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第 8 节 二项分布与超几何分布、正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问
题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进
行n次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 .
(2)二项分布
一般地，在 n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p(0＜p＜
1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ，k＝
0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记
作 X ～ B ( n ， p ) .
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) .
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) .
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k
＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝
max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，
那么称随机变量X服从超几何分布.
4.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参
数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
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①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称.
②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1.二项分布当n＝1时就是两点分布.
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称
和曲线与x轴之间的面积为1解题.
3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概
率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事
件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重
复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A
恰好发生了k次的概率.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分
布.( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分
布.( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.(2022·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了 3个球，恰
好是2个白球、1个红球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问
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题，故所求概率为P＝＝.
3.(易错题)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛
可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概
率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的
次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为
C××＝.
4.(2022·石家庄模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的
概率是，乙赢的概率是，则甲以3∶1获胜的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以
3∶1获胜的概率是P＝C×××＝.
5.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，σ2)，下列结论中
不正确的是( )
A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
答案 D
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以
测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度
曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为 0.5，故 B 正确；对于
C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10.01的概率
与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在
(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，
10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误.
6.(易错题)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X
