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专题 22.1 二次函数（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的识别】......................................................................................................................................2
【题型2 根据二次函数的定义求参数】..................................................................................................................3
【题型3 二次函数的一般形式】..............................................................................................................................5
【题型4 二次函数的各项系数】..............................................................................................................................6
【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................7
【题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】........................................................................... 9
【题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】...........................................................................10
知识点 1 二次函数的概念
1. 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是 a , b ，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
一次项系数
常数项
y=ax2+bx+c 必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
二次项系数
（ a 不 为 b,c没有
0） 条件限制
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.【题型1 二次函数的识别】
【例1】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
y=x−3 y=ax2+bx+c y=x(x−1)−1 y=x2−(x+1) 2
【答案】C
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合
并同类项）后，能写成 ， ， 为常数， 的形式，那么这个函数就是二次函数，否
y=ax2+bx+c(a b c a≠0)
则就不是．
【详解】解：A．y=x−3是一次函数，故不符合题意；
B．y=ax2+bx+c当a=0，b≠0时是一次函数，故不符合题意；
C．y=x(x−1)−1=x2−x−1是二次函数，故符合题意；
D． 是一次函数，故不符合题意
y=x2−(x+1) 2=−2x−1
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 ， ， 为常数， 的函数叫做
y=ax2+bx+c(a b c a≠0)
二次函数．
【变式1-1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式S=πr2中，s与r的关系是（ ）
A．一次函数关系 B．正比例函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形
如y=ax2+bx+x（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
【详解】解：圆的面积公式S=πr2中，s与r的关系是二次函数关系，
故选：D．.
【变式1-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列函数是二次函数的是( )
1
A. y=ax2+bx+c B. y= +x
x2
C. D.
y=x(2x−1) y=(x+4) 2−x2
【答案】C【分析】根据二次函数的定义判断即可．
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如 、 、 是常数， 的函数，
y=ax2+bx+c(a b c a≠0)
叫做二次函数．
【详解】解：A、当a=0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①y=6x2；②y=−3x2+5；③
1 1
y=200x2+400x+200；④y=x3−2x；⑤y=x2− +3 ；⑥y=(x+1) 2−x2．这六个式子中，二次函
x 2
数有 ．（只填序号）
【答案】①②③
【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如
y=ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义可得答案．
【详解】①y=6x2，是二次函数；
②y=−3x2+5，是二次函数；
③y=200x2+400x+200，是二次函数；
④y=x3−2x，不是二次函数；
1 1 1
⑤∵y=x2− +3 中 不是整 式，∴不是二次函数；
x 2 x
⑥ ，不是二次函数．
y=(x+1) 2−x2=x2+2x+1−x2=2x+1
∴①②③是二次函数．
故答案为：①②③．
【题型2 根据二次函数的定义求参数】
【例2】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若函数 是二次函数，那么m
y＝（m2＋m）xm❑2−2m−1
的值是（ ）A．2 B．−1或3 C．3 D．−1±❑√2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c(a≠0)，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：m2 −2m−1=2，解得：m=−1或m=3；
又∵m2+m≠0，解得：m≠−1且m≠0，
∴m=3．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零．
【变式2-1】．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）当m= 时，y=(m−1)x|m)+1是二次函数．
【答案】−1
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得|m)+1=2，m−1≠0，再求解即可．
【详解】解：由题意，得|m)+1=2，m−1≠0，
解得m=−1，
即当m=−1时，y=(m−1)x|m)+1是二次函数，
故答案为：−1．
【变式2-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数 是关于x的二次函数，则m的
y=(m+3)x2−2x+6
取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≠−3 C．m≥−3 D．m≠3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)是解本题的关
键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解： 是关于x的二次函数，
y=(m+3)x2−2x+6
∵
m+3≠0，
∴解得：m≠−3，
故选B．
【变式2-3】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，其中二次项系数a≠0，且二次项指数为2求解即可.
【详解】∵y=(m−1)xm+(3m+2)x+1是二次函数，∴m−1≠0，m=2，即m=2,m≠1，∴此解析式的
一次项系数是3m+2=3×2+2=8，故本题正确答案为B选项.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，其中二次项系
数a≠0，且二次项指数为2是解决本题的关键.
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数y=x(x−1)+3x化为一般形式后，正确的是（ ）
A．y=x2−x+3 B．y=x2−2x+3
C．y=x2−2x D．y=x2+2x
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．
【详解】y=x(x−1)+3x=x2−x+3x=x2+2x，
故选：D．
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数 的一般式为 ．
y=(x−3) 2
【答案】y=x2−6x+9
【分析】二次函数的一般形式为 ，据此即可获得答案．
y=ax2+bx+c(a≠0)
【详解】解：二次函数 的一般式为 ．
y=(x−3) 2 y=x2−6x+9
故答案为：y=x2−6x+9．
【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式
是解题关键．
【变式3-2】（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）把函数y=(2−3x)(6−x)化成y=ax2+bx+c的形式为
．
【答案】y=3x2−20x+12
【分析】把函数y=(2−3x)(6−x)右边相乘展开合并成y=ax2+bx+c形式即可.
【详解】y=(2−3x)(6−x)=12−2x−18x+3x2=3x2−20x+12，则y=3x2−20x+12.
【点睛】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键.
【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数y=−4(1+2x)(x−3)的一般形式
y=ax2+bx+c是 ．
【答案】y=−8x2+20x+12【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．
【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12，
故答案为y＝−8x2＋20x＋12．
【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．
【题型4 二次函数的各项系数】
【例4】20-21九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的
和为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在二次函数y=2x2−3x+1中，二次项系数与一次项
系数的和是 ．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项
系数，c是常数项；
由题意可得二次项系数是2，常数项是−3，再求和即可．
【详解】解：在二次函数y=2x2−3x+1中，
二次项系数为2， 一次项次数为−3，
∴二次项系数与一次项系数的和是：2+(−3)=−1，
故答案为：−1．
【变式4-2】（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、
一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不
要漏掉符号．
【变式4-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−2) 2−3x(x−1)
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)y=−2x2−x+4
(2)二次项系数是−2，一次项系数是−1，常数项是4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案．
【详解】（1）解：
∵y=(x−2) 2−3x(x−1)=x2−4x+4−3x2+3x=−2x2−x+4
∴该二次函数的一般形式是y=−2x2−x+4；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是−2，一次项系数是−1，常数项是4．
【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】
【例5】（24-25九年级上·四川泸州·期末）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满
1
足二次函数y= x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（ ）
25
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
【答案】D
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
【详解】解：当刹车距离为4m时，即可得y=4，
1
代入二次函数解析式得：4= x2，
25
解得x=±10，（x=−10舍），
故开始刹车时的速度为10m/s，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为4m，即是y=4，难度一
般．
【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数y=x2−8x−9图象上的点是（ ）A．(−1,−16) B．(1,−16) C．(−3,−8) D．(3,24)
【答案】B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． y=1+8−9=0≠−16，选项错误，不符合题意；
B． y=1−8−9=−16=−16，选项正确，符合题意；
C． y=9+24−9=24≠−8，选项错误，不符合题意；
D． y=9−24−9=−24≠24，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
【变式5-2】（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于x的二次函数y=(a+1)x2+ax+a2−1的图象过原点，
则a的值为（ ）．
A．1 B．−1 C．±1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将(0,0)代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即
可，注意二次项系数不能为0．
【详解】解：∵二次函数y=(a+1)x2+ax+a2−1的图象过原点，
∴a2−1=0，a+1≠0，
∴a=1，
故选：A．
【变式5-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行
1 3 8
高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=− x2+ x+ ，则小朱本次投掷实心
10 5 5
球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
1 3 8
【详解】解：在y=− x2+ x+ 中，令y=0得：
10 5 5
1 3 8
− x2+ x+ =0，
10 5 5
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自
变量的特殊值列方程求解是解题关键．
【题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】
【例6】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本
价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）有如下关系：
y=−x+60（30≤x≤60，且x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系
式为w= ．
【答案】−x2+90x−1800
【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答．
【详解】解： ，
w=(x−30)y=(x−30)(−x+60)=−x2+90x−1800
故答案为：−x2+90x−1800．
【变式6-1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降
价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式
是 ．
【答案】
y=5000(1−x) 2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(1−每次降价的百分
率) 2，列出函数关系式，即可求解．
❑
【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函
数关系式是 ．
y=5000(1−x) 2
故答案为： ．
y=5000(1−x) 2【变式6-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比
赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
1 1
【答案】m= n2− n
2 2
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的(n−1)球队个打一场，因此要打n(n−1)场，然而有重复一半的
场次，即可求出函数关系式．
n(n−1) 1 1
【详解】解：根据题意，得m= = n2− n，
2 2 2
1 1
故答案为： m= n2− n．
2 2
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
【变式6-3】（24-25九年级上·浙江宁波·单元测试）某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现
准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减
少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，若设增
种x棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为y千克，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y=(100+x)(40−0.25x)
【分析】投产后果园枇杷的总产量=每棵树的产量×树的棵树=（40-减少的产量）×（100+增加的棵树），
把相关数值代入即可求解．
【详解】∵每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，
∴每多种x棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25x千克，
∴每棵树的产量为（40-0.25x）千克，
∵原来有100棵树，现在增加了x棵，
∴现在有（100+x）棵，
∴y=（100+x）（40-0.25x）．
【点睛】解决本题的关键是找到所求枇杷的总产量的等量关系，难点是得到增加树木棵树后平均每棵树的
产量．
【题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】
【例7】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠
墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取
物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设
AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）A．y=x(18−4x) B．y=x(18−2x)
C．y=x(12−4x) D．y=x12−2x
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及AB的长，可得出平行于墙的一
边长为(18−4x)米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
【详解】解：∵铁栅栏的全长为15米，AB=x米，
∴平行于墙的一边长为15+3−4x=(18−4x)米．
根据题意得：y=x(18−4x)．
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住
（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的
取值范围是 ；
1
【答案】y=− x2+20x，0＜x≤25
2
【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取
值范围．
【详解】由题意得：
40−x 1
y＝x• ＝− x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
2 2
1
故答案是：y＝− x2+20x， 0＜x≤25
2【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键.
【变式7-2】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且
AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
1 1
A．S=t B．S= t2 C．S=t2 D．S= t2−1
2 2
【答案】B
【分析】Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，可得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出
∠OCD=∠A=45°，即∠COD=∠OCD=45°，进而证明CD=OD=t，最后根据三角形的面积公式，
求出S与t之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A=45°，
∴∠COD=∠OCD=45°，
∴CD=OD=t，
1
∴S = OD×CD
△OCD 2
1
= t2(0
