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限时跟踪检测(九) 函数的奇偶性、周期性
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
3．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是( )
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调
递减，则下列结论正确的是( )
A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)
C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0
6．(2024·北京丰台区模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．若 f(lg
x)>f(1)，则实数x的取值范围是( )
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
7．(2024·吉林长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2
时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
二、多项选择题8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
9．(2024·湖北武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x
＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)<f(4)
D．函数f(x)在[2 021,2 022]上单调递减
三、填空题与解答题
10．(2024·江西南昌联考)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{x}满足：x＝1，且对于任意n∈N*，点(x，x )都在函数y＝f(x)的图象上，则x
n 1 n n＋1 1
＋x＋…＋x ＋x ＋x 的值为________．
2 2 016 2 017 2 018
11．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
12．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为
________．
13．不恒为常数的函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，写出一
个满足条件的f(x)的解析式：________.
14．(2024·辽宁抚顺模拟)设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x ，x ，恒有
1 2
f(xx)＝f(x)＋f(x)，且对任意x>1，f(x)<0.
1 2 1 2
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
高分推荐题
15．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点
(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析版
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
解析：对于B，因为cos(－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于A，因为sin(－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于C，因为(－
x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为2－x＝，所以函数y＝2x为
非奇非偶函数，故D不正确．故选B．
答案：B
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
解析：方法一：由条件可知，x∈R且f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故
f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex>e－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－
x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．
方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B，D．易知f(1)<f(2)，所以排除C．故
选A．
答案：A
3．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－
x)．
答案：B
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是( )
解析：对于y＝x2sin x，因为y ＝x2为偶函数，y ＝sin x为奇函数，所以y＝x2sin x为
1 2
奇函数，图象关于原点对称，排除B，D项；取x＝代入，得y＞0，排除C项，故选A．
答案：A
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调
递减，则下列结论正确的是( )A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)
C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0
解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝
－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单
调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．
答案：C
6．(2024·北京丰台区模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．若 f(lg
x)>f(1)，则实数x的取值范围是( )
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
解析：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增．
于是f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1，
即－1<lg x<1，
即lg <lg x<lg 10，解得<x<10，即原不等式的解集为.故选C．
答案：C
7．(2024·吉林长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2
时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋
1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x＝0，x＝1.
1 2
由周期函数的性质，知当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x ＝2，x ＝3；当4≤x≤6时，
3 4
f(x)＝0有三个根，即x ＝4，x ＝5，x ＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为
5 6 7
7.
答案：B
二、多项选择题
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，
f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D
项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B，D正确．
答案：BD
9．(2024·湖北武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x
＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)<f(4)D．函数f(x)在[2 021,2 022]上单调递减
解析：由f(x)－f(－x)＝0可得f(x)＝f(－x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，
所以A正确；由f(x＋1)－f(x＋3)＝0可得f(x＋1)＝f(x＋3)，所以f(x)＝f(x＋2)，又f(x)是偶
函数，且在[0,1]上单调递减，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以B正确；因为函数f(x)
是偶函数，且在[0,1]上单调递减，最小正周期为2，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，在[3,4]
上单调递增，f(3)<f(4)，故C正确；因为函数f(x)的最小正周期为2，所以函数f(x)在[2
021,2 022]上与在[1,2]上的单调性一致，故函数f(x)在[2 021,2 022]上单调递增，所以D错误，
故选ABC．
答案：ABC
三、填空题与解答题
10．(2024·江西南昌联考)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{x}满足：x＝1，且对于任意n∈N*，点(x，x )都在函数y＝f(x)的图象上，则x
n 1 n n＋1 1
＋x＋…＋x ＋x ＋x 的值为________．
2 2 016 2 017 2 018
解析：由题意可得x＝3，x＝5，x＝6，x＝1＝x，
2 3 4 5 1
则数列{x}是周期为4的周期数列，且2 018＝504×4＋2，
n
x ＋x ＋x ＋x ＝x ＋x ＋x ＋x ＝15，据此可得x ＋x ＋…＋x ＋x ＋x ＝
n＋1 n＋2 n＋3 n＋4 1 2 3 4 1 2 2 016 2 017 2 018
(x＋x)＋504×15＝4＋504×15＝7 564.
1 2
答案：7 564
11．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
解析：依题意得f(1)＋f(－1)＝0，即＋a＋＋a＝0，解得a＝，经检验，符合题意．
答案：
12．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为
________．
解析：f(x)＝＝＝＋1，
令g(x)＝f(x)－1＝，
则g(－x)＝－＝－g(x)，
∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，
则g(x) ＋g(x) ＝0，
max min
即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.
答案：2
13．不恒为常数的函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，写出一
个满足条件的f(x)的解析式：________.
解析：y＝sin x是奇函数，把它的图象向左平移1个单位长度即变为偶函数y＝cos x
的图象，所以f(x)＝sin x为满足题意的一个函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
14．(2024·辽宁抚顺模拟)设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x ，x ，恒有
1 2
f(xx)＝f(x)＋f(x)，且对任意x>1，f(x)<0.
1 2 1 2(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
解：(1)由题意，令x＝x＝1，
1 2
代入f(xx)＝f(x)＋f(x)，
1 2 1 2
得f(1)＝f(1)＋f(1)，
解得f(1)＝0，令x＝x＝－1，
1 2
代入f(xx)＝f(x)＋f(x)，
1 2 1 2
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x ＝－1，x ＝x，代入f(xx)＝f(x)＋
1 2 1 2 1
f(x)，得f(－x)＝f(x)，
2
∴函数f(x)是偶函数．
(3)任取x，x∈(0，＋∞)，且x<x，则>1，
1 2 1 2
由题设有f<0，
∴f(x)－f(x)＝f－f(x)＝f＋f(x)－f(x)＝f<0，
2 1 1 1 1
∴f(x)<f(x)，
2 1
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又由(1)(2)知，函数f(x)是偶函数，且f(1)＝0，
∴f(x)＋f≤0等价于f≤f(1)，
∴≥1，
解得x≤－或x≥2，
∴不等式的解集为.
高分推荐题
15．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点
(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对
称，所以f(x)是R上的奇函数，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝
f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 020)＋f(2 022)＝－f(2
018)＋f(2 018＋4)＝－f(2 018)＋f(2 018)＝0，所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
答案：4
