专题22.9二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题22.9 二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质 （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与y=a（x-h）²+k(a≠0)之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 从函数解析式y=a（x-h）²+k(a≠0)我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y=a（x-h）²+k(a≠0)为顶点式，将顶点式y=a（x-h）²+k(a≠0)去括号，合并同类项就可化成一般式 y=ax²+bx+c(a≠0)． 2.一般式化成顶点式 y ax2 bxca   x2  b x   ca  x2 b x   b   2    b   2 c a   x b   2  4acb2  a   a 2a 2a   2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 【知识点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． y ax2 bxc (2）求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称 轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【知识点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1.二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） 图象 a0 a0开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 最大（小） 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号） 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号） 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点4】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 b x 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2a 时， 4acb2 y  最值 4a ．【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻化为顶点式➽➼➻对称轴✭✭顶点坐标 【例1】通过配方把下列函数化成 的形式，写出函数图象的对称轴位置和顶点坐标． （1） ； （2） ． 【分析】：（1）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （2）根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解． 解：（1） ， 对称轴是过点 且平行于 轴的直线，顶点坐标是 ． （2） ， 对称轴是过点 且平行于 轴的直线，顶点坐标是 【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法，将解析式化为顶点式是解题的关键． 【举一反三】 【变式】利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴． （1） ； （2） ； （3） 【分析】利用配方法把对应的抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． （1）解： ， ∴函数 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； （2）解：， ∴函数 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； （3）解： ， ∴函数 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 【点拨】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，正确利用配方法求解是解题的关键． 【考点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻画二次函数图象（抛物线） 【例2】在同一平面直角坐标系中，画出函数 、 和 的图象． 【分析】先用列表法画出函数 的图象，平移此图象即可分别得到 和 的 图象． 解：列表如下： x … 0 1 … … 0 … 连线：画出函数 的图象，把函数 的图象向左平移1个单位得到 的图象， 把函数 的图象向右平移1个单位得到 的图象；所画的三个函数图象如图：【点拨】本题考查了画函数图象及函数图象图象的平移，平移规律为：上加下减，左加右减，掌握二次函 数图象的基本画法是关键． 【举一反三】 【变式】在同一个直角坐标系中作出 ， 的图象，比较它们的异同，并找出它们的关系． 【分析】根据二次函数图象的画法正确画出函数图象，可以看出两函数图象的异同点． 解：列表： 描点、连线： 如图所示： 两个函数的开口大小和方向相同，只有顶点坐标的位置不同． 【点拨】此题主要考查了二次函数图象的画法，关键是掌握函数图象的画法以及二次函数的性质．【考点三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻待定系数法求二次函数的解析式 【例3】如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，连接 ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出C点坐标，再根据 ，即可求解． 解：（1）∵抛物线 与x轴交于点 和点 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）由（1）知， ， ∴点C的坐标为 ， ∴ ， ∵点B的坐标为 ， ∴ ， ∵ ，∴ 的面积是 ． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是 解题的关键． 【举一反三】 【变式】如图，二次函数 的图象过 ， 两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接 ，求 的面积． 【分析】（1）把 ， 代入 得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的解析 式； （2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得 的面积即可． 解：（1）把 ， 代入 ， 得： ， 解得 ． 故这个二次函数的解析式为 ． （2）∵该抛物线对称轴为直线 ， ∴点C的坐标为 ， ∴ ，∴ ． 【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴、三角形的面积等知识， 求出二次 函数解析式是解题的关键 【考点四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质➽➼➻对称轴★★顶点坐标★★增减性 【例4】如图，已知抛物线 经过 、 两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当 时，求 的取值范围； （3）点 为抛物线上一点，若 ，求出此时点 的坐标． 【分析】（1）把 、 分别代入 中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再 利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标； （2）结合图象、 两点及顶点坐标即可得出答案； （3）设 ，则 ，计算出 的值，再代入抛物线解析式即可得出点 的坐 标． （1）解：把 、 分别代入 中， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ，， ∴顶点坐标为 ； （2）解：由图可得： 当 时， ； （3）解：∵ 、 ， ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ①当 时， ， 解得： ， 此时 点坐标为 或 ； ②当 时， ，方程无解； 综上所述， 点坐标为 或 ． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式，二次函数的图象与性 质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的 关键． 【举一反三】 【变式】已知抛物线 ． （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … …（3）根据图象直接写出： 当 时， 的取值范围是______； 当 时， 的取值范围是______． 【分析】（1）根据配方即可求出对称轴和顶点坐标； （2）根据函数画图象的方法即可； （3）根据二次函数图象的性质即可求出取值范围． 解：（1）由 ， ∴抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标为： ， 故答案为： ， ， （2）列表求值： … … … … 连线，如图，故答案为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 当 时， ，解得： ， ， ∴ 时， 的取值范围是： ， 故答案为： ， 当 时，有图象可知，当 时， 有最小值 ， 当 时， 有最大值 ， ∴ 的取值范围是 ， 【点拨】此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【考点五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与各项系数的符号关系 【例5】老师给出了二次函数 的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论： ① 抛物线的对称轴为直线 ；② 是方程 的一个根；③当 时， ；④ 若 ， 是该抛物线上的两点，则 ．其中正确的是 ． x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 【答案】①②③ 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 ，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即 可得解． 解：①由表格可知：抛物线的对称轴为直线 ，故此选项正确；②当 时， ，则 是方程 的一个根，故此选项正确； ③由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为 ，所以当 时， ，故此选项正确； ④抛物线开口向上，当 时，y随x的增大而增大，若 ， 是该抛物线上的两点，分 两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则 ，当A与B在对称轴右侧时，则 ，故此选项不正 确； 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性 质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，已知抛物线 （a，b，c为常数，且 ）经过点 和 ．下列 四个结论：① ；② ；③ ；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点 ．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由题意得到抛物线开口向下，得出 ，对称轴为 ，判断a、b与0的关系，抛物线与 y轴的交点得出c的符号，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得 ，即可判断②；根据抛物线 经过点 和 ， ， ，即可判断③；先根据 和，得到 ，在根据对称性可知，抛物线过 ，即可判断④． 解：∵抛物线开口向下，对称轴为 ，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴ ， ， ， ∴ ，故①正确； ∵点 和 的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为 ， ， ∴ ，故②正确； ∵抛物线 经过点 和 ， ∴ ， ， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴ ， ∴ ，故③不正确； 由对称得：抛物线与x轴另一交点为 ， ∵ ， ∴ ， ， 无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点 ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数 ，系数a决定抛物线的开口 方向和大小；一次项系数b和a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点位置． 【变式2】已知抛物线 的顶点在第四象限，请判断b，c的符号并简要说明理由． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，横纵坐标的符号分别为“＋”“－”进行判断即可．解： ， 故抛物线的顶点坐标为： ， ∵顶点在第四象限， ∴ ， ∴ ， ∴ 的符号为“－”， 的符号可“＋”可“－”也可以是0． 【点拨】本题考查二次函数的图象性质．熟练掌握第四象限内点的符号特征，准确的求出二次函数的顶点 坐标是解题的关键． 【考点六】根据二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断式子的符号 【例6】二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③ ； ④ ．其中正确的是（ ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由二次函数图象可知， ， ， 即可判断①；由二次函数的对称轴为直线 即可判断②；将 代入 即可判断③；将 代入 即可判断④． 解：①∵开口向下， ∴ ， ∵对称轴为 ∴ ， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴ ， 故①错误； ∵对称轴为 ∴ ，即 ，故②正确； 由图象可得， 当 时， ，故③正确； 由图象可得， 当 时， ，故④错误． 综上所述，正确的有②③ 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】某二次函数 的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ） ① ；② ；③ ； ④ ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0的关系，然后根据对 称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①函数的对称轴在 轴右侧，则 ，抛物线与 轴交于负半轴，则 ，则 ，故①正确； ②函数的对称轴为 ，函数和 轴的一个交点是 ，则另外一个交点为 ，当 时， ，故②错误； ③函数的对称轴为 ，即 ，故③错误； ④由②③得， ， ，故 ，而抛物线开口向上，则 ，即 ，故 ，故④正确； 故选：B． 【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数 与方程之间的转换是解题的关键． 【变式2】已知二次函数 图像的一部分如图，以下结论：① ；②当 时， 函数有最大值；③方程 的解是 ， ；④ ．其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】根据函数图像和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 解：由图像可知： ， ， ， ∴ ，故①正确； 当 时，函数有最大值，故②正确； 方程 的解是 ， ，故③正确； ∵对称轴为直线 ， ∴ ，∴ ，故④错误； 故答案为：3 【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与 轴的交点，解答本题的关键 是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【考点七】根据二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象图象与性质综合运用 【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________； （3）求 的最大值； 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标为 ，根据 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上， 得出 ，根据 ，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时， 最小，即 最小，求出最小值即可； （3）求出直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，则 ，求出 ，得出当 时， 取得最大值 ． （1）解：∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， ， 将点A， 的坐标代入 ，得 ， 解得： ， ∴ ． （2）解：把 代入 得： ， ∴点C的坐标为 ， ∵ 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上， ∴ ， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴当点A、M、C在同一直线上时， 最小，即 最小， ∴ 的最小值为 的长， ∵ ， ∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．（3）解：设直线 的解析式为 ， 将点A， 的坐标代入，得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 设 ，其中 ， 则 ， ∴ ， ∴当 时， 取得最大值 ， 即 的最大值为 ． 【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质， 解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 【举一反三】 【变式1】如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D 点，点A的坐标为 ． （1）求D点的坐标；（2）连接 ，说明 ； （3）若点P是直线 下方抛物线上一动点，当点P位于何处时， 的面积最大？求出此时点P的坐 标． 【分析】（1）将 代入求出抛物线表达式，化为顶点式可得结果； （2）求出点B，点C坐标，分别求出 ， ， ，得到 ，即可证明结果； （3）过点P作 轴，垂足为R，与 交于点Q，求出 的解析式，设 ，则 ，得到 ，表示出 的面积，再根据二次函数的最值求解即可． （1）解：将 代入 ， 则 ， 解得： ， ， ； （2）连接 ，如图， ∵ ， 令 ，则 ，即 ，∵ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； （3）如图，过点P作 轴，垂足为R，与 交于点Q， 设 的解析式为 ，将 ， 代入， 得 ，解得： ， ∴ 的解析式为 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ 的面积为 ， ∵点P在 下方， ∴ ， 此时， ．【点拨】此题主要考查了二次函数的图象和性质，三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理， 正确表示出 的面积是解题关键． 【变式2】已知二次函数 ，当 时， 时， ， （1）求b与c的值． （2）当x取何值时， （3）抛物线上有两点 ， ，当 时，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）由已知得到关于 的二元一次方程组，解出b、c即可； （2）由（（1）知：二次函数为 ，根据函数的增减性即可得出x的取值范 围； （3）根据二次函数图象的增减性和点离对称轴的距离的关系，分类讨论：两点不在对称轴右侧、两点 不在对称轴左侧，两点分别在对称轴两侧，分别得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 解：（1）由题意得 ， 解得： ， 即b与c的值分别为 ； （2）由（1）知：二次函数为 ， ∴二次函数图象的顶点为 ，开口向上，对称轴是直线 ， 当 时，函数有最小值为 ；当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，∴当 时， ， 解得： ； 当 时， ， 解得： ， ∴当 或 时， ． （3）∵抛物线上有两点 ， ∴由（2）知：当 时，函数有最小值为 ；当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随 x的增大而增大， ∴当 时，则 ， 有两点不在对称轴右侧时， ； 两点不在对称轴左侧时， ， 有两点分别在对称轴两侧时， ， ∴由 解得： ；由 解得： ， 由 解得： ，而 无解， ∴综上所述，当 时，a的取值范围是 或 ． 【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，不等式组的解法等知识点，熟练掌握其性质是解决此 题的关键．