专题22.4二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 22.4 二次函数 y=a（x-h）²(a≠0)和 y=a（x-h）²+k(a≠0)的图 象与性质（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，0 x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，0 x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0． 【知识点二】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，k x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，k x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k． 【知识点三】二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（2022九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数 、 与 的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：① ；② ；③y ，下列结论正确的是（ ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【变式2】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线 ，开口向下， 则k的取值范 围是 ．【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 对称 抛物线 开口方向 顶点坐标 轴 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的 图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）请写出一个开口向下，且经过点 的二次函数解析式： 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 （1）填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． （2）当 ___________时， 随 的增大而减小． （3）以 轴为对称轴，将拋物线 进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·阶段练习）已知二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（ ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 【变式2】（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）点 在二次函数 的图像上，且到该抛物 线对称轴的距离为3，则点 的坐标为 ． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数 ， 和 ． （1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图像； （2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； （3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图象； （4）分别说出各个函数的性质． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线 ，先向右平移3个单位长度， 再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2019·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平 移后所得新抛物线的表达式是 ． 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题 【例5】（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数 的图象，下列说法正 确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数 的图像与 轴交点为 ，与 轴交点为 ， 为坐标原点，则 的面积是 . 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】已知直线 与抛物线 有一个公共点 ，且 ． （1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数 ， ，直线 与函数 的图象分别交于点 ， ，得（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形 中，点 ，点 ，则二次函数 与正方形 有交点时， 的最大值是 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线 经过 三点，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)． （1）求 的值和抛物线顶点 的坐标； （2）求直线 的解析式． 2、拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数 的图像过点 ， ． （1） 的值为______； （2）若 ， 是该函数图像上的两点，当 ， 时，试说明： ；（3）若关于 的方程 有一个正根和一个负根，直接写出 的取值范围． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为A， 对称轴与x轴交于点C，当以 为对角线的正方形 的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我 们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形 为它的内接正方形． （1）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线 是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线 是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．