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§10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成
的随机试验称为 n 重伯努利试验 ．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参
数，则称随机变量X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
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(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √
)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取 3次，则取到红球的个数X
服从超几何分布．( × )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( × )
教材改编题
1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下 5粒这样的种子，恰有2粒不
发芽的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×2＝，故播下5粒这样的种子，恰
有2粒不发芽的概率为.
2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 N(80,102)，则理论上在80分到
90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
答案 B
解析 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7.根据正态
密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一
半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16.
3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则 P(X＝1)＝
________.
答案
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解析 由题意得，P(X＝1)＝＝.
题型一 二项分布
例1 (1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏
幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不
同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且
每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均
值是( )
A．10分钟 B．5分钟
C．4分钟 D．2分钟
答案 C
解析 每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为＝，
设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意得，X～B，E(X)＝8×＝0.8，
设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位：分钟)，
则E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分钟)．
(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲
成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金 20 万元；创业项目乙成功的概率为
P(0E(30X)，即>60P，解得02.5)＝________.
答案 0.14
解析 因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2120)＝≈0.16，
故估计该班数学得分大于120分的学生人数约为0.16×50＝8.
3．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相
等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木
块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间
隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向
右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状
的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，
向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为，
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故小球落到第⑤个格子的概率P＝C×4×1＝.
4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论
中正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 ABC
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落
在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于 10.01的概率与小于
9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所
以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0D(ξ)
1 2 1 2
C．E(ξ)＝E(ξ)，D(ξ)E(ξ)，D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
答案 B
解析 依题意知，ξ 的所有可能取值为0,1,2，ξ～B，
1 1
所以E(ξ)＝2×＝，D(ξ)＝2××＝；
1 1
当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ，则ξ 的所有可能取值为0,1，
2 2
P(ξ＝0)＝×＝，
2
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
2
所以E(ξ)＝0×＋1×＝，D(ξ)＝2×＋2×＝.
2 2
所以E(ξ)＝E(ξ)，D(ξ)>D(ξ)．
1 2 1 2
7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中
随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．
答案
解析 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝.
8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成
为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市
2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成
绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 5 10 25 30 20 10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似
为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝
________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结
果四舍五入精确到个位)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954
5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
答案 73 1 587
解析 由题意知，μ≈＝73.
易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈＝0.158 65，
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故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10 000×0.158 65≈1 587.
9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自
定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序
能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从 10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全
部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知 10个程序中，
甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
解 (1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝
C2×＋3＝.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．
10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，
“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了
降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行
了统计整理，其中数据如表所示.
消费金额(千元) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15]
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训
转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消
费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调
查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；
(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态
分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用
该组区间的中点值替代)．
①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；
②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，
求η的方差．
参考数据：≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ
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＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为×5＝2，消费金额在区间
[11,13)内的人数为×5＝3，
设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)①由题意得，μ＝＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，
σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，
所以σ＝＝2≈2.8，
所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈≈0.8.
②由题意及①得η～B，n＝4，p＝，
所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝.
11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A＝aaaaa(例如10
1 2 3 4 5
100)，其中A的各位数a(k＝2,3,4,5)中，出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a ＋a ＋
k 2 3
a＋a，则当程序运行一次时，下列选项正确的是( )
4 5
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
答案 AC
解析 由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，
且每个数位上的数字互不影响，X的分布列为P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
故X～B，故A正确；
P(X＝1)＝C×1×3＝，故B错误；
E(X)＝4×＝，故C正确；
D(X)＝4××＝，故D错误．
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12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者
队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取
的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________
若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝________.
答案
解析 记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，
则P(AB)＝P(A)＝＝，P(B)＝1－＝，
故P(A|B)＝＝＝，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是
男志愿者”的概率是，
由题意可知，X服从超几何分布，E(X)＝3×＝.
13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～
C(γ，x)，其中当γ＝1，x ＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝.已知X
0 0
～C(1,0)，P(|X|≤)＝，P(1
