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专题 22.7 求二次函数解析式的九种类型（知识梳理与方法分类讲
解）
第一部分【方法归纳】
【方法1】定义型； 【方法2】开放型；
【方法3】平移型； 【方法4】一般式；
【方法5】顶点式； 【方法6】两根式；
【方法7】折叠（对称）型； 【方法8】旋转型；
【方法9】数形结合型.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】定义型
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的二次函数，
求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【举一反三】
【变式1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知函数 ，若它是二次函数，则函数
解析式为 ．
【题型2】开放型【例2】（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些
特点．
李明：对称轴是直线 ；
赵鑫：函数的最大值为2；
张强：此函数的图象经过点 关于y轴的对称点．
请你根据以上内容写出满足条件的二次函数解析式．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧
部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当 时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数 的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【题型3】平移型
【例3】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2
个单位，求平移后的函数解析式．
【举一反三】
【变式1】．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移
1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线 沿直线 方向平移 个单位后的解
析式为 ．【题型4】一般式
【例4】（22-23九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线 ，经过 ， ，
三点，求这条抛物线的表达式．
【举一反三】
【变式1】（2024九年级下·云南·专题练习）抛物线 经过 ， ，交 轴于点
求抛物线的解析式．
【变式2】（23-24九年级上·广东韶关·阶段练习）已知抛物线 过点
．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
【题型5】顶点式
【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ．求
这个二次函数的表达式．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是 ，与y轴交于点 ，求
该抛物线的解析式．
【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的顶点为 ，且 在抛物线上，求
抛物线的解析式．
【题型6】两根式
【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与 轴交于点 ，与 轴交点是，求这个二次函数的解析式．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点 ．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该抛物线顶点坐标．
【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式：
（1）已知二次函数的图象的顶点为 ，且经过点 ；
（2）已知二次函数的图象经过点 ， ， ．
【题型7】折叠（对称）型
【例7】将抛物线 向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表
达式是 ．
【举一反三】
【变式1】（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线 沿y轴折叠后得到的新抛物线的解
析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析
式为 ．
【题型8】旋转型
【例8】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，
由 绕点A顺时针旋转90°而得．
（1）直接写出点C的坐标 ；（2）求过A、B、C三点的抛物线解析式．【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 绕原点O旋转 ，则旋转后抛物
线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）将抛物线 绕原点O旋转 ，则所得抛
物线的解析式为 ．
【题型9】数形结合型
【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 向右平移 （
）个单位得到另一抛物线 ，两抛物线相交于点 ，记 的顶点为 ，作点 关于 轴的对称点 ．
若四边形 是正方形，则经过 、 、 三点的抛物线的解析式是 ．
【举一反三】
【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物
线上，则此抛物线的解析式为 ．【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形 在平面直角坐标系中的位置如图
所示，点D是边 的中点，连接 ，点E在第一象限，且 ， .以直线 为对称轴的
抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
．若抛物线 （ 、 为常数）与线段 交于 、 两点，且 ，则 的
值为 ．
【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中 与 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表
达式为 ．
… …
… …… …
… …
2、拓展延伸
【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线 与 轴交于点 （点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，抛物线 由抛物线 向右平移后得到，与 轴交于点 （点
在点 的左边），且交抛物线 于点 ，若 为等腰直角三角形，则抛物线 的函数解析式为
．
【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板 的直角边 紧靠 轴上．
将一条不可伸缩的（与 等长）绳子的一端固定于点 处，另一端固定在 轴正半轴上的点 处，铅
笔笔尖 紧靠着三角板 边把绳子绷紧，当三角板沿着 轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知
， ，现将点 向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加
了 ，则新抛物线的表达式为 ．
