限时跟踪检测(十四) 函数与方程
一、单项选择题
1．(2024·陕西西安五校联考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log x B．y＝2x－1
\f(1,2
C．y＝x2－ D．y＝－x3
2．(2024·宁夏石嘴山质检)函数f(x)＝x－3＋lg x的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．(2024·安徽安庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若
g(x)＝3－log x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( )
2
A．3 B．2 C．1 D．0
4．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．若x 是方程xex＝1的解，x 是方程xln x＝1的解，则xx＝( )
1 2 1 2
A．1 B．－1 C．e D.
6．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，b，c，则(
)
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
7．(2024·江苏徐州模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围
是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
8．若x 是方程x＝x的解，则x 属于区间( )
0 0
A. B.
C. D.
9．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(
)
A．0 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
10．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
11．(2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是
构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单
的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x ，使得f(x)＝x ，那么我们称该
0 0 0
函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋xB．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝|log x|－1
2
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
13．对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3
个零点，则实数k的取值范围是________．
14．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若
在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
高分推荐题
15．(2024·山东潍坊一中模拟)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数
是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析版
一、单项选择题
1．(2024·陕西西安五校联考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log x B．y＝2x－1
\f(1,2
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析：函数y＝log x在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1，1)内不是单调函数，y
\f(1,2
＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且
y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
答案：B
2．(2024·宁夏石嘴山质检)函数f(x)＝x－3＋lg x的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：依题意可知，f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数，又f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg
3>0，f(2)f(3)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,3)．故选C.
答案：C
3．(2024·安徽安庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若
g(x)＝3－log x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( )
2
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知，f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知，f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)在(0，＋∞)内有2个零点．故选B.
答案：B
4．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：因为a>1,0<b<1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是增函数，又f(－1)＝－1－b<0，
f(0)＝1－b>0，所以由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案：B
5．若x 是方程xex＝1的解，x 是方程xln x＝1的解，则xx＝( )
1 2 1 2
A．1 B．－1 C．e D.
解析：考虑到x ，x 是函数y＝ex，函数y＝ln x分别与函数y＝的图象的交点A，B的
1 2
横坐标，而A，B两点关于直线y＝x对称，因此xx＝1.故选A.
1 2
答案：A
6．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，b，c，则(
)
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
解析：∵ea＝－a，∴a<0.∵ln b＝－b，且b>0，∴0<b<1.∵ln c＝1，∴c＝e>1.故选A.
答案：A
7．(2024·江苏徐州模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围
是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有实数解，设t＝x＋，
x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
答案：D
8．若x 是方程x＝x的解，则x 属于区间( )
0 0
A. B.
C. D.
解析：令g(x)＝x，f(x)＝x，则g(0)＝1>f(0)＝0，g＝<f＝，g＝>f＝，结合图象(如图)可得
<x<.
0答案：C
9．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(
)
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：原问题可以转化为求方程ln|x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln|x－2|和y＝
4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标
之和为4.
答案：D
二、多项选择题
10．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
解析：由题意知，
f(x)＝
在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.故选ABC.
答案：ABC
11．(2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是
构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单
的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x ，使得f(x)＝x ，那么我们称该
0 0 0
函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x
B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝|log x|－1
2
解析：选项A，若f(x)＝x ，则2x ＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函
0 0 0
数；
选项B，若g(x)＝x ，则x－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1，故B中函数是“不动
0 0 0 0 0
点”函数；
选项C，若f(x)＝x，则 ＋1＝x，
0 0 0
可得x－3x＋1＝0，
0
解得x＝＞0，故C中函数是“不动点”函数；
0
选项D，若f(x)＝x，则|log x|－1＝x，
0 0 2 0 0即|log x|＝x＋1，
2 0 0
在同一平面直角坐标系中作出y＝|log x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
2
由图可知，方程|log x|＝x＋1有实数根x，即|log x|＝x＋1，故D中函数是“不动点”
2 0 2 0 0
函数．故选BCD.
答案：BCD
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
解析：当x≤0时，令x＋1＝0，得x＝－1，
由f(x)＝－1，
可得x＋1＝－1或log x＝－1，
2
∴x＝－2或x＝；
当x>0时，令log x＝0，得x＝1，
2
由f(x)＝1，
可得x＋1＝1或log x＝1，
2
∴x＝0或x＝2，∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0,2，∴所有零点之和为－2＋＋
0＋2＝.
答案：
13．对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3
个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，则f(x)
＝作出函数f(x)的图象，如图所示．函数y＝f(x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象
与直线y＝－k有3个交点，根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.
答案：[－2,1)
14．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若
在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
解：因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝
mx－m的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．
在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．
由图可知≤m<，
即－≤m<－.
高分推荐题
15．(2024·山东潍坊一中模拟)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数
是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：令t＝f(x)，则t≥0，令F(x)＝0，则f(t)－2t－＝0，不考虑t的范围，作出y＝f(t)
和直线y＝2t＋的图象，如图所示．由图象可得，二者有两个交点，设交点横坐标为 t ，
1
t，则t＝0，t∈(1,2)，满足t≥0.
2 1 2
当f(x)＝t(t 为参数)时，x＝2，即有一解；当f(x)＝t(t 为参数)时，有三个解．
1 1 2 2
综上，F(x)＝0共有4个解，即原函数有4个零点，故选A.
答案：A
