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专题 22.1 二次函数的定义之五大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 二次函数的识别】............................................................................................................................1
【考点二 二次函数中各项的系数】................................................................................................................3
【考点三 利用二次函数的定义求参数】........................................................................................................4
【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】................................................................................5
【考点五 列二次函数的关系式】....................................................................................................................6
【过关检测】.....................................................................................................................................................9
【典型例题】
【考点一 二次函数的识别】
例题：（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A． 是一次函数，故不符合题意；
B． 是二次函数，故符合题意；
C． 是一次函数，故不符合题意；
D． 是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数叫
做二次函数．【变式训练】
1．（2023秋·甘肃平凉·九年级校考期中）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B. 不是二次函数，故此选项不符合题意；
C. ，是二次函数，故此选项符合题意；
D. ，当 时，不是二次函数，故此选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，形如 的函数叫做二次函数，其中 都是常
数， ，熟练掌握二次函数的定义并灵活运用是解决本题的关键．
2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）下列函数中，是二次函数的有（ ）
① ，② ，③ ，④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：形如 （ ， ， 为常数且 ），逐一判断即可．
【详解】解：① ，是二次函数；
② ，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③ ，整理后是二次函数；
④ ，整理后是二次函数；
故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）有下列函数：① ；② ；③ ；④
．其中y是x的二次函数有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据二次函数定义：形如 （a、b、c是常数， ）的函数，叫做二次函数进行
分析即可．
【详解】解：y是x的二次函数的是② ；③ ；④ ．
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若
是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个
关键条件．
【考点二 二次函数中各项的系数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先把二次函数化为 的形式，再找出其一次项系数．
【详解】∵原二次函数可化为
∴其一次项系数是 ．
故选：D．
【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为 的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）二次函数 的一次项系数是（ ）
A． B．1 C． D．6【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，即可解答．
【详解】解：二次函数 的一次项系数是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请
指出二次项、一次项系数及常数项．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(2)不是；
(3)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
（2） ，不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
（4） 中 不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知
识点．形如 （ ）的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、 是
常数项．
【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数 是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如 （a，b，c是常数， ）的函
数，叫做二次函数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知 是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得： ，且 ，再解即可．
【详解】由题意得： ，且 ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如 (a、b、c是常数， )的
函数，叫做二次函数．
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习） 是二次函数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解： 是二次函数，
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数 的
定义条件是：a、b、c为常数， ，自变量最高次数为2．
【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】
例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线 经过点 ，则a的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．
【详解】解：将 代入 中，得：
，
解得： ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线 过点（2，4），则代数式 的值
为（ ）
A．14 B．2 C．－2 D．－14
【答案】A
【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．
【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得
4a+2b-3=4，
整理得8a+4b=14.
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线 经过点 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把点 代入解析式，得到 ，然后化简 ，整体代入即可得到
答案.
【详解】解：把点 代入 ，
得： ，
∵
；
故选择：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.
【考点五 列二次函数的关系式】
例题：（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为 的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y
，一边长为 ，用含有x的代数式表示y为______，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为 ，
所以另一边长为
又∵长方形面积 长 宽，
，
所以 ．②∵ ，
∴
∴自变量x的取值范围是 ．
故答案为：① ；② ．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为 万元，如果每年的折旧率是 ，两年后这台机器
的价格为 万元，则 与 之间的函数关系式为_____．
【答案】
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为 万元，每年的折旧率是 ，两年后这台机器的价格为 万元，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格 原价 ．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．
物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量 （千
克）是销售单价 （元）的一次函数，且当 时， 时， ．在销售过程中，每天还
要支付其它费用450元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式．
【答案】(1) ( )；
(2) ( )
【分析】（1）根据 与 写成一次函数解析式，设为 ，把 与 的两对值代入求出 与 的值，
即可确定出 与 的解析式，并求出 的范围即可；（2）根据利润=单价 销售量列出 关于 的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设 与 的函数关系式为
．
时， ，
时， ，
，
解得 ，
，
根据部门规定，得 ．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二
次函数性质是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、 是二次函数，故本选项符合题意；
D、 是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，
，自变量最高次数为2．
2．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】先确定二次函数的一次项，再确定一次项系数即可．
【详解】解：二次函数 的一次项为 ，所以一次项系数为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数 的各项系数，其中 为二次项系数， 为一次项系数，
为常数项，在确定各项系数时，系数前面的符号是关键．
3．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
4．（2023·上海·九年级假期作业）关于x的函数 是二次函数的条件是（ ）
A．a≠b B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得：a≠b，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分
率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（ 每次降价的百分率） ，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6．（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或 B．0或1 C． D．1【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得 ，且 ，再解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： 或 且 ，
故 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如 （其中a，b，c是常数，
）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
7．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地 ，其中 ．计划在绿地上
建造一个矩形的休闲书吧 ，使点P，M，N分别在边 上．记 ，图中
阴影部分的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函
数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出 ，再证明 都是等腰直角三角形，从而推出 ，
，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等
等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
二、填空题
8．（2022春·全国·九年级专题练习）二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 / 3
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是3，
故答案为： ；3．
【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
9．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数 ，当 时， ．
【答案】10
【分析】把 代入 计算即可．
【详解】把 代入 ，得
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．
10．（2023·上海·九年级假期作业）若函数 是关于 的二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数 是关于 的二次函数，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如
（ 且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
11．（2023·上海·九年级假期作业）二次函数 的图象经过点 ，则代数式
的值为 ．
【答案】
【分析】把 代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：把 代入函数解析式，得
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．
12．（2023·全国·九年级假期作业）某化工厂 月份生产某种产品 ， 月份生产这种产品 ，则 与产
品产量的月平均增长率 之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】根据增长率问题，2月份的产量为 ，则3月份的产量为 ，列出函数关系式即
可求解．
【详解】解：依题意， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）有下列函数：
①y=5x-4；② ；③ ；④ ；⑤ ；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
【答案】②④
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：②y= ；④y= ﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y= 自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y= 的右边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，
若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这
个关键条件．
14．（2022秋·北京东城·九年级校考阶段练习）已知函数 ，若它是二次函数，则函数
解析式为 ．
【答案】
【分析】由函数 是二次函数，可得 且 ，从而可得答案．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
当 时，
解得： ， ，综上： ，
∴函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键．
三、解答题
15．（2023·上海·九年级假期作业）判断下列函数是否是二次函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1） ，没有二次项，故不是二次函数；
（2） ，符合 ，故是二次函数；
（3） ，不是整式，故不是二次函数；（4） ，符合 ，故是二次函数；
（5） ，符合 ，故是二次函数；
（6） ，没有二次项，故不是二次函数．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合
的形式．
16．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知函数 ．
(1)当a为何值时，此函数是二次函数；
(2)当a为何值时，此函数是正比例函数．
【答案】(1) 时，此函数是二次函数；
(2) 或 或2，此函数是正比例函数．
【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可；
（2）根据正比例函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： 且 ，解得： ，
∴当 时，此函数是二次函数；
（2）解：由题意得： 且 ，或 ， 且 ，
解得： 或 或2，
当时 或 或2，此函数是正比例函数．
【点睛】本题考查二次函数的定义，正比例函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：形如
这样的式子叫做二次函数；正比例函数定义：形如 （k是常数， ）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽
相等，高比长多 ．
（1）长方体的长和宽用 表示，长方体的表面积 的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式
是什么？
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到 ，再去括号整理
即可；
（2）把（1）中的 除以5即可得到 ．
【详解】解：（1）
；
（2） ．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函
数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题．
18．（2022·全国·九年级假期作业）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210
件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过
80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y
件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是 元，就少
卖 件，用原来的210件去减 得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是 元，就少卖 件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去 得到最终的
销售量．
（2）根据利润=（售价-成本） 销量，现在的单件利润是 元，再去乘以（1）中两种情况下的销售
量，得到销售利润关于售价的式子．
【详解】（1）当 时， ，即 ．
当 时， ，即 ，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
【点睛】本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关
系式以及熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的
形式，还要标上 的取值范围．
