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限时跟踪检测(九) 函数的奇偶性、周期性
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
3．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是( )
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调
递减，则下列结论正确的是( )
A．0f(1)，则实数x的取值范围是( )
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
7．(2024·吉林长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2
时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
二、多项选择题8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
9．(2024·湖北武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x
＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)1，f(x)<0.
1 2 1 2
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
高分推荐题
15．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点
(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析版
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
解析：对于B，因为cos(－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于A，因为sin(－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于C，因为(－
x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为2－x＝，所以函数y＝2x为
非奇非偶函数，故D不正确．故选B．
答案：B
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
解析：方法一：由条件可知，x∈R且f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故
f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex>e－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－
x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．
方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B，D．易知f(1)0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－
x)．
答案：B
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是( )
解析：对于y＝x2sin x，因为y ＝x2为偶函数，y ＝sin x为奇函数，所以y＝x2sin x为
1 2
奇函数，图象关于原点对称，排除B，D项；取x＝代入，得y＞0，排除C项，故选A．
答案：A
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调
递减，则下列结论正确的是( )A．0f(0)>f(1)，即f(1)<0f(1)，则实数x的取值范围是( )
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
解析：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增．
于是f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1，
即－11，f(x)<0.
1 2 1 2(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
解：(1)由题意，令x＝x＝1，
1 2
代入f(xx)＝f(x)＋f(x)，
1 2 1 2
得f(1)＝f(1)＋f(1)，
解得f(1)＝0，令x＝x＝－1，
1 2
代入f(xx)＝f(x)＋f(x)，
1 2 1 2
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x ＝－1，x ＝x，代入f(xx)＝f(x)＋
1 2 1 2 1
f(x)，得f(－x)＝f(x)，
2
∴函数f(x)是偶函数．
(3)任取x，x∈(0，＋∞)，且x1，
1 2 1 2
由题设有f<0，
∴f(x)－f(x)＝f－f(x)＝f＋f(x)－f(x)＝f<0，
2 1 1 1 1
∴f(x)
