文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（深圳卷）
数学·全解全析
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要
求.）
1．国产人工智能大模型 横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资
者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【解答】解： ， ， 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全
重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．
2．在如图所示的电路中，随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让灯泡 发光的概率是
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡 发光
的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，能让灯泡 发光的有2种情况，
能让灯泡 发光的概率为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是
正确解答的关键．
3．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线 上的三个点 ， ， 都在横线上，且 ， 两点间的距离为4，那么 ， 两点间的距离为
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】过点 作平行横线的垂线，交点 所在的平行横线于点 ，交点 所在的平行横线
于点 ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可．
【解答】解：如图，过点 作平行横线的垂线，交点 所在的平行横线于点 ，交点 所在
的平行横线于点 ，
则 ，即 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找
准等量关系是解题关键．
4．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方，完全平方公式分别计算判断
即可．
【解答】解： 、 ，故此选项符合题意；、 与 不能合并，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方
公式，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键．
5．如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得 ， ，
与地面平行，则
A． B． C． D．
【分析】根据平角的性质求出 ，由平行线的性质即可求解．
【解答】解： ， ，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈
三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出
8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共
有 人，则可列方程为A． B． C． D．
【分析】设共有 人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有 人，
由题意，得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等
关系，并据此列出方程．
7．如图，在 △ 中， ， ， ，分别以 ， 为边向外作正方形
和正方形 ，连结 ， ，设 ，则 的值为
A． B．2 C． D．
【分析】连接 ， ，设 ， 交于点 ，则 ，证明 ， ， 三点共线，进
而根据正切的定义，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接 ， ，设 ， 交于点 ，则 ，
由条件可知 ，
又 ，
，， ， 三点共线，
又 ，
，
， ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
8．如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ， ，点 是边 的中点，点
在边 上，且 ，连结 交 于点 ，连结 ，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质，设 ，得 ，所以 ，根据勾股定
理得 ，然后证明△ △ ，对应边成比例求出 ，得 ，
延长 交 于点 ，证明△ △ ，对应边成比例，再证明△ 是等腰直角三
角形，进而可以解决问题．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，点 是边 的中点，
，，
设 ，
，
，
，
，
， ，
，
△ △ ，
，
，
，
，
，
如图，延长 交 于点 ，
，
△ △ ，
，
，
，
，△ 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，
解决本题的关键是证明△ △ ．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 ．
【分析】由于该方程的常数项是未知数，先把 代入求出 的值，求方程的另一解可以根
据根与系数的关系进行计算．
【解答】解：设方程的另一根是 ．
一元二次方程 的一个根为 ，
是原方程的解，
，
解得 ；
又由韦达定理，得 ，
，即原方程的另一根是 ．
故答案为 ．
【点评】考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．另外，本题也可以设方程的另一根是．然后利用根与系数的关系来求另一个根及 的值．
10．如果式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求
出 的范围．
【解答】解：
根据题意，得
，
解得， ；
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特
有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测
量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长 ，
所以该圆锥的侧面积 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如图，点 ， 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴，垂足为 ，过点
作 轴，垂足为 ．若 ，且△ 的面积为15，则 8 ．
【分析】根据反比例函数 值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：如图，延长 、 交于点 ，由条件可知 ， ， ， ，
， ，
△ 的面积为15，
，
解得 或 （舍去）．
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数 值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握以上知识点是关键．
13．如图，已知 是线段 上的动点 不与点 ， 重合）， ，分别以 ， 为边
在线段 的同侧作等边△ 和等边△ ，连接 ，设 的中点为 ；连接 ，当动
点 从点 运动到点 时，则 的最小值是 ．【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，
则 的运行轨迹△ 的中位线 ，得出 ，从而求得 且 大于等于
与 间垂线段的长，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分，
为 的中点，
正好为 中点，即在 的运动过程中， 始终为 的中点，所以 的运行轨迹为△
的中位线 ，
， ，
当 在 中点时， ，
当 在 中点时， 的值最小，
△ 和△ 是等边三角形，
，
△ 是等边三角形，
，当 在 中点时， ，
，
的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及等边三角形的性质，解
答本题的关键是作辅助线，找到点 移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，
第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算： ．
【分析】先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方
法，0次幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值．
15．先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 代入进行计算即可．
【解答】解：
，当 时，原式 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
16．据国家电影局统计，2025年春节档 月28日至2月4日） ， ， ， ， 五部电影
的总票房为92.5亿元，其中每部电影的票房占比制成如图 1的扇形统计图．某影评网站随机
抽取了100名观众对电影 的星级评价，该网站的星级共有“一星”“二星”“三星”“四
星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图2的条形统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）上述图表中 2 4 ， ．
（2）电影 春节档的票房是多少亿元？
（3）已知该影评网站每颗星代表2分，五星即为10分．若星级评价的平均得分作为该电影
的星级分值，则根据样本估计，电影 在该网站的星级分值约是多少分？
【分析】（1）由图1可以求出 ，由图2可以求出 ；
（2）用总票房 电影 所占百分比即可；
（3）求出电影 的星级平均得分即可．
【解答】解：（1）根据图1可知， ，
由图2可知， ，
故答案为：24，20；
（2） （亿元），
电影 春节档的票房是48.1亿元；（3）电影 的星级平均得分为： ，
电影 在该网站的星级分值约是8.5分．
【点评】本题考查扇形统计图和条形统计图，关键是利用统计图和条形统计图获取有效信息．
17．根据以下素材，探索完成任务
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖
礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面
型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面 型号）
组成（如图1所示）．而 、 两种型号纸板可由一个大长方形硬
纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2 现有大长方形硬纸板 张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．
问题解决
任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若 ，且全部裁剪，用 张大长方形
硬纸板裁剪 型号纸板， 张大长方形硬纸板裁剪 型号纸板，所裁剪
任务2 反思方案 探究二：若 ，按素材
得到的 、 型纸板恰好用完（即刚好配套）．
1的裁剪方法分别裁剪出
（1）完成以下填表；、 型纸板，请问最多能
做多少个礼品盒？并说明
型号 （裁 （裁 合计
理由．
裁法 法 法
大长 大
任务3 一） 二优）化方案 探究三：为不浪费纸板，
方形 长
进行了裁剪再设计：首先
硬纸 方
从 张大长方形硬纸板中选
板 形
出1张大长方形纸板裁剪
（张 硬
出一张 型和一张 型纸
纸
板（见裁法三），然后从
板
剩余的纸板中按素材1的
（
方法继续裁剪出 、 型
张
纸板，所裁剪的 、 型
纸板恰好用完，若 在10
型 0
号
张至30张之间（包括边
（张 界），求 的值．
数）①
（2
）求
和
的
值，
此时
能做
多少
个礼
品
盒？
【分析】探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个 种型号纸板、3个 种型号
纸板，共有大长方形硬纸板 13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到 3个 种型号纸
板和2个 种型号纸板，列方程即可解答；
探究二：若 ，设能做 个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到 3个 种型号纸板和2个
种型号纸板，列不等式即可解答；
探究三：设恰好用完能做 个礼品盒，则需要裁剪 个 型纸板、 个 型纸板，根据一个
礼品盒需要用到3个 种型号纸板和2个 种型号纸板，列方程即可解答．
【解答】解：探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得 2个 种型号纸板、3个
种型号纸板，
当 时，（1）补全填表如图：
型号 （裁法一） （裁法二） 合计
裁法 大长方形硬纸板 大长方形硬纸板
（张 （张
型号（张数） 0
型号（张数） 0 ① ②
故答案为：① ，② ；
（2）根据题意可得 ，
即 ，，则 ．
（个 ．
答： ， ；最多能做6个礼品盒．
探究二：若 ，按素材1的裁剪方法分别裁剪出 、 型纸板，设能做 个礼品盒，
则 ，
．
为正整数，
最大为20．
最多能做20个礼品盒．
探究三：设恰好用完能做 个礼品盒，则需要裁剪 个 型纸板、 个 型纸板，
．
．
，
．
．
， 为正整数，
或 ．
故 的值为：11或24．
【点评】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关
键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式．
18．如图， 是 的直径， 是弦，点 为 的中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 直径为15，求 的长．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根
据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，
设 ， ，根据勾股定理得到 ， ，根据
相似三角形的性质得到 ，
（3）连接 ，根据垂径定理得到 ， ，根据矩形的性质得到 ，
，求得 ，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
点 为 的中点，
，
，
，
，，
，
为半径，
是 切线；
（2）解：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：连接 ，
是 的直径，
，
，
， ，
，四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，
正确地作出辅助线是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形 对角线的两个端点相交，则定义该
函数为矩形 的“友好函数”．
（1）如图，矩形 ， 轴，经过点 和点 的一次函数 是矩形
的“友好函数”，求一次函数 的解析式；
（2）已知第一象限内矩形 的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行 轴和
轴，经过点 和点 的反比例函数 是矩形 的“友好函数”，求矩形距原点最近的
顶点坐标；
（3）若 是矩形 的“友好函数”且经过 ， 两点，点 的坐标为，点 的坐标为 ， 轴．
①若 的图象与矩形 有且只有两个交点，求 的取值范围；
②点 ， 是 图象上一点，且 ，当 时， 的最大
值和最小值的差是3，求 的值．
【分析】（1）将 和 的坐标代入求解即可；
（2）由题意可设出 和 的坐标，再代入反比例函数求解即可，需要注意的是题目只说矩形
边长为2和4，并没注明哪条边长是2和4，所以需要分类讨论；
（3）根据题意画出图象，再根据顶点位置列出不等式即可得解；
（4）二次函数最值问题，在开口方向固定的情况下，要讨论对称轴和自变量取值范围的关系，
由 ，得到 ，进而确定最大值和最小值即可求解．
【解答】解：（1） 一次函数 经过点 和点 ，
．
解得： ．
；
（2）①如图，当 ， 时，设点 的坐标为 则点 的坐标为 ．
．
解得： ， （不合题意，舍去）．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
矩形 的两条边的长分别为2和4，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为 ；
②如图当 ， 时，
设点 的坐标为 则点 的坐标为 ．
．
解得： ， （不合题意，舍去）．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
矩形 的两条边的长分别为2和4，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为 ；
综上，矩形距原点最近的顶点坐标为 或 ．
（3）① ， ，且 轴，
， ，
将 和 代入 得，
，
解得 ，
顶点坐标为 ， ，
当 时，如图，
此时 ，
解得 ；
当 时，如图，此时 ，
解得 ，
综上， 的取值范围为 或 ．
②由①知 ，
，
，
当 时， 最小 ，
当 时， 最大 ，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得 ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，难度较大，数形结合和分类讨论是解决问题的关键．
20．【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图 1， 和 是等边三角形，点 、
、 不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论 ．
（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．
【类比分析】
（2）如图2，已知四边形 中， ， ， 是 的平分线，
且 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．当 时，连接 ，试判断
线段 和线段 的数量关系，并说明理由．
①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段 和线段 的数量关系，然后
通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件 ，则 ，再通过
“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与 全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图 3， 中，当 时，点 、 为 、 上的点， ， ，
若 ， ，求线段 的长．
【分析】（1）利用 证明 即可；
（2）过点 作 平分 交 于 ，先证明四边形 是平行四边形，可得 ，
再证明 是等边三角形，推出 ，再证得 即可；
（3）设 ，以 、 为边作 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得，连接 ，可得 是等边三角形， ， ，再得出 ，
利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1） ．理由如下：
如图1，
和 是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
故答案为： ．
（2）如图2，过点 作 平分 交 于 ，
四边形 中， ， ，
，
，，
平分 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平分 ，
，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
即 ，
由旋转得： ， ，
，
，
；
（3）如图3，以 、 为边作平行四边形 ，连接 ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则 ，
，，
又 ，
是等边三角形，
，
将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，
是等边三角形， ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
即 的长为 ．
【点评】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性
质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．
