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专题 22.3 二次函数的性质【六大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】......................................................................................................................1
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】..................................................................................................................2
【题型3 二次函数的对称性的应用】..............................................................................................................................3
【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】..............................................................................................................3
【题型5 利用二次函数的性质求最值】..........................................................................................................................4
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】..................................................................................................................5
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【例1】（2022•新华区校级一模）已知函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．当m＝0时，y随x的增大而增大
1 1 1
B．当m= 时，函数图象的顶点坐标是（ ，- ）
2 2 4
5
C．当m＝﹣1时，若x＜ ，则y随x的增大而减小
4
D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点
【变式1-1】（2022秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）
D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧
【变式1-2】（2022秋•金牛区期末）对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2022•赤壁市一模）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列结论：
①它的图象与x轴有两个交点；
②如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m＝﹣1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝1；
④如果当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，则m＝5．
其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【例2】（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y ．当
1 2 3 1 2 3
﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
【变式2-1】（2022秋•金安区校级月考）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则
a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
m+n
【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y ），B（b﹣n，y ），C（b+ ，y ）都
1 2 3
2
在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【变式2-3】（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
若A（m﹣1，y ），B（m，y ），C（m+2，y ）为抛物线上三点，且总有y ＞y ＞y ．结合图象，则m
1 2 3 3 1 2
的取值范围是 ．【题型3 二次函数的对称性的应用】
【例3】（2022秋•望江县期末）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 1 3 4 …
y … ﹣6 m n ﹣6 …
则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【变式3-1】（2022秋•甘州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 …
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
1 3
A．y轴 B．直线x= C．直线x＝1 D．直线x=
2 2
【变式3-2】（2022•随州校级模拟）已知二次函数y＝2x2﹣9x﹣34，当自变量x取两个不同的值x ，x 时，
1 2
函数值相等，则当自变量x取x +x 时的函数值应当与（ ）
1 2
A．x＝1时的函数值相等 B．x＝0时的函数值相等
1 9
C．x= 的函数值相等 D．x= 的函数值相等
4 4
【变式3-3】（2022•临安区模拟）已知二次函数的解析式为 y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数
过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
3 3
A．﹣2≤a≤- B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤- D．0≤a≤2
2 2
【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】
【例4】（2022•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，
则m的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【变式4-1】（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于
2，则n的取值范围是 ．【变式4-2】（2022秋•鹿城区校级期中）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+9，当m≤x≤5时，0≤y≤9，则m
的值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C．3 D．4
【变式4-3】（2022•绵竹市模拟）若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【例5】（2022秋•丹阳市期末）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是_______．
【变式5-1】（2022秋•宁明县期中）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值．
【变式5-2】（2022•雁塔区校级四模）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B
到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【变式5-3】（2021•永嘉县校级模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y ）和B
1
（2m+1，y ），1＜y ＜y ，则满足条件的m的最小整数是（ ）
2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【例6】（2022秋•让胡路区期末）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（
）
7 7
A．﹣4或 B．﹣2√3或 C．﹣4 或2√3 D．﹣2√3或2 √3
2 2
【变式6-1】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣
2，则m＝（ ）
3 3 3
A．3 B．﹣3或 C．3或- D．﹣3或-
8 8 8
【变式6-2】（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x ，y ）是该函数
p p
图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
p p
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
【变式6-3】（2022秋•南充期末）若二次函数y＝x2﹣2x+5在m≤x≤m+1时的最小值为6，那么m的值是
．
