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第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
【知识点总结】
一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量 的分布列.
表13-1
…
① ;
② .
（2） 表示 的期望： ，反应随机变量的平均水平，若随机变量 满足
，则 .
（3） 表示 的方差： ，反映随机变量 取值的波动
性。 越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量 满足 ，则 。
二、几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称0，1分布）
0 1
1-
= ， = .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在 次独立重复实验中恰好发生
次概率 ，称 服从参数为 的二项分布，记作
， = ， = .
（3）超几何分布：总数为 的两类物品，其中一类为 件，从 中取 件恰含 中的 件，
，其中 为 与 的较小者， ，称 服从参数为 的超几
何分布，记作 ，此时有公式 。三、正态分布（1）若 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中
是参数，且 ， ）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在 轴上方，并且关于直线 对称；
②曲线在 处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”；
④ 图像与 轴之间的面积为1.
（2） = ， = ，记作 .
当 时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则 在 ， ， 上取值的概率分
别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的 原则。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友 ，
如果 猜中， 将获得红包里的所有金额；如果 未猜中， 将当前的红包转发给朋友 ，如果 猜中，
， 平分红包里的金额；如果 未猜中， 将当前的红包转发给朋友 ，如果 猜中， ， 和 平分
红包里的金额；如果 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设 ， ，C猜中的概率分别为 ， ，
，且 ， ， 是否猜中互不影响．
（1）求 恰好获得4元的概率；
（2）设 获得的金额为 元，求 的概率分布．【解析】解：依题意，当且仅当 猜中时 恰好获得 元，
∴ 恰好获得 元的概率为 .
（2）解： 的所有可能取值为 ，
，
，
，
，
∴ 的概率分布为
0 4 6 12
例2．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量 的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的
概率．
【详解】
试题解析：(1)当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有6种情况,所以
,由互斥事件概率公式得, )
所以所求分布列是
0 1
(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为或
例3．（2021·北京市第五中学通州校区高三阶段练习）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停
课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年
级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，
4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小
时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，
记抽到的甲班学生人数为 ，求 的分布列和均值；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小．（只需写出结
论）
【解析】
（1）由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为
．
故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为 ．
（2）甲班每天学习时间不足4小时的人数约为 ，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为
，
所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数 的可能
取值为0，1，2，且 服从超几何分布，， ， ，
所以 的分布列为0 1 2
方法一： ．
方法二： ．
（3）从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据
相比甲班较为分散，故 ．
例4．（2022·全国·高三专题练习）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比
赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是 ，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
【详解】
解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相
同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量 ，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知， ，则 ,
,,
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以期望 ．
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红
色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩
作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区间中点
值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，
再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在 内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布 ，已知样本数据的方差为121，用平均分 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据： ， ， ．【详解】
解：（1）由频率分布直方图可得， ，
解得 ．
这组样本数据的平均数为
．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；
（2）自频率分布直方图可知，成绩在 ， 内的频率分别为0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，成绩在 内的有5人，成绩在 内的有2人．
记事件 这3人至少有1人成绩在 内
则 ；
（3）由题意知，样本方差 ，故 ，
所以竞赛成绩
该校竞赛的及格率 ．
例6．（2022·全国·高三专题练习）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全
民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例
发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频
率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差 .①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 ，令 ，则
，且 .利用直方图得到的正态分布，求 ．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求
(结果精确到 )以及 的均值．
参考数据： ， .若 ，则 .
【解析】
（1） ，
（2）①由题意知 ， ，∴ ．
， .
②由①知 ，
可得 ，
.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·江苏·高三专题练习）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有
放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（
）
A．5 B．9 C．10 D．25
【答案】B【分析】
根据每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个可得答案.
【详解】
由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球
号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ
表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3 4
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【答案】C
【分析】
先求出随机变量ξ的可能取值，再计算相应的概率，从而得出分布列.
【详解】
随机变量ξ的可能取值为1，2，3故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m (k＝1，2，3)，则m的值为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由分布列的性质得出m的值.
【详解】
由分布列的性质得
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）随机变量 的概率分布为 ， ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出 ， ，再根据两点分布的方差公式计算可得；
【详解】
解：由题意，得 ，∴ ， ．
由题意知随机变量 服从参数为 的两点分布，故 ．
故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量 的分布列为 ，则
等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
随机变量 的分布列的性质求出 的值，再根据 ，代入对
应概率，即可求出结果．
【详解】
由题意知，概率分布为
由 ，
解得 .
所以 .
故选:C.
6．（2022·浙江·高三专题练习）某射手射击所得环数 的分布列下表：已知 的数学期望 ，则
的值为（ ）
7 8 9 10
0.1 0.3
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出 的值．
【详解】
解： 的数学期望 ，由射手射击所得环数 的分布列，得 ，解得 ， ．
故选： ．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，若 ，则 （
）
X 0 1
P a b
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】C
【分析】
利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出 ， ，由此能求出方差，再根据方
差的性质计算可得．
【详解】
解：依题意可得 ，解得 ，所以
所以
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）某射手射击所得环数 的分布列如下：
7 8 9 10
已知 的数学期望 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
根据分布列的概率之和是 ，得到关于 和 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于 和之间的一个关系式，联立方程，解得 的值.
【详解】
由题意可知： ，
解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在
学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．
9．（2022·全国·高三专题练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3
人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由 得出所求概率.
【详解】
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级
参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则
等于
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
求出 ,即得解.【详解】
由题得 ,
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．（2022·全国·高三专题练习）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，
起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世
界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，
则为和局.小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得每局比赛中小华胜、和、输的概率都为 ，再由相互独立事件的概率乘法以及二项分布的概率
计算公式即可求解.
【详解】
根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，
可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为 ，
小华获胜有三种情况：
①小华连胜三局，概率为 ，
②小华前三局中两胜另一局不胜，第四局小华胜，概率为：P＝ ，
2
③小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜，概率为：P＝ ，
3
∴小华获胜的概率是P＝P＋P＋P＝ .
1 2 3
故选：D.
12．（2022·浙江·高三专题练习）设随机变量 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用二项分布求解即可
【详解】
解得
故选：A
13．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二项分布列式 ，计算出 ，然后利用正态分布的特点计算 的值.
【详解】
由题意， ，解得 ，则 ，所以.
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X
表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】
因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为 ．从中取3次， 为取得次品的次数，则
,
,选择D答案．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．
15．（2022·浙江·高三专题练习）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比
赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资
格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是 ，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
由题意可知五场中获胜的场次 ，
所求选手能参加决赛的概率 .
故选：D
16．（2022·浙江·高三专题练习）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中．已知小球每次遇到黑色
障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 袋中的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二项分布概率公式计算即得.
【详解】
由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，
所以 ．
故选：C．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 的分布列为：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
则 等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【答案】A
【分析】
利用期望的公式求得 ，根据 ，即可求解.
【详解】
由随机变量 的分布列，可得期望 ，
所以 .
故选：A.18．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据 ， ，可得 ，然后简单计算即可.
【详解】
由题可知: , ，所以
所以
故选：A
19．（2022·全国·高三专题练习）某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三
个电子元件按如图方式连接而成，若元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则该部件正常工作.由
大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布 ，且各个元件能否
正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取 台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独
立），那么这 台仪器中该部件的使用寿命超过 小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算得出 台仪器中该部件的使用寿命超过 小时的台数服从二项分布 ，利用二项分布
的期望公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该部件每个元件正常工作超过 小时的概率均为 ，则该部件正常工作超过 小时的概率为 ，
所以 台仪器中该部件的使用寿命超过 小时的台数服从二项分布 ，
故所求均值为 .
故选：C.
20．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题可根据二项分布的期望与方差的相关计算得出结果.
【详解】
因为随机变量 ，
所以 ， ，
所以 ， ，D项错误，
故选：D.
21．（2022·全国·高三专题练习（理））由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况
为
X(甲得分) 0 1 2
1
P 0.2 0.5 0.3
X(乙得分) 0 1 2
2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定【答案】A
【详解】∵E(X)＝E(X)＝1.1，
1 2
D(X)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
1
D(X)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
2
∴D(X)0)，统计结果显示
P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的
有（ ）人
A．78 B．156
C．234 D．390
【答案】A
【分析】
根据正态分布的对称性得到120分以上的人数占比为0.1，再计算人数得到答案.
【详解】
因为成绩 ，所以其正态曲线关于直线 对称， ，根据对称性知成绩
在120分以上的人数约为总人数的 ，
所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人，
故选：A.
31．（2022·全国·高三专题练习）某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩 .若已知 ，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为（
）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
【答案】D【分析】
由已知得 ，再根据正态分布的对称性求得 ，由此可得答案.
【详解】
解：因为学生成绩 服从正态分布 ，所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，
则 （ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
【答案】C
【分析】
由 ，结合对称性可知， ，从而求得 的值．
【详解】
解： 随机变量 服从正态分布 ，且 ，
由对称性可知， ，又 ， ，
故选：C．
33．（2022·全国·高三专题练习（理））设X~N（1，1），且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形
ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若 ，则 ≈0.6827
A．75385 B．60375 C．70275 D．65865【答案】D
【分析】
利用正态曲线的对称性分析求解即可．
【详解】
解：因为 ， ，
向正方形 中随机投掷一个点，这个点落在阴影部分的概率为 ，
所以阴影部分的 ．
故选： ．
34．（2022·全国·高三专题练习）某班有 名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为
，标准差为 ，理论上说在 分到 分的人数约为（ ）
附：若随机变量 ，则 ， ，
.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算出 ，乘以 即可得解.
【详解】
因为数学成绩 服从正态分布 ，所以， ，
所以， ，
因此，理论上说在 分到 分的人数约为 .
故选：B.
二、多选题
35．（2022·全国·高三专题练习）某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游
览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量 表
示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）A．游客至多游览一个景点的概率 B．C． D．
【答案】ABD
【分析】
利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量 的可能取值，计算对应
的概率值，求出数学期望，来判断BCD.
【详解】
解：记该游客游览 个景点为事件 ， ，
则 ，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为 ，故A正确；
随机变量 的可能取值为
，
，
，故B正确；
，
，故C错误；
数学期望为： ，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在
一个袋中装有大小一样的 个豆沙粽， 个咸肉粽，现从中任取 个粽子，设取出的 个粽子中咸肉粽的个数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量 服从二项分布
C．随机变量 服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【分析】
根据 服从超几何分布可判断BC选项的正误，利用超几何分布的概率公式可判断AD选项的正误.
【详解】
由题意知，随机变量 服从超几何分布，故B错误，C正确；
， ，
所以 ，故AD正确．
故选：ACD．
37．（2022·全国·高三专题练习）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低
潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温
误差，且 ，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布 ，则
， （ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据正态分布的知识可以确定A，再根据正态曲线的对称性确定B,C,D.
【详解】
依题意 ，所以 ， ，即 ， ，故A错误；
由于 ，所以 ，故B正确；由于 ， ，所以 ，故C正确.
由于 ， ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.38．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量 ，则
B．已知随机变量 ， 满足 ，且 ，则
C．线性回归模型中，相关系数 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强.
D．设 ，则 越大，正太分布曲线越矮胖
【答案】ACD
【分析】
根据二项分布的方差公式即可判断A；根据均值的性质可判断B；根据相关系数的定义可判断C；根据正
态分布的性质判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：随机变量 ，则 ，故选项A正确；
对于B：已知随机变量 ， 满足 ，所以 ，由 可知
，所以 ，故选项B不正确；
对于C：线性回归模型中，相关系数 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故选项C正确；
对于D：若 ， 越大说明越离散，正太分布曲线越矮胖，故选项D正确；
故选：ACD.
三、双空题
39．（2022·全国·高三专题练习）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道
进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为 ，则甲通
过自主招生初试的概率为______， ______.
【答案】 3
【分析】
的可能值分别为 ，计算出各概率， 是初试通过的概率，可由分布列计算出期望．【详解】依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 .由于 的可能
取值为2，3，4， ，故 .
故答案为： ；3．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知某品牌电子元件的使用寿命 （单位：天）服从正态分布 .
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过 天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在 天后仍能正常工作（要求 能正常工作，
， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若 ，则 ）
【答案】 ##
【分析】
由题设可知 ，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过 天的概率，应用独立事件
的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在 天后仍能正常工作的概率.
【详解】
由题设知： ，
∴ .
由题意，要使电路能正常工作的概率 .
故答案为： ， .
四、填空题
41．（2022·全国·高三专题练习）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
【答案】【分析】
先求出随机变量的可能取值，再分别求出概率即可.
【详解】
解：取出的 只红球个数可能为： 、 、 、 个，黑球相应个数为： 、 、 、 个
所以 时，
所以
故答案为： .
42．（2022·全国·高三专题练习）随机变量 ， ，若 ，
，则 ________
【答案】
【分析】
利用二项分布概率公式求得 ，再利用正态分布的对称性求解 的值.
【详解】
∵随机变量服从 ，符合二项分布，
由二项分布概率公式： 得：
∴ ，
解得 ，
又 ，
∴ .
故答案为： .
43．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量 ，则 ______.
【答案】【分析】
利用独立重复试验的概率计算公式 ，直接计算即可.
【详解】
因为 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查独立重复试验的概率计算，难度较易.注意熟练掌握独立重复试验的概率计算公式：
.
44．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概
率为 ，乙胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概
率为 .现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数 的数学期望为______.
【答案】4
【分析】
根据比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为 求得每局比赛甲胜的概率 ，再根据二项分布的
有关知识求甲胜的局数 的数学期望.
【详解】
先因为比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为 ，
每局比赛甲胜的概率 ，所以 ，解得 ，
所以每局比赛甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 .
由题意可知，随机变量 服从二项分布 ，
所以 ，
故甲胜的局数 的数学期望为4.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布，关键是求出每局比赛甲胜的概率.
45．（2022·重庆市育才中学模拟预测）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是 ，击中目标后
射击停止，射击次数X为随机变量，则方差 ______．【答案】
【分析】
根据某人共有三发子弹可得 ，2，3，然后求得其相应概率，再由期望公式求 、 ，最后
根据 求值.
【详解】
由题意知： ，2，3，
， ， ，
∴ 的分布列为：
1 2 3
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
46．（2022·全国·高三专题练习）随机变量 的概率分布为
0 1
且 ，则 ________.
【答案】
【分析】
利用离散型随机变量及其分布列的概率和为1，求出 的值，根据期望 ，求出 的值，再根据
方差的公式，即可求出结果.
【详解】由 ，得 ，∵ ，
∴ ，得 ，
∴ .
故答案为： .
47．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为____
【答案】
【分析】
先求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.
【详解】
因为E（X）＝－ ＋ ＝－ ，所以E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－ ＋3＝ .
故答案为：
48．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量 ，且 ，则 _________．
【答案】1
【分析】
由 求出 ，再求得 ，进而求得 .
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故
.故答案为：1.
【点睛】
结论点睛：（1）若随机变量 ，则 ， ；
（2） ， .
49．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量 ，且 ，则
______．
【答案】
【分析】
由正态分布曲线的对称性，求得 ，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意，随机变量 ，且 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 ，
所以 .
故答案为： .
50．（2022·全国·高三专题练习）某校在一次月考中约有 人参加考试，数学考试的成绩 （
，试卷满分 分），统计结果显示数学考试成绩在 分到 分之间的人数约为总人数的 ，则此
次月考中数学考试成绩不低于 分的学生约有__________人.
【答案】
【详解】
试题分析：∵成绩ξ~N(90，a2)，
∴其正态曲线关于直线x=90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的由对称性知:
成绩在110分以上的人数约为总人数的 ，
∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有: ×600=120.
考点：正态分布.
五、解答题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．
（1）求 ；
（2）若 ，写出Y的分布列．
【答案】
（1）0.7
（2）答案见解析．
【分析】
（1）根据二项分布的概念求解；
（2）求出 的可能值，写出分布列即可．
（1）
．
（2）
时， ， 时， ，
所以 的分布列为：
1 3
0.7 0.3
52．（2022·全国·高三专题练习）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共
和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城
市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志
愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，
从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.若参加这次考核的志愿者考核成绩在 内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为
X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）考核等级为优秀的男志愿者人数为5，考核等级为优秀的女志愿者人数为7；（2）分布列见
解析，期望为 .
【分析】
（1）根据频率分布表求出女志愿者的人数，由概率和等于 求出 ，进而根据概率与志愿者总人数可求出
优秀人数.（2）根据超几何分布求出分布列，再由分布列以及期望计算公式即可求解.
【详解】
解：（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为 .
因为 ，所以 ，
所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为 .因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是 .
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为
，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为 .
（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3.
， ，
， .
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故
53．（2022·全国·高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，
蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用 表示取到的豆沙粽的个数，求 的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2） .
【分析】
（1）首先求随机变量 ，再利用古典概型求概率；
（2）根据（1）的结果求概率.
【详解】
（1）由条件可知 ，
， ， ，所以 的分布列，如下表，（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率 .
54．（2022·全国·高三专题练习）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世
界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新
西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、
三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如
下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个
水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， 表示抽取的优级水果的数量，求 的分布列
及数学期望 ．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为 ．
【分析】
（1）先求出抽到二等级别水果的频率，从而可得抽到二等级别水果的概率为 ，所以随机抽取6个，若设
抽到二等级别水果的个数为 ，则 ，然后利用二项分布的概率公式求解即可，
（2）利用分层抽样可得抽取的10个中其中优级水果有3个，非优级水果有7个，则可得优级水果的数量
服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求各自对应的概率，从而
可求得 的分布列及数学期望
【详解】
解：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为 ，
则 ，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为 ，则 ，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为 ．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量 服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则 ， ，
， ．
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
所以 ．
55．（2022·全国·高三专题练习）某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，
3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数 的分布列.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【分析】
（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列.
【详解】
（1） 名同学中，会法语的人数为 人，
从 人中选派 人，共有 种选法；其中恰有 人会法语共有 种选法；
选派的 人中恰有 人会法语的概率 .
（2）由题意可知： 所有可能的取值为 ，； ；
； ；
的分布列为：【点睛】
56．（2022·全国·高三专题练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，
具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，
通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A，A，
1 2
A，A，A，A 和4名女志愿者B，B，B，B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心
3 4 5 6 1 2 3 4
理暗示．
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的频率．
1
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
【答案】
（1） ；
（2）答案见解析﹒
【分析】
(1)基本事件总数 ，其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的基本事件有：
，由此能求出接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率．
(2)设 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，
由此能求出 的分布列．
（1）
现有6名男志愿者 ， ， ， ， ， 和4名女志愿者 ， ， ， ，
从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
基本事件总数 ，
其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的基本事件有：
．接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率 ．
（2）
设 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则 的可能取值为0，1，2，3，4，，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
57．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，
为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一
系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组： ， ，…，
，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；（2）从样本中射击技能分数在 的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机
抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）先根据频率分布直方图得到射击技能分数低于60分的频率，然后可得射击技能分数低于60分的人数；
（2）根据频率分布直方图及分层抽样的知识得到抽取的8人中射击技能分数不低于70分的人数和射击技
能分数低于70分的人数，然后写出X的所有可能取值，根据超几何分布的概率公式分别求出各个取值对应
的概率，最后可得分布列和数学期望.
（1）
由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为 ，所以这200名
射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为 .
（2）
由频率分布直方图可知，射击技能分数在 ， ， 的频率分别为0.2，0.4，0.2，
由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为 ，
则射击技能分数低于70分的人数为 .
所以X的所有可能取值为1，2，3，
； ； ；
X的分布列为
X 1 2 3
P
所以 .
58．（2022·全国·高三专题练习）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选
题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2
分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是
否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 ，
乙同学的两题得分为 ，求 的期望并判断谁的方案更优.
【答案】
（1）
（2） （分）， (分)，甲同学的方案更优.
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据相互独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解判断即可.
（1）
因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为： ；
（2）
甲同学的两题得分 的可能取值为
所以 ， ，
，
所以 的分布列为：
因此 （分），乙同学第11题可能得分为： ， ，
，乙同学第12题可能得分为： ， ，
，
乙同学的两题得分 的可能取值为 ，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
因此 (分)，
因为 ，所以甲同学的方案更优.
59．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，
比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛
经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率为 ，在女生排球比赛中，每局甲
校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率为 .每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为 ，求 的概率分布.
【答案】（1） ；（2）分布列答案见解析.【分析】
（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.
（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.
【详解】
（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，.
（2） 的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故 的概率分布为：
1 2 3
60．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，
8环的概率分别是 ， ， ，乙命中10环，9环，8环的概率分别是 ， ， ，任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，
环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的
概率
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次
10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；
（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比
赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没
有获得胜利，算出其概率P ；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，
1第1轮乙没有获得胜利，其概率P ，两情形概率之和即为所求.
2
【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，
则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”
这三种情况，
∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：
P .
（2）记A表示甲在第i轮胜利，B表示甲在第i轮平局，∁表示甲在第i轮失败，
i i i
∴P（A） ，P（B） ，P（∁） ，
i i i
①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，
其概率P ，
1
②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，
其概率P ，
2
∴经过3轮比赛结束的概率P .
【点睛】
本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等
方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.
61．（2021·北京·模拟预测）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口举行.为了调查
学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一､高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一､高二各
随机抽取了20名学生成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理､描述和分析.下面给出了整理的相关信息：
高一年级成绩分布表
成绩(分数)
人数 1 2 3 4 10（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于 分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取 人，这三人中成绩不低于 分的人数记
为 ，用频率估计概率，求 的分布列和期望？
（3）若按照得分从高到底分为A､B､C､D､E，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行
一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，
需要在高一讲座还是高二讲座？
【答案】（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： ；（3）高二.
【分析】
（1）根据事件的同时发生可直接求得答案；
（2）先取随机变量的取值，再分别计算概率，从而可得分布列及期望；
（3）由图表可直接判断.
【详解】
（1）设从高一样本中抽取一人成绩不低于90分为事件 ，从高二抽取一人成绩不低于90分为事件B，两
人成绩都不低于90分的概率为：
；
（2）由题意可知从高一年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为 从高二年级中抽取一人此人成绩
不低于90分的概率为
的可取值为，，
，
.
的分布列如下表
0 1 2 3
所以 .
（3）由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多，需要在高二讲座.
62．（2022·全国·高三专题练习）新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，
现将 地区居民 人一周的口罩使用量统计如表所示，其中 个人一周的口罩使用为 个以及 个上的
有 人.
个人的一周口罩使
用数量（单位：个）
频率
（1）求 、 的值；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从 地区的所有居民中随机抽取 人，记一周使用口罩数量
（单位：个）在范围 的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ， ；（2）分布列见解析，期望为 .
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程，即可求得结果；
（2）分析可得 ，利用二项分布可得出随机变量 的分布列，进而可求得 的值.
【详解】（1）由题意可得 ，则 ，因为 ，解得 ；
（2）从 地区的所有居民中随机抽取 人，此人一周使用口罩数量（单位：个）在范围 内的概率为
，则 ，
所以， ， ，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
故 .
63．（2022·全国·高三专题练习）某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高 （单位：
）服从正态分布 .已知 ， .
（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间 的概率；
（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间 上的人数为 ，求 的分布列和数学
期望 （分布列结果可以只列式不计算）.
【答案】
（1）
（2）分布列见解析； .
【分析】
（1）根据正态分布曲线的对称性，得到 ，即可求解；（2）根据题意，求得 ，得到 服从二项分布 ，结合独立重复试验的概
率公式和二项分布期望公式，即可求解.
（1）
解：由题意，该行业人员的身高 （单位： ）服从正态分布 ，可得正态分布曲线的对称轴为 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得
因为 ， ，
可得 .
（2）
解：由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
则随机变量 服从二项分布 ，
可得 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
可得随机变量 的期望为 .
64．（2022·全国·高三专题练习）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一
天中随机调查了15位顾客（记为 ， ）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：A 1 1 1 1 1
B 1 1 1 1 1 1 1 1
C 1 1 1 1 1 1 1
D 1 1 1 1 1 1
（1）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销售量（单位：
本）；
（2）书店进行促销活动，对购买过两类及以上图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们
获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1）1000；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）根据15名顾客的数据，用频率代替概率可估计A图书的月销售量；（2）根据表格数据，算出一个人
买两本及以上的书的人次进行计算.
【详解】
（1） ，
即A类图书的月销售量约为1000本.
（2）顾客购买两类及以上图书的概率约为 .
的取值范围为 ，
，
，
，
.
所以X的分布列为X 0 5 10 15P
所以 .
65．（2022·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，
带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也
逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收
入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中
点值表示)；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布 ，其中μ近似为年平均收
入 ， 近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低
年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民
的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E（ξ）．
附参考数据： ≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ， )，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－
2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
【答案】（1）17.40千元；（2）①14.77千元；②E（ξ）＝977.3．
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求得 ，即可求得50位农民的年平均收入．
（2）由随机变量 ，①求得 ，求得 的值，即可求解；②由，得到 ，结合二项分布的期望公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
（千元）
故估计50位农民的年平均收入 千元．
（2）由题意知，随机变量 ，
① ，
所以 时，满足题意，
即最低年收入大约为 千元．
②由 ，
每个农民的年收入高于 千元的事件的概率为 ，
则 ，其中 ，
所以 ．
66．（2022·浙江·高三专题练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，
由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内 ， ， 的频率之
比为4：2：1．
（1）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间
[45，75）内的产品件数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.05；（2）分布列见解析，数学期望为1.8．
【分析】（1）长方形面积为对应区间的概率，概率之和为1，那么面积之和为1，结合质量指标值落在区间内， ， 的频率之比为4：2：1，即可求出对应区间的概率；
（2）求出位于区间[45，75）内的概率为 ，写出 的可能取值及其分布列，即可得到数学期望.
【详解】
（1）设这些产品质量指标值落在区间 内的频率为 ，则在区间 ， 内的频率分别为
和 ．
依题意得 ，解得 ．所以这些产品质量指标值落在
区间 内的频率为0.05．
（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以 ，其中 ．
由（1）得，这些产品质量指标值落在区间 内的频率为 ，
将频率视为概率为 ．
因为 的所有可能取值为0，1，2，3，
且 ，
，
，
．
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
随机变量 的数学期望 或者（ ）．
67．（2022·全国·高三专题练习）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而
成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比
赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概
率为 ，乙选手在每回合中得分的概率为 ．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望 ．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为3．
【分析】
（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；
（2）求出X的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．
【详解】
（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，
可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以 ；
（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且 ，
， ，
， ，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望 ．
68．（2022·全国·高三专题练习）2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省
全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行
60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分
钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）平均锻炼时间人数 27 39 a b 45 15
频率 0.09 0.13 0.38 c 0.15 0.05
（1）求 ， ， 的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于 分钟的居民进行奖励，为使30%的人
得到奖励，试估计 的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均
锻炼时间不低于80分钟的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ， ； ；（2） ；（3）分布列见解析；期望为 ．
【分析】
（1）根据频率和为1求得 ，设总人数为 ，则 得 及 、 ；
（2）由表中数据 位于 之间，且占0.1可得答案；
（3）求出 的所有可能取值及对应的概率可得分布列及期望.
【详解】
（1）由题意 ，
设总人数为 ，则 ，得 ，
∴ ， ．
（2） ， 分别占0.15和0.05，共0.2，要使得30%到奖励，
则 位于 之间，且占0.1，∴ ．
（3）该社区得到奖励的人中锻炼时间不低于钟的占 ，
， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则 ，，
，，
，
∴ 的分布列如下：
0 1 2 3 4
．
69．（2022·全国·高三专题练习（理））某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分
钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组
为
（1）求直方图中 的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多
少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为 ，求
的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【答案】（1）0.0025；（2）180；（3）分布列见解析，期望为 .
【分析】
（1）根据频率直方图的矩形面积之和为1求出x的值；（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；
（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列,再求数学期望.【详解】
( 1 )由直方图可得: ∴x=0.0025.
(2) 新生上学所需时间不少于1小时的频率为 ,
所以新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15=180人
所以估计1200名新生中有180名学生可以申请住宿.
（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为 ，
所以 ，
,
,
,
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故
.
即X的数学期望为 .
70．（2022·全国·高三专题练习）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代
替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在 以上的概率.若从
全市中学的男生（人数众多）中随机抽取 人，用 表示身高在 以上的男生人数，求随机变量 的
分布列和数学期望 .
【答案】（1） ，平均身高为 ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【分析】
（1）利用直方图的面积之和为 可求得 的值，将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果
全部相加可得出平均数；
（2）分析可知 ，根据二项分布可得随机变量 的分布列，进而可计算得出 的值.
【详解】
（1）根据题意得 ，解得 ，
设样本中男生身高的平均值为 ，
，
所以估计该市中学全体男生的平均身高为 ；
（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在 以上的概率约为 .
由已知得 ，所以 ， ，
， .随机变量 的分布列为
所以 .
71．（2022·全国·高三专题练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的
动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．
方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查
出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．
【答案】方案乙更好.
【分析】
用 ， 分别表示两个方案所需化验的次数，通过比较 的大小即得.
【详解】
用 表示方案甲所需化验的次数，则 可取1,2,3,4，
∴ ；
用 表示方案乙所需化验的次数，则 可取2,3
若 ，有两种可能：
先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为 ，
先化验3只结果为阴性，再从其余2只中取1只化验的概率为 ，
故 ，若 ，只有一种可能：先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好两次验出时的概率为 ，
∴ ，
∴ ，故方案乙更好.
72．（2022·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上
随机抽取 个零件，并测量其尺寸.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺
寸服从正态分布 .假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在
之外的零件数.
（1）求 值及 的数学期望 的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附： .若 ，则 .
【答案】（1） ， ；（2）检验员的判断是合理的，理由见解析.
【分析】
（1）分析可知 ，利用对立事件的概率公式可求得 的值，利用二项分布的期望公
式可求得 的值；
（2）根据一天抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的概率以及 的值可得出结论.
【详解】
（1）抽取一个零件尺寸在 之内的概率为 ，
从而零件尺寸在 之外的概率为 ，故 .
因此 ， ；
（2）如果生产状态正常，一天抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的概率为 ，发生
的概率很小，期望值为 ，也很小.
因此这种情况一旦发生，就有理由认为这条生产线在这一天生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见检验员的判断是合理的.
73．（2022·全国·高三专题练习）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创
城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问
卷调查的 人的得分统计结果如下表所示：组别
频数
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 人得分的平均值．
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求 ；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 可以获赠 次随机话费，得分低于 的可以获赠 次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：
赠送话费的金额(元)
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列与数
学期望.
(附：参考数据：① ；② ；③若
，则 ， ，
．
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【分析】
（1）计算均值即可得 ，由正态分布 ，得 ，根据 原则计算
；（2）计算 ，根据题意判断获赠话费 的可能取值，分别计算
对应的概率，列出分布列并计算期望.
（1）
由题意得，， ，（2）
由题意知， ，
获赠话费 的可能取值为 ，
， ， ，
， ，
则 的分布列如表所示：
【点睛】
求解正态分布问题时，注意计算出 ，然后对照 原则代入求解对应的概率.
74．（2021·全国·（理））2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份
以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解
此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），
并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 服从正态分布 ，其中 近似为样本平
均数 ， 近似为样本方差 ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
，令 ，则 ，且 ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 ；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求
（结果精确到0.001）以及 的数学期望．
参考数据： ， ．若 ，则 ．
【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.
【分析】
（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可.
（2）（ⅰ）由（1）可得由题知 ， ，所以 ，则 可得
答案.
（ⅱ）（ⅰ）知 ,则 从而可得答案.
【详解】
解：（1） ．
．
（2）（ⅰ）由题知 ， ，所以 ， ．
所以 ．（ⅱ）由（ⅰ）知 ，可得 ．
．
故 的数学期望 ．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问题，解答
本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数”，转化为得到 ，属于中档题.
75．（2020·山东菏泽·）某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机
抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：（1）求a的值；并求高二这100名学生的锻炼时间的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间大于30分钟的概率；（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布 ，其中 近似为样本平均
数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻
炼时间位于 的人数，求X的数学期望.
注：①计算得 ；②若 ，则： ，
.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）利用频率之和为 列方程，解方程求得 的值.根据频率分布直方图计算出平均数 .
（2）利用相互独立事件概率计算公式，结合对立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（3）先求得从高二中随机抽取一人，其锻炼时间位于 的概率，根据二项分布期望公式，计算
出 .
【详解】
（1）依题意知 ，
得 ，
；
（2）设事件A：在高一中随机抽取一人，其锻炼时间大于30分钟，
事件B：在高二中随机抽取一人，其锻炼时间大于30分钟，
事件C：在高一、高二中随机抽取一人，至少有一人锻炼时间大于30分钟，
， ，
所以 ；（3）由题意知 ，
从而 ，
所以从高二中随机抽取一人，其锻炼时间位于 的概率为0.6826，
依题意知 ，所以 .
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图，考查二项分布、正态分布等知识，属于中档题.
76．（2020·全国·（理））某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数
据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值 和样本方差 ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记 为体重在 的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 近似服从正态分布 .若
，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明
理由.
【答案】（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【分析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值 和样本方差 ；
（2）由题意知 服从二项分布 ，分别求出 ， ， ， ，进而
可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知 服从正态分布 ，继而可求出 的值，从而可判断.
【详解】解：（1）（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在 的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量 服从二项分布 ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
数学期望
（3）由题意知 服从正态分布 ，
则 ，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如
果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
77．（2021·山东泰安·）某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了 名学生，统计了他们的
周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.（1）按照分层抽样，从 和 中随机抽取了 名学生.现从已抽取的 名学生中随机推荐 名学
生参加体能测试.记推荐的 名学生来自 的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间 服从正态分布 ，其中， 为周末运动时间的平均
数 ， 近似为样本的标准差 ，并已求得 .可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初
中生中随机抽取 名学生，记周末运动时间在 之外的人数为 ，求 (精确到 ).
参考数据 ：当 时， ， ，
.
参考数据 ： .
【答案】（1）分布列见解析， ；（2） .
【分析】
（1）根据频率分布直方图求出在 上抽取的人数为 人，在 上抽取的人数为 人，随机变量
的所有可能取值为 ， ， ， ，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列，即可求出数学
期望.
（2）利用频率分布直方图求出平均数，得出 ，利用正态分布的性质得出 ，再根据二项
分布的概率计算公式即可求解.
【详解】
解： 运动时间在 的人数为 人.
运动时间在 的人数为 人.
按照分层抽样共抽取 人，则在 上抽取的人数为 人，
在 上抽取的人数为 人.随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， .所以随机变量 的分布列为
，
（ 或 ）
【点睛】
关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、频率分布直方图以及正态分布，二项分布求概率，解
题的关键是根据频率分布直方图求均值以及利用正态分布的性质求出 ，考查了计算能力.
78．（2022·全国·高三专题练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社
区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得
到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量
频数 5 6 9 12 8 6 4
（1）估计该市 类社区这一天垃圾量的平均值 .（2）若该市 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ，其中 近似为 个样本社区的平均
值 （精确到0.1吨，估计该市 类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个
“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为 ，求 的分
布列和数学期望附：若 服从正态分布 ，则 ，
， .
【答案】
（1）平均值约为22.76吨
（2）51个
（3）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）直接利用平均数公式计算该市 类社区这一天垃圾量的平均值 ；
（2）利用正态分布求出 ，即得解；
（3）由题得 的可能取值为1，2，3，4，再求出对应的概率，即得解.
（1）
解：样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，
则 .
估计该市 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨.
（2）
解：据题意，得 ， ，即 ，
则 .
因为 ，
所以估计该市 类社区中“超标”社区约51个.（3）
解：由频数分布表知8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在
内的“超标社区也有4个，则 的可能取值为1，2，3，4.， ，
， .
则 的分布列为
1 2 3 4
所以 .
