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专题 22.17 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做二次函数，自变量x的取值
范围为全体实数.
(2) 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和一次项系数.
【知识点2】二次函数的解析式
(1)三类解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x，x是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
(2)待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
【知识点3】二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
与
4ac−b2
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
最值
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).b b
− −
a>0 x<0(h或 2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而增大。
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
减
b b
性 − −
x<0(h或 2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而减小。
a<0
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
。
1.图象是轴对称图形；
对
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当a、b异号
时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与
y轴的交点在负半轴上.
【知识点5】二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上
“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法
如下：(2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【知识点6】二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的
根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点7】二次函数与不等式
(1)抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
(2)抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【知识点8】二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】求二次函数的解析式
【例1】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线 经过 ， ， 三
点，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把
三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．
解：将 ， ， 代入抛物线 中得：
，
解方程组得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
【变式1】（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知二次函数的图象顶点是 ，且过点 ，求这
个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为
，.顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，极值为当 时， 来求出相应的
数．
解：设二次函数解析式为 ，图象顶点是 ，
∴ ，
依题意得： ，
解得 ，∴ .
【变式2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与 轴交于点 ，与 轴交点
是 ，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为 ，将点
代入，即可求解．
解：依题意，设二次函数解析式为 ，将点 代入，得
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为： ．
【题型2】二次函数的图象与性质
【例2】（22-23九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称
轴是直线 ，与 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与 轴交于点 ．
（1）求 的值及B，C两点坐标；
(2) 为第一象限内抛物线上的一个点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．当线段 的长取
最大值时，求点 的坐标；
【答案】(1) ， ， (2)
【分析】（1）根据该抛物线的对称轴是直线 ，结合对称轴的公式即可求出b的值，从而得出抛物线
解析式，进而即可求出B，C两点坐标；（2）先利用待定系数法可求出直线 的解析式为 ．设 ，则
，则可求出 ．再根据 为第一象限内抛物线上的一个点，
即得出 ，从而可求出当 时， 有最大值，进而得出 ．
解：（1）∵对称轴 ，
得 ，
∴抛物线的解析式为： ．
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ．
（2）解：设直线 的表达式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ．
设 ，则 ，
则
．∵ 为第一象限内抛物线上的一个点，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为3，
此时 ，
∴ ．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的综合．利
用数形结合的思想是解题关键．
【变式1】（22-23九年级上·广东湛江·期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐
标、最值以及增减性即可求解．
解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上，选项A说法错误，不符合题意；
函数图象的顶点坐标是 ，选项B说法错误，不符合题意；
函数图象开口向上，有最小值为5，选项C说法错误，不符合题意错误；
函数图象的对称轴为 ， 时y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大，选项D说法正
确，符合题意．
故选：D．
【变式2】（2024·山东临沂·模拟预测）已知二次函数 的对称轴是直线 ，点
、 在这个二次函数的图象上，若 ，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟知二次函数图象上点的坐标一
定满足该函数解析式是解本题的关键．依据题意，将点 、 代入二次函数解析式中得 ， ，进而可得
，解得 ，以此即可求解．
解： 点 、 在这个二次函数 的图象上，
， ，
，
整理得： ，
， 抛物线的对称轴是直线 ，
， 故答案为： ．
【题型3】二次函数的图形变换（平移、折叠、旋转）
【例3】（22-23九年级下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点
旋转 ，再向下平移5个单位，求所得到的抛物线的顶点坐标．
【答案】
【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，求出顶点坐标，再根据关于原点对称点的坐标特征得出绕原点
旋转 后的顶点坐标，最后根据平移的规律即可求解．
解：∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∴绕原点旋转 后的抛物线顶点坐标为 ，
∴向下平移5个单位后的顶点坐标为 ．
【点拨】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，关于原点对称的点的坐标特征，点的平移规律，解题的
关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式的方法，以及关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若将抛物线 平移后得到抛物线 ，
下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移 个单位，再向上平移 个单位 B．向左平移 个单位，再向下平移 个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移 个单位 D．向右平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把 配成顶点式 ，然后根据“上加下减，
左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
解：由抛物线
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线 ，
则 即 由抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，
故答案为： ．
【变式2】（2023·广东河源·一模）抛物线 的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单
位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【答案】
【分析】易得抛物线 的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线
的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即
可解答．
解：
所以原抛物线的顶点为 ，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为
；
可设新抛物线的解析式为 ，
代入得： ，
把抛物线绕顶点旋转180°，可得新抛物线的解析式的二次项的系数为 ，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为： ，
故答案为： ．
【题型4】二次函数的图像与各项系数之间的关系
【例4】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 的图象如图所示．
（1）判断 、 、 及 的符号；
（2）求 的值；
（3）给出下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的有 ．（填序号）
【答案】(1) ， ， ， ； (2) ；(3)①③
【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案；
（2）由函数的图象可知，当 时， ，代入即可得到答案；
（3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案．
解：（1）解： 抛物线开口向上，
，
对称轴在y轴右侧，
、 异号，
，
抛物线与y轴负半轴相交，
，
当 时， ，
；（2）解：由函数的图象可知，当 时， ，
；
（3）解：由（1）可知， ，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
，
，②结论错误；
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，③结论正确；
故答案为：①③．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关
系是解题关键．
【变式1】（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图是二次函数 （a，b，c是常数， ）
图像的一部分，与x轴的交点A在点 和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：① ；
② ；③ ；④ （m为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是
（ ）A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与
不等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴 可得结论；③结合②得到的结论即
可判断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可．
解：① 对称轴在y轴右侧，
异号，
，故正确；
② 对称轴 ，
，
，故正确；
③ ，
，故错误；
④根据图象知，当 时； 有最大值，
当 为实数时，有 ，
（m为实数），故正确；
⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点 和 之间，
故无法确定 时，x的取值范围，故错误；
故选：A．【变式2】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数 （ ）的图象如图所示，则下列说
法：
① ；
② ；
③ ；
④ 当 时， ；
⑤ ．
其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．
解：∵抛物线开口向下，
∴ ；
∵对称轴在原点的右边， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴②正确；
∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴上，∴ ，
∴ ；
故①错误；
根据函数图象，得 ；
故③正确；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴当 时， ；
故④正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴⑤错误；
故答案为：②③④．
【题型5】二次函数与一元二次方程
【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数 ，设其图象与x轴的交点分别
是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：
（1） 、B、C三点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，求 的面积．
【答案】(1) ， ， (2)6
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式．熟练掌握抛物线
与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式是解题的关键．（1）令 ，则 ，计算求解可得 、B点的坐标；令 ，则 ，可得C点的坐标；
∴ ；
（2）由 ，可得 ，记对称轴与 相交于点M，如图，待定系数法求
直线 的解析式为 ，当 ， ，即 ，根据 ，
计算求解即可．
解：（1）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
记对称轴与 相交于点M，如图，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，当 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为6．
【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 和抛物线
，如图所示， ， 是方程 的两个根，且 ，则函数
的坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次
方程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定 ， 的正负是解题的关键．
根据方程 的两个根 和 ，即转化为 与 函数图象交点
问题，通过图象交点可得 ，即可确定函数 在坐标系中的大致图象．
解： ， 是方程 的两个根，
与 函数图象两交点横坐标为 ， ，由图象可得： ，
， ，
故函数 在坐标系中的图象经过第二、三、四象限，
故选：B．
【变式2】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点
， ，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式
是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线 ，再令 ，得 ，解得
或 ，从而即可得解．
解：把点 ，点 代入抛物线 得，
，
解得 ，
∴抛物线 ，
令 ，得 ，
解得 或 ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ．
【题型6】二次函数与不等式
【例6】（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线
的相交于点 和点 （点 的横坐标小于点 的横坐标）
（1）求交点 和点 的坐标；
（2）求当 时， 的最大值；
（3）直接写出 的解集．
【答案】(1) ， (2)9 (3)
【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合：
（1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可．
解：（1）解：联立 ，解得 或 ，
∵点 的横坐标小于点 的横坐标，
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵ ，
∴当 时，且 时， 有最大值，最大值为 ；（3）解：由函数图象可知，当 时， ．
【变式1】（2024·四川泸州·一模）设二次函数 ，当 时，总有 ，当 时，
总有 ，那么c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知当 时， ，据此可得
，再由当 时， ，得到 ，解之即可得到答案．
解：∵二次函数 ，当 时，总有 ，当 时，总有 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵当 时，总有 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选；B．
【变式2】（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图，二次函数 的图像与x轴的右交点为，对称轴是直线 ，当 时，x的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查抛物线和x轴的交点，涉及到二次函数的图象和性质、不等式的性质，由对称轴时直线
得 ，与x轴右交点为 ，代入抛物线得 ，把 ， ，代入抛物线得
，运用不等式的性质得到 ，根据 的图象和性质可得结果．
解：∵ 的对称轴是直线 ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵与x轴右交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （两边同除以a，不等号方向改变），∵ ， ，开口向上，
当 时，
，
∴ ，
即 与x交点为 ，函数图象如图，
∴当 时， ，
故答案为： ．
【题型7】实际问题与二次函数
【例7】（2024·广西南宁·模拟预测）某县贡桔成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
（1）每日贡桔销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间的函数关系如图所示，求y与x之间的函数关系式；
（2）若每天销售利润率不低于 ，且不高于 ，求每日销售的最大利润．
【答案】(1) (2)每日销售的最大利润为1408元
【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，
这也是解决实际问题的难点和关键．（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为 ，把 和 代入即可求出结果；
（2）由每天销售利润率不低于 ，且不高于 可求出 的取值范围，设每日销售利润为 元，利用
二次函数模型即可求出最大利润．
解：（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为 ，
由题意得：当 时， ；当 时， ；
，
解得： ， ．
，
答： 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意得： ，
解得： ，
设每日销售利润为 元，
，
，
开口向下，
对称轴为直线 ， ，
随 的增大而增大，
当 时，利润最大为 （元 ，
答：每日销售的最大利润为1408元；
【变式1】（2024·山西晋中·一模）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线 可近
似看作一条抛物线，四边形 为矩形且支架 ， ， ， 均垂直于地面 ．已知
米， 米，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 （规
定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为 ，则抛物线的表达式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量
的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．根据抛物线在坐标系中的特殊位置，设抛物线解析
式为 ，然后代入 ， 求解即可．
解：∵ 米， 米，
∴ 米， 米，
∴
∴设抛物线解析式为
∴将 ， 代入得
解得
∴ ．
故选：A．
【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长
度为 ，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏的总长度为 ，设较小矩形的宽为 ，则矩形养殖场总面积的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设 ，则
， ，设矩形养殖场的总面积是 ，根据题意得： ，由二次
函数性质求最值即可．
解：如图，
设 ，
∵分成两个面积为 的矩形，
∴ ， ，
设矩形养殖场的总面积是 ，
墙的长度为 ，
，
根据题意得： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
故答案为： ．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销
售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应
值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果
日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利
用二次函数的性质求解即可．
解（1）解∶设y与x的函数表达式为 ，
把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得
解得 ，
当 时， ,
则每盒的利润为： ,舍去，
∴m的值为2．
【例2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数 的图像经过点 ，点 ，
是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式， ，则 ， ，表示出
， ，代入 即可求解；
（3）设 ，则 ，求出直线 的解析式，把 代入即可求出线段
长度的最大值．
解：（1）∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时， ，∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ 的值为定值；
（3）设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
，∴当 时，线段 长度的最大值 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，已知拋物线 与x轴交于点 ，B，与y
轴交于点 ，P点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，P点是直线 上方抛物线上一点，当点P到直线 的距离为最大时，求此时P点坐标；
(3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若
为等腰直角三角形， ，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究 的值是否为定
值，若是，求 的值；若不是，请说明理由；
(4)点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作 轴，垂足为点D，直线 与直线
交于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，求点P的坐标．
【答案】(1) (2) (3) 的值是定值，定值为1 (4) 或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接 ，过点P作 轴交 于点S，过P作 于点T，求出直线 的解析式为
，设点P的坐标为 ，则点S的坐标为 ，可得 ，再由，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得点 ， ，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N
作 ， ，垂足分别为H，G，则 ，证明 ，可得
，再由 ，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点P在第二象限时；当点P在第三象限时，即可求解．
（1）解：把 ， 代入拋物线 得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ，过点P作 轴交 于点S，过P作 于点T，
设直线 的解析式为 ，把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点S的坐标为 ，
∴ ，
∵点 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 得值最小，即点P到 得距离最小，
此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵抛物线的解析式为
∴对称轴为直线 ，
∴点 ， ，
如图，设直线l交x轴于点Q，分别过点M，N作 ， ，垂足分别为H，G，则
，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的值是定值，定值为1；
（4）解：当点P在第二象限时，如图，
设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
由（2）得：直线 的解析式为 ，
∴点E的坐标为 ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵点E关于直线 的对称点 落在y轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点P的坐标为 ；
当点P在第三象限时，如图，同理 ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，一次函数，两点间距离公
式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
【例2】（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于
点C，抛物线对称轴交直线 于点D，P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线 下方的抛物线上时，连接 ，求 面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)直线 分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时， 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1) (2) ， (3) 是定值，为
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 的解析式，将直线 向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时
的面积最大，求出 点坐标，再利用分割法求出此时 的面积即可；
（3）设 ，分别求出直线 的解析式，进而求出点M，N的坐标，进而求出
的值即可．
（1）解：∵抛物线 交x轴于 两点，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴对称轴为直线： ，当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，将直线 向下平移，直至平移后的直线与抛物线只有一个交点时，此时 的面积最大，
设平移后的直线的解析式为： ，
令 ，
整理，得： ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴当 点坐标为 时， 的面积最大，
过点 作 轴交 于点E，则： ，
∴ ，
∴ 的面积的最大值为： ．
（3）是定值：
设 ，设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，∴ ，
当 时， ，
∴ ，
同法可得，直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，且 均在点 的下方，
∴ ， ，
∴ ；
∴ 是定值，为 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数的平移，分割法求面
积，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关
键．
