文档内容
专题 22.9 确定二次函数的解析式【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】.........................................................................................................1
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】.........................................................................................................6
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】........................................................................................................11
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】...................................................................................................16
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】...................................................................................................21
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】...................................................................................................23
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】...................................................................................................27
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】.......................................................................................31
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】...................................................................................39
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】
【例1】（23-24九年级·吉林·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c，过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三
点，其中D为顶点，对称轴为直线DE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在BD右上方的一点，设点M的横坐标为m，△MBD面积为S．S是否有最大值？若
有，请求出最大值及M的坐标，若无，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)S最大值1，M(2,3)【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键；
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点M作MG∥y轴交BD于点G，由M(m,−m2+2m+3)，可知G(m,−2m+6)，则
S=(m−2) 2+1，当m=2时，S有最大值1，此时．
【详解】（1）解：将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c，
{
a−b+c=0
)
∴ 9a+3b+c=0 ，
c=3
{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴D(1,4)，对称轴为直线x=1，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
{3k+b=0)
∴ ，
k+b=4
{k=−2)
解得 ，
b=6
∴y=−2x+6，
过点M作MG∥y轴交BD于点G，
∵M(m,−m2+2m+3)，
∴G(m,−2m+6)，
∴MG=−m2+4m−3，
1
∴S= ×2×(−m2+4m−3)=−m2+4m−3=(m−2) 2+1，
2
∴当m=2时，S有最大值1，
此时M(2,3)．
【变式1-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(1,3)和点
B(3,0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
3 9
【答案】(1)y=− x2+ x
2 2
3 (3 27)
(2)抛物线的对称轴为直线x= ，顶点坐标 , ．
2 2 8
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是
解题的关键．
（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：抛物线y=ax2+bx经过点A(1,3)和点B(3,0)，
3
{ a=− )
{ a+b=3 ) 2
∴ ，解得
9a+3b=0 9
b=
2
3 9
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=− x2+ x；
2 2
3 9
（2）解：y=− x2+ x
2 2
=−
3(
x2−3x+
9
−
9)
2 4 4
3( 3) 2 27
=− x− + ，
2 2 8
3 (3 27)
∴抛物线的对称轴为直线x= ，顶点坐标 , ．
2 2 8
【变式1-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分
对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y … −1 −2 −1 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线x= ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当−30，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，−1；
（2）由（1）可知二次函数的表达式为y=x2+2x−1；
（3）解：当x=−3时，y=x2+2x−1=2；
当x=3时，y=x2+2x−1=14．
又∵二次函数图象的顶点坐标为(−1,−2)，抛物线开口向上，
当−30，
∴此时函数有最小值−1，
∵自变量x满足−1≤x≤3时，
当x=−1时，y=x2−4x+3=(−1−2) 2−1=8，
当x=3时，y=x2−4x+3=(3−2) 2−1=0，
∴自变量x满足−1≤x≤3时，y的取值范围为：−1≤ y≤8；
（3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，
∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为y=(x−2−m) 2−1，
∵当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，
∴2+m>5，即m>3，此时x=5时，y=5，即5=(5−2−m) 2−1，解得：m =3+❑√6,m =3−❑√6（舍去），
1 2
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为y=(x−2+m) 2−1，
∵当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，
∴2−m<1，即m>1，
此时x=1时，y=5，即5=(1−2−m) 2−1，解得：m =1+❑√6,m =1−❑√6（舍去），
1 2
综上所述：m的值为：3+❑√6或1+❑√6．
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】
【例2】（23-24九年级·云南昆明·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1,9)，且该抛物
线经过点(2,8)
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
n2−18n+83
(3)点P(m,n)在该抛物线上，且m为整数，若T= 的值为整数，求出点P的坐标．
m−1
【答案】(1)y=−x2+2x+8
(2)抛物线与x轴的交点坐标为(−2,0)，(4,0)；
抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)
(3)(2,8)或(0,8)或(3,5)或(−1,5)
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握
二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键．
（1）首先设二次函数解析式为y=a(x−1) 2+9(a≠0)，然后把(2,8)代入其中确定a的值即可求解；
（2）令y=0，解一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的交点坐标；令x=0，求出y，即可求得抛物线与
y轴的交点坐标；
（3）首先把P(m,n)代入（1）中解析式，得到关于m、n的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知
识求出m、n的值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1,9)，
∴设二次函数解析式为y=a(x−1) 2+9(a≠0)，
∵该抛物线经过点(2,8)，把(2,8)代入y=a(x−1) 2+9(a≠0)中，
∴a(2−1) 2+9=8，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−1) 2+9=−x2+2x+8；
（2）解：当y=0时，−x2+2x+8=0，
即x2−2x−8=0，
分解因式，得：(x+2)(x−4)=0，
∴x =−2，x =4，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−2,0)，(4,0)；
当x=0时，y=8，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)；
（3）解：∵点P(m,n)在该抛物线上，
∴把P(m,n)代入y=−x2+2x+8中，
∴n=−m2+2m+8，
n2−18n+83
∴T=
m−1
n2−18n+81+2
=
m−1
(n−9) 2+2
=
m−1
(−m2+2m+8−9) 2 +2
=
m−1
(m−1) 4+2
=
m−1
2
=(m−1) 3+ ，
m−1
∵m，T为整数，
而2的因数有±1或±2，
∴m−1=±1或m−1=±2，
∴m=2或0或3或−1，∴n=8或5，
∴点P的坐标为(2,8)或(0,8)或(3,5)或(−1,5)．
【变式2-1】（23-24九年级·江西宜春·期末）已知二次函数的图象与一次函数y=4x−8的图象有两个公共
点P(2,m)和Q(n,−8)．如果抛物线的对称轴为直线x=−1，求这个二次函数的解析式．
【答案】y=x2+2x−8
【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
先求得P(2,0)、Q(0,−8)，再根据对称轴为x=−1设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+ ℎ，然后将
P(2,0)、Q(0,−8)代入求得a、h即可解答．
【详解】解:∵二次函数的图象与一次函数y=4x−8的图象有两个公共点P(2,m)和Q(n,−8)，
∴m=0,n=0，
∴P(2,0)，Q(0,−8)
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+
ℎ
将P(2,0)，Q(0,−8)代入可得：
{ 0=a(2+1) 2+ ℎ ) { a=1 )
，解得： ，
−8=a(0+1) 2+ ℎ ℎ =−9
∴y=(x+1) 2−9=x2+2x−8
∴y=x2+2x−8．
【变式2-2】（23-24九年级·吉林·期末）已知一个二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)
．
(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则△CDE的面积为__________．
【答案】(1)y=−(x+1) 2+4
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式y=a(x+1) 2+4，然后把B(2,−5)代入求出a的值即可；（2）根据抛物线解析式求得线段CD的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解∶设函数解析式为y=a(x+1) 2+4，
把B(2,−5)代入，得−5=9a+4，
解得a=−1，
∴y=−(x+1) 2+4；
（2）解∶令y=0，则0=−(x+1) 2+4，解得x =−3，x =1，
1 2
∴CD=1−(−3)=4，
令x=0，则y=−(0+1) 2+4=3，
∴E(0,3)，
∴OE=3，
1
∴△CDE的面积为 ×4×3=6，
2
故答案为：6．
【变式2-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，已知拋物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是
(−2，−8)，且与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的一个动
点，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，作DF⊥BC于点F．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式．
(2)当m为多少时，DE最大？最大值为多少？
(3)请直接写出EF的最大值．
1
【答案】(1)y= x2+2x−6
29
(2)当m=−3时，DE有最大值，最大值为
2
9
(3) ❑√2
4
【分析】（1）根据二次函数的顶点式，用待定系数法即可解答；
（2）先求直线BC的解析式，再写出点D与E的坐标，求出DE与m关系式，最后根据二次函数的性质，
求出DE的最大值；
❑√2
（3）先求出∠BCO=45°，进一步的得到∠FED=∠FDE=45°，从而EF=DF= DE，根据DE的
2
最大值即得EF的最大值．
【详解】（1）∵拋物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−2，−8)，
∴y=a(x+2) 2−8，
将A(2，0)的坐标代入得，0=a(2+2) 2−8，
1
解得a= ，
2
1
∴y= (x+2) 2−8，
2
1
即y= x2+2x−6；
2
（2）由（1）得：抛物线与y轴的交点坐标C(0，−6)，
1
令y=0，则0= x2+2x−6，
2
解得x =2，x =−6，
1 2
∴B(−6，0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
{ b=−6 )
则 ，
−6k+b=0
{k=−1)
解得 ，
b=−6
∴直线BC的解析式为y=−x−6，
1
点D的坐标为(m， m2+2m−6)，
2则点E的坐标为(m，−m−6)，
1 1 1 9
∴DE=−m−6−( m2+2m−6)=− m2−3m=− (m+3) 2+ ，
2 2 2 2
1
∵− <0，
2
9
∴当m=−3时，DE有最大值，最大值为 ；
2
（3）∵B(−6,0)，C(0,6)
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠BCO=45°，
∵DE∥y轴，
∴∠FED=∠BCO=45°，
∵DF⊥BC，
∴∠FED=∠FDE=45°，
❑√2
∴EF=DF= DE，
2
❑√2 9 9
∴EF的最大值为 × = ❑√2．
2 2 4
【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析
式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出DE与m关系式是解
答本题的关键．
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，若S :S =2:3，求出点D的坐标；
△BEF △BDE
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2−2x−3
(3 15)
(2)D点的坐标为 ,−
2 4
(3)存在，P的坐标为(1,0)、(−2+❑√7,0)、(−2−❑√7,0)、(5,0)
【分析】（1）因为经过A(−1,0)，B(3,0)两点，所以∴y=a(x−3)(x+1)，再代C(0,−3)，即可作
答．
（2）先把B(3,0)、C(0,−3)代入，并解出直线BC的解析式为y=x−3，因为S :S =2:3，所以
△BEF △BDE
3−m 2 3 15
= ，解得m = ，得m2−2m−3=− ，即可作答．
−m2+3m 3 2 2 4
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当PQ为对角线；②当PB为对角线；③当PC为对角
线，然后列出方程组解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线为y=a(x−x )(x−x )，
1 2
∵经过A(−1,0)，B(3,0)两点，
∴y=a(x−3)(x+1)，
∴把C(0,−3)代入得：−3=a×(−3)×1，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(3,0)、C(0,−3)代入得：¿
∴直线BC的解析式为y=x−3，
设D(m,m2−2m−3)，则E(m,m−3)，F(m,0)，
∴EF=3−m，DE=−m2+3m，
∵S :S =2:3，
△BEF △BDE
∴EF:ED=2:3，
3−m 2
∴ = ，
−m2+3m 33
解得m =3（不符合，舍去），m = ，
1 2 2
3
经检验：m= 是方程的解
2
3 15
把m= 代入m2−2m−3，解得m2−2m−3=−
2 4
(3 15)
∴D点的坐标为 ,− ．
2 4
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设P(a,0)，Q(b,b2−2b−3)且B(3,0)，C(0,−3)，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
∴①当PQ为对角线时，则¿
∴a=1，
∴P(1,0)；
②当PB为对角线时，则¿
∴a=−2±❑√7，
∴P(−2+❑√7,0)，(−2−❑√7,0)；
③当PC为对角线时，则¿
∴a=5，
∴P(5,0)．
综上所述，P的坐标为(1,0)、(−2+❑√7,0)、(−2−❑√7,0)、(5,0)．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数
与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式3-1】（2024春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），
（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【答案】y＝2x2﹣4x﹣6
【分析】利用待定系数法求解即可.
【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键.
【变式3-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1，0)，B(5，0)两
点，与y轴交于点C(0，−5)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当−1≤x≤4时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点P的坐标为(n,−5)，点Q的坐标为(n+2,−5)，若线段PQ与二次函数图象恰有一个交点，请直接写
出n的取值范围．
【答案】(1)二次函数的解析式为y=x2−4x−5；
(2)函数最大值与最小值的差为9；
(3)n的取值范围为−2≤n≤0或2≤n≤4．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把x=−1和x=4代入解析式求得函数值，据此求解即可；
（3）先求得y=−5时，x的值，当线段PQ与二次函数图象的交点分别为(0，−5)或(4，−5)时，据此即
可求解．
【详解】（1）解：二次函数的表达式为y=a(x+1)(x−5)，
把C(0，−5)代入得−5=a(0+1)(0−5)，
解得a=1，
∴二次函数的表达式为y=(x+1)(x−5)=x2−4x−5；
b −4
（2）解：二次函数的对称轴为直线x=− =− =2，
2a 2
∵x=2在−1≤x≤4范围内，
∴当x=2时，函数有最小值为y=(x+1)(x−5)=−9；
当x=−1时，y=0；当x=4时，y=−5；
∴当−1≤x≤4时，求函数最大值与最小值的差为0−(−9)=9；
（3）解：令y=−5得−5=x2−4x−5，
解得x=0或x=4；
当线段PQ与二次函数图象的一个交点为(0，−5)时，
n≤0且n+2≥0，解得−2≤n≤0；
当线段PQ与二次函数图象的一个交点为(4，−5)时，
n≤4且n+2≥4，解得2≤n≤4；
综上，n的取值范围为−2≤n≤0或2≤n≤4．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，OC=3，将线段OC绕点O
顺时针旋转90°到OB的位置，点A的横坐标为方程x2−1=0的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
( 8) ( 2)
(2)(1，1)或(1，2)或 1， 或 1，−
3 3
【分析】（1）先求出C(0，3)，由旋转的性质得到OB=OC=3，则B(3，0)，解方程求出A(−1,0)，再
把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出对称轴为直线x=1，设M(1，m)，则AM2=m2+4，CM2=m2−6m+10，AC2=10，分当
∠AMC=90°时，则AM2+CM2=AC2，当∠ACM=90°时，则AC2+CM2=AM2，当
∠CAM=90°时，则AC2+AM2=CM2，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，OC=3，
∴C(0，3)，
由旋转的性质可得OB=OC=3，∴B(3，0)，
解方程x2−1=0得x=±1，
∵点A的横坐标为方程x2−1=0的一个解且点A、B在y轴两侧，
∴A(−1,0)，
设经过A、B、C的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0，3)代入y=a(x+1)(x−3)得3=a(0+1)(0−3)，解得a=−1，
∴经过A、B、C的抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；
（2）解：∵抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
2
∴对称轴为直线x=− =1，
−2
设M(1，m)，
∴AM2=(−1−1) 2+(0−m) 2=m2+4，CM2=(0−1) 2+(3−m) 2=m2−6m+10，
AC2=(−1−0) 2+(0−3) 2=10，
当∠AMC=90°时，则AM2+CM2=AC2，
∴m2+4+m2−6m+10=10，
解得m=1或m=2，
∴点M的坐标为(1，1)或(1，2)；
当∠ACM=90°时，则AC2+CM2=AM2，
∴m2−6m+10+10=m2+4，
8
解得m= ，
3
( 8)
∴点M的坐标为 1， ；
3
当∠CAM=90°时，则AC2+AM2=CM2，
∴10+m2+4=m2−6m+10，
2
解得m=− ，
3
( 2)
∴点M的坐标为 1，− ；
3
( 8) ( 2)
综上所述，点M的坐标为(1，1)或(1，2)或 1， 或 1，− ．
3 3【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等
等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键．
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】
【例4】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（3,0）、B(0,−3)，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【答案】(1)y=x2−2x−3，顶点P的坐标是(1,−4)
(2)① y=x2−4x+3；② y=x2−2x−1
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；
（2）①先求直线AB的解析式，设Q点的坐标是(t,t−3)，再根据抛物线平称的规律求解即可；
②抛物线与y轴的交点是D（0，t2+t−3），分两种情况：∠BDQ=90°或∠BQD=90°，根据等腰直角
三角形的性质求解即可．
{9+3b+c=0)
【详解】（1）由题意得： ，
c=−3
∴b=−2,c=−3，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，顶点P的坐标是(1,−4)．
（2）①设直线AB的解析式是y=mx+n，
{3m+n=0)
∴ ，
n=−3
∴m=1,n=−3，
∴直线AB的解析式是y=x−3，
设Q点的坐标是(t,t−3)，其中t>0，此时抛物线的解析式是y=(x−t) 2+t−3，∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴t−3=−1，即t=2，
∴此时抛物线的解析式是y=(x−2) 2+2−3，即y=x2−4x+3．
②抛物线y=(x−t) 2+t−3，与y轴的交点是D（0，t2+t−3），
如果∠BDQ=90°，即DQ⊥y轴不合题意，
如果∠BQD=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠QBD=∠BDQ=45°，
∴QB=QD，
作QE⊥y轴，则BE=DE，
1
∴QE= BD，
2
∵QE=t， BD=t2+t，
1
∴t= (t2+t)，
2
解得t =0（不合题意，舍去）或t =1，
1 2
∴t=1，
此时抛物线的解析式是y=(x−1) 2+1−3，即y=x2−2x−1．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数
与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键．
1
【变式4-1】（23-24九年级·安徽安庆·期中）平移抛物线y= x2 ，使顶点坐标为(t,t2)，并且经过点(2,4)
2
，求平移后抛物线对应的函数表达式．【答案】y=
1
(x−2) 2+4或y=
1(
x+
2) 2
+
4
2 2 3 9
【分析】本题考查二次函数图象的平移，求函数解析式；由题意设平移后抛物线解析式为顶点式，再把点
(2,4)代入所设解析式中求得t的值，即可写出函数表达式．
1
【详解】解：设平移后抛物线所表示的函数表达式为y= (x−t) 2+t2 ，
2
1
将点(2,4)代入函数表达式，得4= (2−t) 2+t2 ，
2
2
解得t=2或t=− ，
3
所以y=
1
(x−2) 2+4或y=
1(
x+
2) 2
+
4
．
2 2 3 9
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过A(2，3)，
B(3，6)、C(−1，6)三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数y=ax2+bx+c图象平移使其经过点D(5，0)，且对称轴为直线x=4，求平移后的二次函
数的解析式．
【答案】(1)y=x2−2x+3；
(2)y=x2−8x+15．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．
【详解】（1）解：把A(2，3)，B(3，6)、C(−1，6)代入y=ax2+bx+c，
{4a+2b+c=3
)
得： 9a+3b+c=6 ，
a−b+c=6
{
a=1
)
解得： b=−2 ，
c=3
∴该二次函数的解析式为y=x2−2x+3；
（2）解：若将该二次函数y=ax2+bx+c图象平移后经过点D(5，0)，且对称轴为直线x=4，
设平移后的二次函数的解析式为y=(x−4) 2+k，将点D(5，0)代入y=(x−4) 2+k，得(5−4) 2+k=0，
解得，k=−1．
∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为y=(x−4) 2−1=x2−8x+15．
【变式4-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线L:y=ax2+2ax+c（a、c为常数，a≠0）经过点
( 32)
A(−4，0)、B 0, ，顶点为P，连接AP．
9
(1)求AP的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线L′，点A的对应点为A′，点P的对应点为P′
，当四边形APP′ A′是面积为12的平行四边形，且点P′在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线L′的表达
式．
【答案】(1)5
4 4 4
(2)抛物线L'的表达式为y=− (x+4) 2+4或y=− (x+1) 2+8或y=− (x+1) 2
9 9 9
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二
次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点A′在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿
x轴向左平移3个单位长度可得抛物线L′，利用平移的性质即可得出抛物线L′的表达式，当抛物线沿y轴平
移时，可得点P′在直线DP上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物
线L′，利用平移的性质即可得出抛物线L′的表达式，
( 32)
【详解】（1）解：将A(−4，0)、B 0, 代入y=ax2+2ax+c中，
9
得¿
解得¿4 8 32 4
∴抛物线L的表达式为y=− x2− x+ =− (x+1) 2+4．
9 9 9 9
∴顶点P(−1，4)．
过点P作PD⊥x轴于点D，则D(−1，0)，
∵ A(−4，0)，D(−1，0)，P(−1，4)，
∴AD=3，DP=4，
∴AP=❑√AD2+DP2=5．
（2）由题意知，四边形APP′ A′是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点A′在x轴上，
由于DP=4，即要使▱APP′ A′的面积为12，只需A A′=3，
∵点P'在y轴左侧，
∴抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线L′，
4 4
此时，抛物线L'的表达式为y=− (x+1+3) 2+4=− (x+4) 2+4；
9 9
当抛物线沿y轴平移时，可得点P′在直线DP上，
由于AD=3，要使▱APP′ A′的面积为12，只需PP′=4，
∴抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线L′，
4 4 4
此时，抛物线L'的表达式为y=− (x+1) 2+4+4=− (x+1) 2+8或y=− (x+1) 2 ．
9 9 9
4 4 4
综上，抛物线L'的表达式为y=− (x+4) 2+4或y=− (x+1) 2+8或y=− (x+1) 2 ．
9 9 9
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】
【例5】（2024·山东济南·一模）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图
象的解析式为y=a(x+1) 2−a2，若(m−2)a+b+c≥0成立，则m的最小整数值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先求出变换前的关系式，可用含有a的关系式表示b，c，进而得出关于a，m的不等式，然后结
合a的范围得出答案．
【详解】∵关于y轴对称的图象的解析式为y=a(x+1) 2−a2，
∴抛物线的顶点坐标是(−1,−a2 )，
∴原函数解析式为y=a(x−1) 2−a2，
b
∴− =1，即b=−2a．
2a
当x=0时，y=c=a−a2，
∴(m−2)a+b+c=(m−2)a−2a+a−a2≥0，
∴m−2≥a+1，
即m≥a+3，
∴m的最小整数值为4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的轴对称变换，掌握变换前后解析式之间的关系是解题的关键．
【变式5-1】（2024·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【答案】A
【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，
即y＝﹣x2+2x+3，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线y=−2x2+2x在x轴上
方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得
的A点的坐标是 ．(1 1)
【答案】 ,−
2 2
【分析】本题考查了点的坐标变换规律，二次函数的顶点坐标，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个
循环组依次循环，用2023除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限是解决问题的
关键．
【详解】解：∵y=−2x2+2x=−2 ( x− 1) 2 + 1 ，
2 2
(1 1)
∴抛物线y=−2x2+2x的顶点坐标为A , ，
2 2
则，点A第一次关于x轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y轴对称后在
第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，
∵2023÷3=674⋯1，
(1 1)
∴经过第2023次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为 ,− ，
2 2
(1 1)
故答案为： ,− ．
2 2
【变式5-3】（2024·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线
y=−ax2+3x−c与y=2x2−3x−c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（ ）
A．0 B．−4 C．4 D．−1
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可解答．
【详解】解：∵y=−ax2+3x−c与y=2x2−3x−c+a关于x轴对称，
∴−y=2x2−3x−c+a，即ax2−3x+c=2x2−3x−c+a，
{ a=2 ) {a=2)
∴ ，解得： ．
c=−c+a c=1
∴a+2c=4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线y=−ax2+3x−c化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】
【例6】（2024·山东济南·一模）已知抛物线P：y=x2+4ax−3(a>0)，将抛物线P绕原点旋转180°得到
抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是
（ ）
1 3 1 3 3
A．00)，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，
∴抛物线P与抛物线P′关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴−y=(−x) 2+4a(−x)−3
∴抛物线P′的解析式为y=−x2+4ax+3，
∵当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，
即y≤3
令−x2+4ax+3=3，
∴−x2+4ax=0，
解得：x =0或x =4a，
1 2
设y=−x2+4ax，
∵y=−x2+4ax开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当1≤x≤3时，y=−x2+4ax≤0要恒成立，此时t≤3，
∴当x=1时，y=−x2+4ax≤0即可，
得：-1+4a⩽0，
1
解得：a≤ ，
4
又∵a>01
∴0m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(−4,0)；
④当0m，故②正确；
∵抛物线的对称轴为：直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(8,0)，
∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为(−4,0)，故③正确；
由二次函数的图像可知：当00）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象与原有二次函数图象构成了新的图象，
2
记为图象G，现有一次函数y= x+b的图象与图象G有4个交点，请求出b的取值范围．
3
【答案】(1)y=x2−4x+3
2
(2) 0）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象为y=x2+4x+3，求出一次函数
2 2
y= x+b与抛物线y=x2+4x+3只有一个交点时b的值，再求出一次函数y= x+b的图象与图象G有3
3 3
个交点时b的值，即可求得答案．
【详解】（1）由图象可知二次函数图象过点(1,0)，(3,0)，(0,3)，
设该二次函数的表达式为y=a(x−1)(x−3)，
代入点(0,3)得3=a(0−1)(0−3)，
解得a=1，
∴该二次函数的表达式为y=(x−1)(x−3)，即y=x2−4x+3；
（2）将该图象（x>0）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象为y=(x+1)(x+3)，
即y=x2+4x+3，
2
令
x+b=x2+4x+3，整理得3x2+10x+9−3b=0，
32
若y= x+b与抛物线y=x2+4x+3有一个交点时，则Δ=0，
3
∴Δ=102−4×3(9−3b)=0，
2
解得b= ，
9
2 2
∴当b= 时，一次函数y= x+b的图象与图象G有3个交点，
9 3
2
把(0,3)代入一次函数y= x+b得b=3，
3
2
∴当b=3时，一次函数y= x+b的图象与图象G有3个交点，
3
2 2
故一次函数y= x+b的图象与图象G有4个交点时，b的取值范围是 5，即可得出结论；
2 32 32
1
（3）设OB=x，则BC=16−2x，根据矩形的性质得出AD=BC=16−2x，AB=DC=− x2+2x，设
8
l=AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M(16,0)，顶点P(8,8)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
把点M(16,0)，点P(8,8)代入得：
{ 64a+8b=8 )
256a+16b=0
{ a=− 1 )
解得 8
b=21
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x
8
∵OM=16，M(16,0)，
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
9 1 (9) 2 9 207
（2）解：当x=8−2.5−1= 时，y=− × +2× = >5，
2 8 2 2 32
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）解：设OB=x，则BC=16−2x，
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AD=BC=16−2x，AB=DC=− x2+2x
8
1
设l=AB+AD+DC，则l=− x2+4x+16−2x
4
1
∴l=− x2+2x+16
4
1
∵− <0，
4
b 4ac−b2
∴当x=− =4时，l有最大值为 =20．
2a 4a
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，
为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=6
米，∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，设边EP长度为
n米，试求内接矩形MNPQ的面积S（用含n的式子表示）；
(3)若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米❑ 2，广告牌其余部分的价格为160元/米❑ 2，试求完成菱形
广告牌所需的最低费用．1
【答案】(1)y=− x2+6
9
(2)内接矩形MNPQ的面积S=−❑√3n2+6❑√3n
(3)完成菱形广告牌所需的最低费用为2160❑√3元
【分析】（1）过点D做DM⊥x轴于点M，作DN⊥y于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性
质，求出D(3❑√3,3)，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
❑√3 ❑√3
（2）求出直线OD的解析式为y= x，直线CD的解析式为y=− x+6设QM=PN=t米，则
3 3
t (t ❑√3t) (t ❑√3t) ❑√3t ❑√3t ❑√3
x =x = ，得出M , ，N ,6− ，求出MN=6− − =6− t，证明△MND
M N 2 2 6 2 6 6 6 3
❑√3
为等边三角形，得出6− t=n，求出t=6❑√3−❑√3n，得出PN=6❑√3−❑√3n，最后得出矩形的面积即
3
可；
（3）根据（2）的面积解析式求出广告牌费用为w=80❑√3(n−3) 2+2160❑√3，根据二次函数的性质即可
得到费用的最小值.
【详解】（1）解：过点D作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y于点N，如图所示：
∵四边形ODCE为菱形，
∴CD=OD，
∵∠ODC=60°，
∴△COD为等边三角形
∴OD=OC=6，∠ODN=30°，
1
∴在Rt△ODN中，ON= OD=3，DN=❑√OD2−ON2=3❑√3，
2∴D(3❑√3,3)，
1
设抛物线的解析式为y=ax2+6，则27a+6=3，解得a=− ，
9
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+6．
9
（2）解：设直线OD的解析式为y=kx，把D(3❑√3,3)代入得：3=3❑√3k，
❑√3
解得：k= ，
3
❑√3
∴直线OD的解析式为y= x，
3
设直线CD的解析式为y=k′x+6，则3❑√3k+6=3，
❑√3
解得k=− ，
3
❑√3
∴直线CD的解析式为y=− x+6，
3
t ❑√3 ❑√3
在矩形MNPQ中，设QM=PN=t米，则x =x = ，代入y= x和y=− x+6得：
M N 2 3 3
(t ❑√3t) (t ❑√3t)
M , ，N ,6− ，
2 6 2 6
❑√3t ❑√3t ❑√3
∴MN=6− − =6− t，
6 6 3
由对称性得DN=EP=n，
∵MN∥y轴，
∴∠MND=∠OCD=60°，∠NMD=∠COD=60°，
∴△MND为等边三角形，
❑√3
∴MN=DN=n，6− t=n，
3
解得t=6❑√3−❑√3n，
∴PN=6❑√3−❑√3n，
∴内接矩形MNPQ的面积：S=MN⋅PN=n(6❑√3−❑√3n)=−❑√3n2+6❑√3n．
（3）解：由（2）得内接矩形MNPQ的面积S=−❑√3n2+6❑√3n，∵D(3❑√3,3)，OC=6，
1
∴S = ×6×3❑√3=9❑√3，
△OCD 2
∴菱形ODCE的面积为2S =18❑√3，
△COD
∴总费用：
w=80(−❑√3n2+6❑√3n)+160[18❑√3−(−❑√3n2+6❑√3n))=80❑√3(n−3) 2+2160❑√3，
∴当n=3时，w最小，w最小值为2160❑√3，
答：完成菱形广告牌所需的最低费用为2160❑√3元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析，求一次函数解析式，菱形的性质，等边三角
形的判定和性质，求二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出二次函数的解
析式．
【变式8-3】（2024·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,1)、(1,2)，经
过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，点
P为抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点
P的横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式
(2)当P点在第一象限；矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．
①若x≥m时，函数y=x2+bx+c的最小值为2m，求m的值；
②当m＜2时，求l与m之间的函数关系式．
【答案】(1)y=x2−2x+2；
1
(2)①m=2+❑√2或 ．②当01时，函数最小值为P点的纵坐标，当01时，函数最小值为P点的纵坐标，
即m2−2m+2=2m，解得m =2+❑√2，m =2−❑√2（舍）．
1 2
1
当00，且m≠1），
∵四边形ABCD为正方形，且A(1,1)，
∴D(0,1)，B(1,2)，F(0,m2−2m+2)，
∴PF=m，FD=m2−2m+2−1=m2−2m+1，
根据点P在点A的左右，分两种情况（如图2）：当0
