专题 22.9 线段、面积与角度问题——二次函数的综合
◆ 典例分析
【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴
的正半轴交于点C，且A(−1,0)，C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于
点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S ，S ，求S −S 的最大值；
1 2 1 2
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．在抛物线上是否存在
点M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 的解析式，设 ，则 ， ，将 转化为二次函数
BC P(m,−m2+2m+3) K(m,−m+3) D(m,0) S −S
1 2
求最值即可；
（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，则CF=AF=a+1，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的
余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分两种情况讨论，进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：把A(−1,0)，C(0,3)，代入函数解析式得：
{−1−b+c=0) {b=2)
，解得： ，
c=3 c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：∵当y=0时，−x2+2x+3=0解得x =−1，x =3，
1 2∴B(3,0)，
∴设直线BC的解析式为：y=kx+3(k≠0)，
把B(3,0)代入，得：k=−1，
∴y=−x+3，
设 ，则 ， ，
P(m,−m2+2m+3) K(m,−m+3) D(m,0)
PK=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，DK=−m+3，DB=3−m，
1 3 9 1 1
∴S = PK⋅OB=− m2+ m，S = DK⋅BD= (3−m) 2，
1 2 2 2 2 2 2
∴S −S =− 3 m2+ 9 m− 1 (3−m) 2=−2m2+ 15 m− 9 =−2 ( m− 15) 2 + 81 ，
1 2 2 2 2 2 2 8 32
15 81
∴当m= 时，S −S 的最大值为 ；
8 1 2 32
（3）解：∴A(−1,0)，C(0,3)，点E为AC的中点，
( 1 3)
∴E − , ，
2 2
∵FE⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠AFE=∠CFE，
设OF=a，则CF=AF=a+1，
在 中，由勾股定理，得： ，
Rt△COF a2+32=(a+1) 2
∴a=4，
∴F(4,0)，CF=5，
∵FE⊥AC，∠AOC=90°，
∴∠AFE=∠OCA=90°−∠CAF，
∴∠AFE=∠OCA，
( 1 3)
设FE的解析式为：y=kx+b，E − , ，F(4,0)，
2 2
{
4k+b=0
)
1 3 ，
− k+b=
2 21
{ k=− )
3
解得： ，
4
b=
3
1 4
∴y=− x+ ，
3 3
{y=−x2+2x+3)
联立 ，
1 4
y=− x+
3 3
7+❑√109 7−❑√109
解得x = ，x = ，
1 6 2 6
∴ (7−❑√109 17+❑√109)； (7+❑√109 17−❑√109)
M , M ,
6 18 6 18
取点E关于x轴的对称点 ，连接 交抛物线于点M，则：∠MFA=∠EFA=∠OCA，
( 1 3)
− ,− ，
2 2
设 的解析式为： ，
y=k x+b
1
{
4k+b=0
)
则： 1 3 ，
− k+b=−
2 2
1
{ k= )
3
解得： ，
4
b=−
31 4
∴y= x− ，
3 3
{y=−x2+2x+3)
联立 ，
1 4
y= x−
3 3
5+❑√181 5−❑√181
解得x = ，x = ，
1 6 2 6
∴ (5+❑√181 −19+❑√181)； (5−❑√181 −19−❑√181)
M , M ,
6 18 6 18
综上，点M的坐标为(7+❑√109 17−❑√109)或(7−❑√109 17+❑√109)或(5+❑√181 −19+❑√181)或
, , ,
6 18 6 18 6 18
(5−❑√181 −19−❑√181)．
,
6 18
◆ 学霸必刷
1 4
1．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
3 3
y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．
1 3
2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=− x2+ x+2交x轴于A、B两点，与y轴交
2 2
于点C．点D(2,n)在抛物线上．
（1）求四边形ABDC的面积；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PC−PB)的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−5,0)两
点，与y轴交于点C， P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，拋物线上点C与点
P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P位于线段BC上方，求△PBC面积的最大值；
（3）若图象G的最大值与最小值的差为4，求m的取值范围．4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线
y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，
请说明理由．5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两
点，直线l：y=kx+b与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求点C的坐标和直线l的解析式；
（2）点P是y轴上的一点，求满足PB+PC的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，△AQC的面积最大?求出此时Q点坐
标和△AQC的最大面积．1 1
6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=− x2+ x+3与x轴正半
2 2
轴交于点B，与y轴于点C，且过点A(−1,2)，连接AB，AC，BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S =2S ，求点P的坐标．
△ABC △BCP7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1，0)，B（3，0），与
y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内的抛物线y=ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当
△PCD的面积是3时，求出点P的坐标；
（3）抛物线y=ax2+bx+3的顶点为Q，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点，当
0<k<2时，求四边形MCQB面积的最小值．8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=4，图象过点
A、B、C，B点的坐标为(6,0)，点M为抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值．
（3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求△CBM的最大面积．9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交
于点C，且OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S +S 的最大值．
△PCG △PDG10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N．当∠MPA=2∠PAC
时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．x2
11．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线y= ，直线y=kx
4
3
（k≠0）与抛物线相交于点A，直线y=− x与抛物线分别相交于点B．
k
（1）当k=2时，求A，B两点坐标．
7
（2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当S = 时，求P点的横坐标．
ΔPAB 2
（3）试探究直线AB是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2ax−3a的图
象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为(−4,5)，(0,5)．
（1）则点A坐标为 ；点B坐标为 ；
（2）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象经过点C，点P是二次函数图象上x轴下方一动点，求△ABP面
积的最大值；
（3）若二次函数y=ax2+2ax−3a的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围．1
13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A，点B(6,0)（点A位于点
2
B左侧），与y轴交于点C，且OB=OC．
（1）求b，c的值；
（2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，AP，PB．
（ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S −S =8，求此时点P的坐标；
△ACM △PBM
（ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求S +S 的最大值．
△PAQ △PBQ14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(−4,0)，
B(2,0)两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点C，点D的坐标为(3,7)
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接PA，PD，当△PAD的面积最大时，求出点P的坐标及
该面积的最大值；
（3）若Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q的坐标( 7 9)
15．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线y＝−x2+bx+c过点A − , ，与x轴交于B(1,0)，与
2 4
y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M是x轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）如图2，连接AB，在AB上方的抛物线上是否存在一动点D，使△ABD面积取得最大值，若存在，
求出D点坐标，并求△ABD的最大面积．1
16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点
2
C(0,2)，连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCP的面积为12时，求P点坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．17．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交
y=ax2+bx+c(a≠0) x
轴于点 A，B（A在y轴右侧，B在y轴左侧），C 为抛物线与 y 轴的交点，已知 OC=3，且
OA=OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得PO+PC的值最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存
在，请说明理由．
（3）若y=ax2+bx+c有最低点，点Q是直线AC下方的抛物线上的一个动点，求△ACQ面积的最大值及
此时对应的点Q坐标．
18．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=−2，点B的坐标为(2,0)，连接
AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点A以每秒2个单位长度的速度沿AC运动到点C，点Q从点C以每
秒1个单位长度的速度沿CO运动到点O，连接PQ，当点P到达点C时，点Q停止运动，求S 的最大值
△CPQ
及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿射线CA方向平移2❑√2个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点G，使得
∠ACG=15°，请写出所有符合条件的点G的坐标，并写出其中一个的求解过程．
19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)与点
B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）当点P在第一象限时，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，求S 的取值范围．
BP △ACP S △BCP S 1
1 2 S
2
1
20．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，已知抛物线y= x2+x−4的图象与x轴交于A，B两点（
2
A在B左侧），与y轴交于点C．（1）抛物线顶点为D，连接AD、AC、CD，求点D到AC的距离；
（2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足OC=2OE，点P为直线AC下方抛物线上的一个动点，连接PA、
AE，过点E作EF∥AP交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点
( 7 5)
G − ,− ，连接PM、MN、NG，当S 最大时，求PM+MN+NG的最小值；
2 8 △APF
（3）如图3，连接AC、BC，将抛物线沿着射线BC平移2❑√5得到新的抛物线y′，y′上是否存在一点R，
使得∠RAC+∠BCO=45°？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．
