡愁的美好追求．某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，
随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
民宿点 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛
普通型民宿 16 8 12 14 13 18 9 20
品质型民宿 6 16 4 10 11 10 9 12
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下
求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，
求X的分布列和均值．
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题型三 正态分布
例3 (1)(2023·烟台模拟)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备
受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100
km)情况，随机调查得到了1 200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，
若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有( )
A．180辆 B．360辆
C．600辆 D．840辆
(2)(2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐
公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时 X和骑自行车用
时Y都近似服从正态分布．绘制了正态曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行
车( )
A．有26 min可用 B．有30 min可用
C．有34 min可用 D．有38 min可用跟踪训练3 (1)(2024·佛山模拟)佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖
享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N(800，σ2)，且P(X<801)＝0.6，
现从该生产线上随机抽取 10 片瓷砖，记 Y 表示 800≤X<801 的瓷砖片数，则 E(Y)＝
________.
(2)(2023·唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400,16)，随机抽取10 000袋，则
袋装质量在区间(396,408]的约有________袋．(质量单位：g)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋
2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.
