文档内容
第 08 讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (精
练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建省德化第一中学高二期末）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学
每天的学习时间（小时）服从正态分布 ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为
（ ）. 附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
A．12 B．16 C．30 D．32
【答案】B
【详解】由题意可知 ，所以 ,所以每天学
习时间超过10小时的人数为 ，
故选：B
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知随机变量 ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：
，解得 ，则 ．
故选：C
3．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中
任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】全部都是二等品的概率为 ，故至少有1个是一等品的概率为 .故选：D.
4．（2022·河南商丘·高二期末（理））在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若
事件A至少发生一次的概率为 ，则事件A发生次数 的期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设事件A在每次试验中发生的概率为p，
由题意知，事件A一次也没发生的概率为 ，则 ，解得 ．
事件A发生的次数 服从二项分布 ，故 ．
故选:A．
5．（2022·广东清远·高二期末）已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，故 ，故 ，因为 ，解得 .故
，故
故选：B
6．（2022·山东菏泽·高二期末）已知两个随机变量 ， ，其中 ， （ ），
若 ，且 ，则 （ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【详解】由 可得 ，即 .又 ，由正态分布曲线的对称
性可得
故选：D
7．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收
费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量 ，若
，则当 时下列说法正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因 ，且 ，则有 ，即 ，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
8．（2022·全国·高二课时练习）1654年，德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近
遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20
局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒，酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以
喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负，那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和
酒吧老板付费．猜测最后付费的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
【答案】B
【详解】由题意，可得肖恩每局获胜的概率为 ，尤瑟纳尔每局获胜的概率为 ，比赛
采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，则
，
，
，
，
由 ，知 ，
所以最后付费的最有可能是尤瑟纳尔．故A，C，D错误.
故选：B．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一
批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，
员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B
抽取到的3件产品中次品数量为Y， ，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则 ，
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得 ，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
10．（2022·全国·高二单元测试）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研
究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得
出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数 ， ，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在 和在 的概率一样大
【答案】AC
【详解】因为正态分布密度函数为 ，
所以 ， ，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；
根据正态曲线的特征可知函数 关于 轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株
高在80cm以下的数量一样多，故C正确，
随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在 和在 的概率一样大.故D错误．
故选：AC.
三、填空题
11．（2022·福建龙岩·高二期中）甲、乙两人进行跳棋比赛，约定7局4胜制，即谁先赢得4局比赛谁获胜，
后面的比赛不需进行．已知每局比赛甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是 ，若比赛已经进行了3局，甲
以 领先，则最终甲以 赢得比赛的概率是______．
【答案】 ##0.1728
【详解】依题意，最后4局比赛的前3局，甲胜1局，最后一局甲胜，其概率为 ，所以最终甲以 赢得比赛的概率是 .
故答案为：
12．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平
行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端
放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子
从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入
100粒小球，则落入2号格的小球大约有______粒．
【答案】16
【详解】解：设 “向右下落”， “向左下落”，且 ，
设 ，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以 ,
于是 ，
所以 ，
故投入100粒小球，则落入2号格的小球大约有 粒.
故答案为：16.
四、解答题
13．（2022·北京大兴·高二期末）某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随
机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
6
直径/mm 58 59 61 62 63 64 66 67 68 69 70 71 73 合计
5
3
件数 1 1 3 5 6 19 18 4 4 2 1 2 1 100
3
经计算，样本均值 ，标准差 ，以频率值作为概率的估计值.将直径小于等于 或大于等
于 的零件认为是次品.(1)若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为 ，求 的估计值；
(2)记 为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求 的分布列（用 表示）， ， .
【答案】(1)
(2)分布列见解析； ．
(1)解：由条件可知： ， ，所以样本中次品共6件，则从样本中随机抽取一件，
该零件为次品的概率为 .
(2)从流水线上抽取次品，则每件产品为次品的概率为 .
则 ， 的可能取值为 ，
，
，
，
0 1 2 3
所以 ， .
14．（2022·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活
动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试（满分100分），并随机抽取50名学生的成绩
进行统计，将其分成以下6组： ， ， ， ， ， ，整理得到如图
所示的频率分布直方图.(1)求图中 的值；
(2)试估计全校学生成绩的第80百分位数；
(3)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用 表示成绩在 中的人
数，求随机变量 的分布列.
【答案】(1)
(2)估计全校学生成绩的第80百分位数为85
(3)分布列见解析
(1)由题意得： ，
解得： ；
(2)设全校学生成绩的第80百分位数为 ，
， ， ，
， ，
估计全校学生成绩的第80百分位数为85；
(3)因为成绩在 与 的学生比例为2:1，
所以从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人，此人成绩在 的概率为 ，
故 ，
则 ， ，
用表格表示 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
B 能力提升
15．（2022·浙江·高三专题练习）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的
各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值
代替)；
(2)设该公路上机动车的行车速度 服从正态分布 ，其中 ， 分别取自该调查样本中机动车的平
均车速和车速的方差 (经计算 ).
①请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)；
②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为 ，求 的数学期望.
【答案】(1) 千米/时
(2)① 辆；②
(1)解：根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
千米/时.
所以这1000辆机动车的平均车速为： 千米/时
(2)解：由（1）得，该公路上机动车的行车速度 服从正态分布 ，
可得 ，
（i）可得 ，
所以10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数 辆.
（ii）由（i）知：车速低于85千米/时的概率为 ，
从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，相互独立且每辆车的概率是相等的，
则车速低于85千米/时的车辆数为 ，则 ，
所以期望为 .
16．（2022·全国·高二单元测试）第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学举行．为做好本次考试
的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照 ， ， ， ， ， 分成6组，
制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在 ， ， 的三组中抽取11人，再从
这11人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在 的为A等级，成绩在 的为B等级，其他为C等级．以样本
估计总体，用频率代替概率，从所有参赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为 ，求
的数学期望和方差．
【答案】(1) ，68
(2)分布列见解析，
(3)数学期望40，方差24
（1） ，解得 ．
前两组的频率之和为 ，
前三组的频率之和为 ，
设中位数为 ，则 ，
所以 ，解得 ．
（2） ， ， 三组数据频率比为 ，
所以从 ， ， 三组中分别抽取7人、3人、1人．
的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ．
所以 的分布列为0 1 2 3
P
．（或由 服从参数为11，3，3的超几何分布，得
．）
（3） 的频率为 ，
由题意知 ，
所以 ，
．
17．（2022·全国·高二课时练习）已知小田开小汽车上班的道路A有5个红绿灯路口（只有红灯和绿灯），
小田到达每一个路口遇到红灯的概率都为 ，遇到绿灯的概率都为 ．
(1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5min，在路口遇到红灯的平均等待时间为
1min，每两个路口之间的行驶时间为2min，求小田从出门到办公室的平均时间．
(2)小田骑电动车上班的道路B只有3个红绿灯路口（只有红灯和绿灯）．
①若小田到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为 ，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个
路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为 ，求小田遇到红灯个数的平均值；
②若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4min，在路口遇到红灯的平均等待时间为
1min，每两个路口之间的行驶时间为5min，从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？
【答案】(1)20min.
(2)① ；②小田上班骑电动车较好．
（1）设小田遇到红灯的个数为 ，则 ，
设小田从出门到办公室的时间为X min，则 ，
所以 ，
所以小田从出门到办公室的平均时间为20min．
（2）①设小田骑电动车遇到红灯的个数为 ，则 的可能取值为0，1，2，3，
，，
，
，
所以 ，
所以小田遇到红灯个数的平均值为 ．
②设小田骑电动车从出门到办公室的时间为Y min，
则 ，
所以 ，
所以小田上班骑电动车较好．
C 综合素养
18．（2022·河北·高三阶段练习）某防护服生产企业为了奖励员工的辛勤劳动和提升员工工作效率，决定
制定一个奖励方案，首先从1000名员工中随机抽取50人进行统计平均每天完成防护服的件数，统计如下
表所示：
平均每天完成件数X
人数 6 14 22 5 3
(1)请根据表中数据估计样本数据的平均数 ；（每组完成件数区间以区间中点进行估计）；
(2)经过企业领导研讨，决定分层次对优秀员工进行物质奖励，首先预设全体员工平均每天完成件数X服从
正态分布 ，其中 为（1）中的 ， ．其次根据表中样本数据的频率近似为总体的频率，
奖励分三个等级： 、 、 ，分别对应每人价值50元、
100元、200元的物品奖励，若该等级员工频率不低于预设的概率，则该等级的每位员工的奖励翻倍，求该
企业需要准备的奖品总价值的期望．
附：若X服从正态分布 ，则 ， ，
．
【答案】(1)57
(2)65600元
(1)
(2)由（1）知 ，根据表格数据可知X在区间 的频率为，
预设的概率为 ；
X在区间 的频率为 ，
而预设的概率为 ；
X在区间 的频率为 ，
而老板的期望概率为 ；
故该企业奖励的物品总价值Y的期望
元．
19．（2022·湖南·南县第一中学高二期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径
的数据如下（单位：cm）：
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
设这10个数据的平均值为 ，标准差为 ．
(1)求 与 ；
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布 ．
（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求 ；
（ii）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：cm）分别为
86，95，103，109，118．以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【答案】(1) =105；
(2)（i） ；（ii）需要进一步调试，理由见解析
(1) ，
，则 ．
(2)（ⅰ）∵Z服从正态分布 ，
∴ ，则 ，
∴ ．（ⅱ）∵Z服从正态分布 ，
∴ ，
∴5个零件中恰有一个内径不在 的概率为 ，
∵ ，∴试生产的5个零件就出现了1个不在 内，
出现的频率是0.013365的15倍左右，根据 原则，需要进一步调试．
