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专题 22.3 动点的函数图象问题
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 典例分析
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G
分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A
方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边
作Rt△PMN，点N在AB上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与
t之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，
0.5 =7时，故点Q在DC上，把t= 代入直线HN的解析式计算 = ．
4 4 4 PQ 3
【解题过程】
解：设抛物线的解析式为y=at2，
当t=5时，y=10，
∴10=25a，
2
解得a= ，
5
2
∴y= t2 ，
5
由图2中的函数图像得当t=5时，点Q到达点C，即BC=BE=5cm，
∵5＜t＜7时，y=10，
∴△BPQ的面积是定值10cm2且BE=5cm,ED=2cm,
当t=7时点P到达点D，
∴AE=5−2=3cm,AB=❑√BE2−AE2=4cm,AD=BC=5cm，
∴AB:AD=4:5，
故A正确，不符合题意；
当0 =7时，故点Q在DC上，
4 4
29 5 29 55 75
当t= 时，y=− × + = ，
4 2 4 2 8
1 75
PQ·BC=
2 8
15
解得PQ=
4
BQ 5 4
= =
∴PQ 15 3．
4
故C错误，符合题意．
故选：C．
19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC
，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交
射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点
E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象
是（ ）
A． B． C． D．【思路点拨】
分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【解题过程】
解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，
①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时06时；四种情况，作图求解S关于t的函数解析
式，作出图像即可得到答案．
【解题过程】
解：过点B作x轴的垂线，垂足为点E，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，且点A与原点O重合，边AD在x轴上，点B的横坐标为−2，∴OE=2,OB=4，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=60°，BE=2❑√3，
①当0≤t≤2时，如图（1）所示：
1 1 ❑√3
S= OA⋅OF= ×t×❑√3t= t2 ；
2 2 2
②当26时，S=S =AD⋅BE=8❑√3；
菱形ABCD
❑√3
{ t2 0≤t≤2 )
2
2❑√3t−2❑√3 26
∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行
于x轴的射线，
故选：A．
