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第二十四讲：随机变量分布列
【考点梳理】
1. 古典概率
列举法 列表法 画树状图法
2. 条件概率
已知 发生，在此条件下 发生，相当于 发生，要求 ，相当于把 看作新的基本事件空间
计算 发生的概率，即 ．
3. 相互独立事件
设 ， 为两个事件，若 ，则称事件 与事件 相互独立．
4. 随机变量分布列
（1）分布列：若离散型随机变量 可能取的不同值为 ， 取每一个值
的概率 ，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列．有时为了简单起见，也用等式
， 表示 的分布列．
（2）期望或者均值
若离散型随机变量 的分布列为
E(x)=x p +x p +⋯+x p
称 1 1 2 2 n n为随机变量 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的
平均水平．
（3）方差
为随机变量 的方差，并称其算术平方根 为随机变量 的标准差．
5. 两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布
（1）两点分布的均值与方差：若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ，
．
（2）二项分布的期望、方差
若 ，则 ， ．（3）超几何分布
（4）正态分布
正态分布完全由参数 ， 确定，因此正态分布常记作 ．如果随机变量 服从正态分布，则
记为 ．
【典型题型讲解】
考点一：古典概率
【典例例题】
例1．（2021·广东汕头·高三期末）某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概
率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付
的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付又用非现金支付，
事件D为买菜后支付，则 ，
因为 ，所以 ．
故选：C
例2．（2022·广东揭阳·高三期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依
次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记第 次取得白球为事件 ，
故选：C.
【方法技巧与总结】
(1)分别求出基本事件的个数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
(2)利用公式 求出事件 的概率．
【变式训练】1．（2022·广东·一模）从集合 的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则 的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：集合 的非空子集有 共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有 种选法，
因为 ，
当 时，则 可为 共3种，
当 时， 共1种，
同理当 时，则 可为 共3种，
当 时， 共1种，
则符合 的共有 种，
所以 的概率为 .
故选：A.
2．（2022·广东汕头·一模）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随
机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志
愿者进行志愿服务的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有 种分法，
然后将3个项目全排列，共有 种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为 种，因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数 种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为 ，
故选：D
3．（2022·广东广州·一模）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向
左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于 的位置”的概率为___________.
【答案】
【详解】由图可知，若想通过6次移动最终停在-2的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，
记向右移动一次为R，向左移动一次为L，
则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在-2上的排法为
所有移动结果的总数为 ，所有落在-2上的概率为
故答案为：
4．（2022·广东·铁一中学高三期末）马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和
修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对 作了大
量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 (其中 是素数)的素数，称为
梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，
其中梅森素数有3，7，37共3个，
则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有 种，其中至少有一个为梅森素数有 种，
所以至少有一个为梅森素数的概率是 .
故选：A.
5．（2022·广东东莞·高三期末）甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出
题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行
了4局的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，
即甲赢的概率为 ，甲输的概率为 .
则甲获胜且比赛恰进行了4局的比赛情况是：甲在前三局中赢了两局，第四局赢了.
其概率是
故选：D
6（2022·广东汕头·高三期末）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，
在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展
“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择
其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为______．
【答案】
【详解】每位同学从这4本书中随机抽取1本，基本事件总数为 个，
其中A、B两位同学抽到同一本书，基本事件有 个，
所以A、B两位同学抽到同一本书的概率为 ．
故答案为：
7.（2022·广东珠海·高三期末）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自 年 月 日起实施
全民免费接种新冠疫苗．截止到 年 月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若 人去接种新冠疫苗，恰有
人接种同一种疫苗的概率为______．
【答案】
【详解】由题意，每位接种者等可能地从 种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有 不同的结果，
恰有 人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有 种结果，
这个小团体有 种疫苗可选，另外两人各有 种疫苗可选，故共有 种，
故恰有三人接种同一种疫苗共有 种不同结果，
由古典概型概率计算公式得： ．
故答案为： .
8．（2022·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有 三道题，答对 分别得2分､2
分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题 的概率分别为 ，乙同学答对问题 的概率均
为 ，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强
【答案】(1) (2)乙
（1）
设甲同学三道题都答对的事件为 ,则 ，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为 .
（2）
设甲同学本次竞赛中得分为 ，则 的可能取值为 分，
则 ,,
,
,
,
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8
所以
设乙同学本次竞赛中得分为 ，由 的可能取值为 分
,
,
,
,
,
所以 的概率分布列为：
0 2 4 6 8所以 ,
所以 ，所以乙的得分能力更强
考点二：条件概率
【典例例题】
例1.甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且
两人的选择结果互不影响.记事件 “甲选择农夫山泉”，事件 “甲和乙选择的饮品不同”，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】事件 “甲选择农夫山泉”，则
事件 “甲和乙选择的饮品不同”，
则事件 =“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以
所以 ，
故选：D
【方法技巧与总结】
P(B|A)
用定义法求条件概率 的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算 ， ；
（3）代入公式求 ．
【变式训练】
1.现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景
点，设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了中山陵”，则____________.
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有
种不同的方案，
事件 ，“4个人去的景点各不相同”的方案有： 种，
事件 ，“只有甲去了中山陵”的方案有 种，
事件 同时发生的方案有： 种，
，
所以
故答案为：
2．（2022·广东深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家
庭，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为
【答案】．D
【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，
事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，
所以 ，故A错误；
B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，
是互斥但不对立事件，故B错误；
C：3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，其中只有一个男孩的概率为： ，故C错误；
D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，
，所以 ，故D正确.
故选：D
3.端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉
馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均
为豆沙馅”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事
件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以 ，
事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以 ，
所以 ，
故选：C
4.2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了
把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受
检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血
液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳
性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为
，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．
(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为
防疫部门选择一种方案，并说明理由；
(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概
率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（ ，）
【解析】(1)设方案一中每组的化验次数为 ，则 的取值为1，11，
∴ ，
，
∴ 的分布列为：
1 11
p 0.970 0.030
．
故方案一的化验总次数的期望值为： 次．
设方案二中每组的化验次数为 ，则 的取值为1，9
， ，
∴ 的分布列为：
1 2
p 0.976 0.024
∴ ．
∴方案二的化验总次数的期望为 次．∵260<298，
∴方案一工作量更少．故选择方案一.
(2)设事件A：核酸检测呈阳性，事件B：被感染，
则由题意得 ，
由条件概率公式 可得 ，
∴该人被感染的概率为 .考点三：随机变量分布列
【典例例题】
例1．（2022·广东深圳·高三期末）已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10．现采用
分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随
机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望．
【解析】(1)分别抽取 人， 人， 人(2)分布列见解析，
（1）
由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为 ，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取 人， 人， 人；
（2）
随机变量 的所有可能取值为 ，
则 ， ，
， ，
∴随机变量 的分布列为
随机变量 的数学期望 .
例2．（2022·广东中山·高三期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项
日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 、 、 .
（1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；
（2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员 万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员 万元奖励并进行实验丙，否
则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员
万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得
奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.
【解析】（1） ；（2）分布列见解析， .
【详解】（1）记实验甲、乙、丙成功分别为事件 、 、 ，且相互独立，
记事件 对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次，
则 ；
（2）由题意可知，随机变量 的可能值有 、 、 、 ，
则 ， ，
，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
X
P
所以，随机变量 的数学期望为 （万元）.
例3．（2022·广东珠海·高三期末）为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育
课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目．某研究机构为了解实施新项目
后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到
样本的频率分布直方图，如图所示．(1)若这些学生课堂测试成绩的分数X近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 （同一组
数据用该组数据区间的中点值表示），求 ；
(2)为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组 ， ， 的
学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于 的人数 的分布列和数学期望．
附参考数据：若 ，则 ； ；
．
【解析】(1) (2)分布列见解析；
【分析】（1）先按照直方图平均数的定义求出平均数，然后按照正态分布的规律计算即可；
（2）按照抽样的人数关系，计算出 的可能取值，对于 每一个取值，
用组合的方法算出其概率即可.
（1）
根据频率分布直方图得：
，
由题意知 ，
；（2）
由于 ， 和 的频率之比为： ，
故抽取的10人中 ， 和 分别为：2人，4人，4人，
随机变量 的取值可以为0、1、2、3，
， ，
， ，
的分布列为：
0 1 2 3
P
∴ ．
【方法技巧与总结】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题（2）计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表：列出分布列，并检验概率之和是否为 .
（4）求解：根据均值、方差公式求解其值.
【变式训练】
1．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情
况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占 ，通过电视收看的约占 ，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用 表示通过电视收看的人数，求 的分布列和期望．
【解析】（1）记事件 为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为 ，没有通过手机收看的概率为 ，则 ；
（2）由题意知： ，则 的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
2.（2022·广东惠州·一模）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个
小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回
答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 .甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是
相互独立，互不影响的.
(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；
(2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【解析】(1) (2)甲小组参加决赛更好
（1）
甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题；，
所求概率
（2）
甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.
，
结合（1）可知 ，
.
设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则 ，
，
由 ， 可得，甲小组参加决赛更好.
3．（2022·广东湛江·一模）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时
说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发
热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆
发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A
组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为 ，B组3人康复的概
率分别为 ， ， .
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求 ；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种
药性更好？【解析】(1) (2)甲种中药药性更好
（1）
依题意有， ，
.
又事件C与D相互独立，
则 ，
所以 .
（2）
设A组中服用甲种中药康复的人数为 ，则 ，
所以 .
设A组的积分为 ，则 ，
所以 .
设B组中服用乙种中药康复的人数为 ，则 的可能取值为：0,1,2,3,
，
，
，
，
故 的分布列为0 1 2 3
所以 ,
设B组的积分为 ，则 ，
所以 ,
因为 ，
所以甲种中药药性更好.
4．（2022·广东汕尾·高三期末）书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种
生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了
n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间（单位：小时）进行统计，并将样本数据分成[0，2），[2，
4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九组，绘制成如图所示
的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人．
(1)求n和a的值；
(2)为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8，10），
[10，12），[12，14）三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记
周平均阅读时间在[10，12）内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】(1)100，0.10(2)分布列见解析，期望为1(1)
由题意得
．
(2)
依题意，周平均阅读时间在 三组内的中学生人数比为 ，
则6人中周平均阅读时间在 内的中学生人数为2人
X的所有可能取值为0，1，2
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
5.今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过
19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，
带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减
少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号
召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3
个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，
其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
【解析】（1）记事件A：摸出2个红球.则 .
（2）由题意可得：X的可能取值为：0，20，50.则： ； ；.所以数学期望 ，方差
.
6．（2022·广东广东·一模）某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分．现从全
市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．
(1)已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布 ，某校实验班学生30人．
①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在 的学生人数（结果四舍五入取整数）；
②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在 的学生参加预选赛，若每个学生通过预
选赛的概率为 ，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和数学期望．（正态分布参考数据：
， ）
【解析】(1)中位数为 ，方差为 ；(2)①4；②分布列见解析，数学期望为 .
（1）
这10个数据依次为78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，
所以中位数为 ，平均数为 ，
所以方差 .
（2）
①由（1）知： ， ，
，该班学生成绩在 的人数为 .
②随机变量 ，显然X服从二项分布 ，其分布列为 ，其中
，
X 0 1 2 3 4
P
所以， .
7.为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解
本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到
如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量 [5.5， [8.5， [115， [175，
[2.55.5） [14.5.175） [20.523.5）
X 8.5） 115） 14.5） 20.5）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布 ，其中 近似为样本平均值 ， 近似
为样本方差 ，经计算得 ， .试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”
企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量
至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
（参考数据：若X~ ，则 ， ，
.）
【解析】（1）由已知，得 ， ，
所以因为
所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.
（2）由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值
为1，2，3，4，且
所以Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
所以
8.某共享单车集团为了进行项目优化，对某市月卡用户随机抽取了200人，统计了他们在同一月的使用次
数（假设每月使用次数均在8至36之间）.将样本数据分成 ， ， ， ， ，
， 七组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中的a的值；(2)设该市月卡用户每月使用次数近似服从正态分布 ，其中 近似为样本的平均数（各区间数据用
中点值近似计算），取 ，若该城市恰有1万个用户，试估计这些用户中，月使用次数X位于区间
内的人数：
(3)现从该市月卡用户中随机抽取10人，其中月使用次数在 的有Y人，记“事件 ”的概率为
，其中 ，1，2，…，10，当 最大时，求k的值.
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
【解析】（1）由 ，
解得 ；
（2）
，
又 ，
，
所以估计1万个用户中，月使用次数X位于区间 内的人数为8400；
（3）依题意知 ，则 ，
其中 ，1，2， ，10，
且 ， ，
当 时， ，则
当 时， ，则
所以当 时， 最大.
【巩固练习】
一、单选题
1.从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，
这个实验的样本空间可记为 ，
共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，
则 ，
则A包含的样本点个数为7，∴ ，
故选：C．
2．20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，共有 种分法；
考虑学生干部A，其所在的组有 种可能，该组中余下9人有 种可能性；
故所求概率为 ．
故选：A．
3．为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、
美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选
修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有种.
恰有2名同学选修传统体育的情况： 种.
∴ .
故选：D
4.在某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 在 内的概率是 ，则从参加这次考
试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为学生成绩服从正态分布 ，且 ，所以 ，
， ，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是 ，则从参加这次考试的学生
中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是 .
故选：A.
5.新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次
性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已
知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设小王正确完成的面试题数为 ，则 的可能取值为1，2，3．；
；
．
∴ ．
故选：B．
另设小王正确完成的面试题数为 ，则 ，∴ ．
故选：B．
二、多选题
6．盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），
则（ ）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
【答案】AC
【解析】对于A，每次取到1号球的概率为 ，故正确；
对于B，每次取到黑球的概率为 ，故错误；
对于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之间没有影响，所以“第一次取到黑球”和“第
二次取到白球”是相互独立事件，故正确；
对于D，每次取到3号球的概率为 ，每次取到4号球的概率为 ，它们互斥事件，而不是对立事件，故错误.
故选：AC.
7.一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
【答案】ABD
【解析】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是 ，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数 ，
故恰好有两个白球的概率为 ；
对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为 ，故C错误。
对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数 ，
至少有一次取到红球的概率为 ，故D正确。
故选：ABD
三、填空题
8．现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有
2名大学生分配到甲校的概率为___________．【答案】 【解析】将5名学生按 和 分成3组的不同分法有 （种），
因此5名学生按每个学校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法数为 ，
恰好有2名学生分配到甲校的不同分法数为 ，
所以恰好有2名大学生分配到甲校的概率 .
故答案为：
8.某校为落实“双减政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙三名同
学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一
项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为__________．
【答案】
【解析】每人有3种选择，三人共有 种选择，其中恰有两人参加同一项活动共有 种选择，
所以三人中恰有两人参加同一项活动的概率为 ．
故答案为：
9.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以 表示取到白球的个数， 表示取到黑球的个数．给出
下列各项：
① ， ；② ；③ ；④ .
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【解析】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝ ＝ ，E(η)＝ ＝ .
又X的分布列
X 0 1 2P
∴E(X2)＝02× ＋12× ＋22× ＝ ，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝ － 2＝ .
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12× ＋22× ＋32× ＝ ，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝ － 2＝ .
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
四、解答题
10．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情
况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占 ，通过电视收看的约占 ，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用 表示通过电视收看的人数，求 的分布列和期望．
【解析】（1）记事件 为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为 ，没有通过手机收看的概率为 ，
则 ；
（2）由题意知： ，则 的可能取值为0，1，2，3，
；；
；
；
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
11．有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．
(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好
连续3天参加核酸检测工作的概率；
(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记 表示这3名志
愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 ．
【解析】（1）3名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有 种不同的结果，
这些结果出现的可能性都相等．
设“3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作”为事件A，
则该事件共包括 不同的结果．
所以 ．
（2） 的可能取值为0、1、2、3，
， ，， ，
0 1 2 3
P
.
12.某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的
硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可
以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．
方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券 万元，否则该次投掷不获奖；
方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：
获得代金券金额（万元） 0
“顾客胜利”次数 0 1 2 3
(1)求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；
(2)若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？
【解析】（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，
则 ．
所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为 ．
（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y，
则 ， ， ．
方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为 ，
则 ，
，，
，
∵
∴统计的角度来分析，小翁该采取方案二．
13．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格
考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中
随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩
人数 5 10 25 30 20 10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 近似服从正态分布 ，其中， 近似为100名样本
考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．
(1)若 ，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(2)按照比例分配的分层随机抽样方法，从笔试成绩为 和 的考生中随机抽取了6人，再从这
6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量 ，求 的分布列和均值．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【解析】（1）由题意， ，此时 ，故 ，
所以该市全体考生中笔试成绩高于85的人数约为 人．
（2）进入面试的考生中笔试成绩位于 的人数之比为 ，则抽取的6人中成绩不低于90
分的人数为2，所以随机变量 的取值为0，1，2．
， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ．
14．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于
服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校
考过程中笔试通过后才能进入面试环节， 年有 名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学
生的笔试成绩 ．笔试成绩高于 分的学生进入面试环节．
(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取 人，求这 人中至少有一人进入面试的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为 、 、 、 ．设这 名学
生中通过面试的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ， ， ，
．
【解析】（1）由题意可知 ， ，则 ，
所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取 人，这 人中至少有一人进入面试的概率为.
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
故 .
