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限时跟踪检测(五十一) 椭圆(一)
一、单项选择题
1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A． B．
C．2 D．4
2．(2023·湖南长沙模拟)椭圆＋＝26的短轴长为( )
A．10 B．12
C．24 D．26
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．(2024·四川资阳模拟)如图所示，椭圆＋＝1(a>2)的左、右焦点分别为F ，F ，过F
1 2 1
的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H，若F ，H是线段MN的三等分点，则△FMN
1 2
的周长为( )
A．20 B．10
C．2 D．4
5．(2024·山东聊城模拟)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆
上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和
的算术平方根．设椭圆C的焦点为F ，F ，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日
1 2
圆的半径，若PF1·PF2的最小值为R2，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
6．(2024·广东东莞模拟)已知F ，F 分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F
1 2 1
且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AFB是边长为4的等边三角形，则椭圆
2
C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
7．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，P是C上一点，
1 2且FP⊥FP.若△PFF 的面积为4，则a＝( )
1 2 1 2
A．1 B．2
C．4 D．8
8．(2024·广西柳州、梧州大联考)已知F是椭圆C：＋＝1的右焦点，P为椭圆C上一
点，A(1，2)，则|PA|＋|PF|的最大值为( )
A．4 B．4
C．4＋2 D．4＋2
9．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点M在椭圆C上，当△MF F 的
1 2 1 2
面积最大时，△MF F 的内切圆半径为( )
1 2
A．3 B．2
C． D．
二、多项选择题
10．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星
附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，
2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二
次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米，
远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c 和2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a
1 2 1
和2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是( )
2
A．a＋c＝a＋c
1 1 2 2
B．a－c＝a－c
1 1 2 2
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2
D．acb>0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有( )
A．ω2＋ω＝1
B．黄金椭圆的离心率e＝ω
C．设直线OQ的倾斜角为θ，则sin θ＝ω
D．交点Q的坐标为(b，ωb)
三、填空题与解答题
12．(2024·山东济宁第一中学质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F
的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则
椭圆的离心率为________．13．(2024·河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距
离的最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为______________；若 P 为椭圆 C 上一动点，
M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F(－c,0)，F(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为
1 2
(0，c)，点A到直线EF 的距离为b.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，且∠FPF ＝60°，△PFF 的面积为，求椭圆C的标准方
1 2 1 2
程．
高分推荐题
15．(多选)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F ，F ，M为
1 2
椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF F 的周长为6
1 2
B．△MF F 的面积为
1 2
C．△MF F 的内切圆的半径为
1 2
D．△MF F 的外接圆的直径为
1 2
解析版
一、单项选择题
1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A． B．
C．2 D．4
解析：将原方程变形为x2＋＝1.
由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.
答案：A
2．(2023·湖南长沙模拟)椭圆＋＝26的短轴长为( )
A．10 B．12
C．24 D．26
解析：由题意，得
解得则b＝12,2b＝24.故选C．
答案：C
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为＝，即长半轴长为，
所以半焦距为，故离心率为.
答案：B
4．(2024·四川资阳模拟)如图所示，椭圆＋＝1(a>2)的左、右焦点分别为F ，F ，过F
1 2 1
的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H，若F ，H是线段MN的三等分点，则△FMN
1 2
的周长为( )
A．20 B．10
C．2 D．4
解析：∵FH＝HN，OF ＝OF ，∴OH∥FN，∵N，∴可得H.∵F 为MH的中点，∴
1 1 2 2 1
易得M，将点M代入椭圆方程，即＋＝1，即4c2＋1＝a2，∴b2＝a2－c2＝3c2＋1＝4，∴c2
＝1，∴a＝，∴△FMN的周长为4a＝4.
2
答案：D
5．(2024·山东聊城模拟)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆
上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和
的算术平方根．设椭圆C的焦点为F ，F ，P为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日
1 2
圆的半径，若PF1·PF2的最小值为R2，则椭圆C的离心率为( )A． B．
C． D．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得R2＝a2＋b2.设P(x，y)，F(c,0)，F(－
1 2
c,0)，则PF1·PF2＝x2＋y2－c2＝x2＋－c2＝＋a2－2c2.∴当x＝0时，PF1·PF2有最小值a2－2c2.
(当椭圆焦点在y轴上时，同理可证)∴a2－2c2＝(a2＋b2)＝(2a2－c2)，即e2＝＝，解得e＝或
e＝－(舍去)．故选D．
答案：D
6．(2024·广东东莞模拟)已知F ，F 分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F
1 2 1
且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AFB是边长为4的等边三角形，则椭圆
2
C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：如图所示，∵△ABF 是边长为4的等边三角形，
2
∴|AF|＝4，|AF|＝|AB|＝2，
2 1
∴2a＝|AF|＋|AF|＝6，∴a＝3.
1 2
又∵|FF|＝2c＝
1 2
＝2，∴c＝，
则b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的方程为＋＝1.故选B．
答案：B
7．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，P是C上一点，
1 2
且FP⊥FP.若△PFF 的面积为4，则a＝( )
1 2 1 2
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：∵＝，∴3a2＝4c2.由椭圆定义可得|PF|＋|PF|＝2a.由FP⊥FP得|PF|2＋|PF|2
1 2 1 2 1 2
＝(2c)2，
又△PFF 的面积为4，则|PF|·|PF|＝4，即|PF|·|PF|＝8，∴(|PF|＋|PF|)2－2|PF|·|
1 2 1 2 1 2 1 2 1
PF|＝4c2，即4a2－16＝3a2，则a2＝16，解得a＝4.故选C．
2
答案：C
8．(2024·广西柳州、梧州大联考)已知F是椭圆C：＋＝1的右焦点，P为椭圆C上一
点，A(1，2)，则|PA|＋|PF|的最大值为( )
A．4 B．4
C．4＋2 D．4＋2
解析：由题意可得，a＝2，b＝，c＝＝1，则椭圆C：＋＝1的右焦点为F(1,0)．
∵＋＝>1，∴点A(1,2)在椭圆外．设椭圆C的左焦点为F′(－1,0)，连接PF′(图略)，
则|PF′|＋|PF|＝4，即|PF|＝4－|PF′|，
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋4－|PF′|.
∵|PA|－|PF′|≤|AF′|＝2，当点P为AF′的延长线与椭圆的交点时取等号，
∴|PA|＋|PF|≤4＋2.
故|PA|＋|PF|的最大值为4＋2.故选D．
答案：D
9．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点M在椭圆C上，当△MF F 的
1 2 1 2
面积最大时，△MF F 的内切圆半径为( )
1 2
A．3 B．2
C． D．
解析：因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4.当△MF F 的面积最大时，点M
1 2
为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF F 的内切
1 2
圆半径为r，则|MF |＝|MF |＝a＝5，|FF|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，S ＝(|MF |＋|MF |＋|
1 2 1 2 △MF1F2 1 2
FF|)·r＝|FF|·|OM|，所以r＝.故选D．
1 2 1 2
答案：D
二、多项选择题
10．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星
附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，
2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二
次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米，
远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c 和2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a
1 2 1
和2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是( )
2
A．a＋c＝a＋c
1 1 2 2
B．a－c＝a－c
1 1 2 2
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2
D．aca ，b>b ，c>c ，∴a ＋c>a ＋c ，故A错误；|PF|＝a －c ＝a －
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
c ，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b ＝2＝2＝2，故C正确；由a －c ＝a －c 得a ＋c ＝
2 2 1 1 2 2 1 2
a ＋c ，两边平方，得a＋c＋2ac ＝a＋c＋2ac ，即b＋2ac ＝b＋2ac ，由于b>b>0，故
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
b>b，∴acb>0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q，则下列结论正确的有( )
A．ω2＋ω＝1
B．黄金椭圆的离心率e＝ω
C．设直线OQ的倾斜角为θ，则sin θ＝ω
D．交点Q的坐标为(b，ωb)
解析：方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝，故A正确；由题意可知，＝＝ω，则e＝＝＝＝
≠ω，故B错误；易知QF⊥QF ，且∠QFF ＝，则|QF|＝2c·sin ，|QF|＝2c·cos ，所以|
1 2 1 2 2 1
QF|＋|QF|＝2c·＝2a，即sin ＋cos ＝＝，两边平方，可得sin θ＋1＝2＝＝，即sin θ＝－
1 2
1＝＝ω，故C正确；由C知sin θ＝ω，所以tan θ≠ω，故D错误，故选AC．
答案：AC
三、填空题与解答题
12．(2024·山东济宁第一中学质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F
的直线交椭圆于A，B两点，点C是A点关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF＝AB，则
椭圆的离心率为________．
解析：设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，则四边形FAF′C为矩形，
所以AF′＝CF＝AB，且AF′⊥AB，
则三角形ABF′为等腰直角三角形，
设AF′＝AB＝x(x>0)，则x＋x＋x＝4a，
解得x＝(4－2)a，则AF＝(2－2)a，
在 Rt△AFF′中，由勾股定理得(AF′)2＋(AF)2＝(2c)2，所以[(4－2)a]2＋[(2－2)a]2＝
(2c)2，得e2＝9－6，所以e＝－.
答案：－
13．(2024·河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距
离的最小值为 1，则椭圆 C 的标准方程为______________；若 P 为椭圆 C 上一动点，
M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
解析：因为椭圆C的一个焦点为F(0,1)，所以椭圆C的焦点在y轴上，且c＝1.
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以a－c＝1，得a＝2.
因为b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.将M(3,3)代入椭圆方程，得＋＝>1，所以点M在椭圆外．
如图所示，设椭圆C的另一个焦点为F′(0，－1)，
则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PM|－|PF|＝|PM|＋|PF′|－4.
当F′，P，M三点共线时，|PM|＋|PF′|取得最小值，且最小值为|MF′|＝＝5，
所以|PM|－|PF|的最小值为1.
答案：＋＝1 1
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F(－c,0)，F(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为
1 2
(0，c)，点A到直线EF 的距离为b.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，且∠FPF ＝60°，△PFF 的面积为，求椭圆C的标准方
1 2 1 2
程．
解：(1)由题意，得A(－a,0)，直线EF 的方程为x＋y＝c.
2
因为点A到直线EF 的距离为b，
2
即＝b，
所以a＋c＝b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍去)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c①.
因为∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，
1 2 1 2
所以|PF||PF|sin 60°＝，
1 2
所以|PF||PF|＝4.
1 2
又
所以a2－c2＝3②，
联立①②，得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
高分推荐题
15．(多选)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F ，F ，M为
1 2
椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF F 的周长为6
1 2B．△MF F 的面积为
1 2
C．△MF F 的内切圆的半径为
1 2
D．△MF F 的外接圆的直径为
1 2
解析：椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F(－1，0)，F(1,0)．
1 2
因为M为椭圆C上一点，所以＋＝1，解得|y|＝，
0
所以|MF |＝＝，|MF |＝4－＝.
1 2
所以△MF F 的周长为|MF |＋|MF |＋|FF|＝4＋2＝6，A正确；
1 2 1 2 1 2
△MF F 的面积为×2c×|y|＝c×|y|＝1×＝，B错误；
1 2 0 0
设△MF F 的内切圆的半径为r，则×6×r＝，解得r＝，C正确；
1 2
cos∠FMF ＝＝>0，
1 2
所以∠FMF 为锐角，
1 2
则sin∠FMF ＝＝，
1 2
所以△MF F 的外接圆的直径为＝＝＝，D错误．
1 2
答案：AC
