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第4讲 幂函数与指、对数式的运算
复习要点 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.理解有理数指数幂的
含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解对数的概念及其运算性质，会用换底
公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在化简运算中的作用．
一 幂函数
1．幂函数的定义
函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五种幂函数图象的比较
3．幂函数的性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0 ，＋∞ ) {x|x∈R且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
当x∈(0，＋∞)时，单调
当x∈[0，＋∞)时，单
单调 单调 单调 递减；
单调性 调递增；当x∈(－
递增 递增 递增 当x∈(－∞，0)时，单调
∞，0]时，单调递减
递减
定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
二 指数式
1．根式的概念
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
三 对数式
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫
a
做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的运算法则
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R)．
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
a
常/用/结/论
换底公式的推论
(1)log b·log a＝1.
a b
(2)log b·log c＝log c.
a b a
(3)log bn＝log b.
an a
m
(4)log bn＝log b.
a a
1．判断下列结论是否正确．
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．()
(2)幂函数的图象不可能在第四象限．(√)
(3)当n>0时，幂函数y＝xn是增函数．()
(4)若ax>1，则x>0.()
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：∵y＝x在x>0时单调递增，∴a>c，又∵y＝x在x>0时单调递减，∴c>b.∴a>c>b.
答案：A
3．(多选)下列运算正确的是( )
A．＝π－3
B．e2x＝(ex)2
C．＝a－b
D．＝·解析：对于A，＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于
C，＝a－b成立，故 C正确；对于 D，当a<0且b<0时，和无意义，故 D错误．故选
ABC．
答案：ABC
4．(1)0－(1－0.5－2)÷＝________.
(2)1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝________.
(3)若x＋x－1＝3，则x＋x＝________；x2＋x－2＝________.
解析：(1)原式＝1－÷＝1－(－3)÷＝3.
(2)1.10＋eln 2－0.5－2＋lg 25＋2lg 2＝1＋2－4＋2(lg 5＋lg 2)＝－1＋2＝1.
2
(3)由题意x>0，∵ ＝x＋x－1＋2＝5，∴x＋x＝，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.
答案：(1)3 (2)1 (3) 7
题型 有关幂函数的图象与性质的理解
典例1(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
(2)幂函数f(x)满足 ∀ x ≥0 ， f ( x ) ＝ f ( － x )< f ( x ＋ 1) ，则此函数可以是f(x)＝
f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．
________.(写出一个满足条件的答案即可)
解析：(1)由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x轴，由
题图知a＞b＞c＞d.故选B．
(2)令幂函数f(x)＝xα(α为常数)，题中没有给出f(x)的定义域的限制信息，因此f(x)的定
义域可为R.由“∀x≥0，f(x)＝f(－x)”知，函数f(x)是偶函数．
又∀x≥0，f(x)0) ，则 ＝ ________ .
由已知可推得x＋x－1＝7，进而x2＋x－2＝47. 求x＋x时注意立方和公式的应用．
解析：(1)原式＝(2×3)6－4×－2×ln e＋2×2log 3＝22×33－4×－2×＋2×3＝106.故答案为106.
2
(2)原式＝2×3××12＝2×3×3×2×3×2＝2×3＝2×3＝6.故答案为6.
(3)原式＝[a·(a－3)]·(a·a)＝a·a·a·a＝a·a－2＝a.故答案为a.
(4)由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.
x＋x＝ ( x ) 3 ＋ ( x ) 3 ＝ ( x ＋ x )· ( x － 1 ＋ x － 1 )
应用了立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．
＝3×(7－1)＝18.∴＝.故答案为.
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来
解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求
统一．
对点练2(1)计算：÷＝________.
(2)计算：0.5－0.752＋6－2×＝________.
(3)已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，a＋a，a－a.
(1)解析：因为有意义，所以a>0，所以原式＝÷＝÷＝a÷a＝1.
答案：1
(2)解析：原式＝－2＋×＝－2＋×－2＝－＋×＝1.
答案：1
(3)解：a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝23.
(a＋a)2＝a＋a－1＋2＝7.
∵a＋a>0，∴a＋a＝.
(a－a)2＝a＋a－1－2＝3.
∴a－a＝±.
题型 有关对数式的基本运算
典例3计算：
(1)lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2；
(2)log ×log [3log 5－(3)＋7]；
2 5 9
(3)若log 7＝a,14b＝5，则用a，b表示log 28.
14 35
解：(1)原式＝2lg 5＋(lg 5＋1)＋lg 2(2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋3lg 5＋3lg 2＝1＋3(lg 5＋lg 2)＝4.
(2)原式＝log 2×log [9－(3)＋7log 3]＝×log (－3＋3)＝－×＝－.
2 5 7 5
(3)∵14b＝5，∴log 5＝b.又log 7＝a，
14 14
∴log 28 ＝＝＝ .
35
看已知，望结论，只有换底公式一条路啦！
在对数运算中要注意的几个问题
(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算将底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形
式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则进行拆或合．
(2)ab＝N b＝log N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要
a
注意互化．
⇔
对点练3(1)(多选)(2024·湖北宜昌摸底)下列各式化简运算结果为1的是( )
A．log 3×log 2×log 5
5 3 2B．lg ＋lg 5
C．log 2(a>0，且a≠1)
a
D．eln 3－0.125
(2)自然数22 023的位数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．607 B．608
C．609 D．610
(3)5lg 30×＝________.
解析：(1)对于A，原式＝××＝1；对于B，原式＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝；对于C，原式
＝2log ＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8＝3－2＝1.故选AD．
a
(2)因为lg 22 023＝2 023lg 2≈2 023×0.301 0＝608.923，所以22 023≈10608.923，即22 023的位数
为608＋1＝609，故选C．
(3)设x＝5lg 30×＝5(1＋lg 3)×3lg 2，易知x>0，
则lg x＝lg 5(1＋lg 3)＋lg 3lg 2＝(1＋lg 3)×lg 5＋lg 2×lg 3
＝lg 5＋lg 3×lg 5＋lg 2×lg 3＝lg 5＋(lg 5＋lg 2)×lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)AD (2)C (3)15
题型 指数、对数运算在实际问题中的应用
典例4(1)(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关
键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊
桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长
2 2
线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛
1 2 2
顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似
计算中≈3α3，则r的近似值为( )
A．R B．R
C．R D．R
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音
的强弱，定义声压级L ＝20×lg ，其中常数p(p>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表
p 0 0
为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ，p ，
1 2
p，则( )
3
A．p≥p B．p>10p
1 2 2 3
C．p＝100p D．p≤100p
3 0 1 2解析：(1) 将 r ＝ αR 代入方程 可得＋
此代换起到简化运算的作用．
＝(1＋α)， 即＋＝ (1 ＋ α ) M ，
1
由此计算出的表达式，很多同学会被难倒．
∴＝，
即＝，∴≈3α3，
∴α≈，
∴r＝αR≈R.故选D．
(2)因为 L ＝20×lg 随着 p 的增大而增大，且 Lp ∈[60,90]，Lp ∈[50,60]，所以
p 1 2
Lp ≥Lp ，所以p≥p，故A正确；由L＝20×lg ，得p＝p10，因为L ＝40，所以p＝p10
1 2 1 2 p 0 p3 3 0
＝100p ，故C正确； 假设 p >10 p ，则 p 10>10 p 10 ，所以 10>10 ，所以Lp －Lp >20，不可
0 2 3 0 0 2 3
能成立，故B不正确；
这样计算并不简捷. 【另解】由L －L ≥10，推得20lg －20lg ≥10，经对数运算有
p2 p3
p≥p.
2 3
因为＝＝10≥1，所以p≤100p，故D正确．故选ACD．
1 2
此题难点在选项D，并不是比较p ，p 的大小，而是反向计算p ，p 的数量关系. 由
1 2 1 2
L －L ≤40，可知p≤100p.
p1 p2 1 2
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数
法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．
对点练4(1)能源结构转型是我国实现碳达峰与碳中和的关键，光伏发电则是推动能源
结构转型的主要动力．目前，我国已将光伏产业列为国家战略性新兴产业之一，在产业政
策引导和市场需求驱动的双重作用下，我国光伏产业实现了快速发展，已成为具备国际竞
争优势的产业，在制造规模、技术水平和市场份额等方面均位居全球前列．平准化度电成
本(LCOE)也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系
统与储能设备的等年值系数I 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数I 和设备寿命
CRF CRF
周期N(单位：年)具有如下函数关系：I ＝，其中r为折现率．已知寿命周期为10年的设
CRF
备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏储能微电网系统，其等年值系
数约为( )
A．0.03 B．0.05
C．0.07 D．0.08
(2)(2024·湖北联考)对数对大数据运算具有独特优势，对数的发现，曾被法国著名天文
学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”．现有
一大数据32 000，用科学记数法可表示为 m×10n，其中m∈(1,10)，n∈N*，已知0.477 1
