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3.1 从算式到方程
考点一：一元一次方程
1、方程是含有未知数的等式。
2、方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
注意：判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：
1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；
2）化简后方程中只含有一个未知数；
3）经整理后方程中未知数的次数是1.
3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
考点二：等式和等式的性质
1）等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
2）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质2时，一定要注意0这个数.
题型一：判断是否为方程1．下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，是方程的是（
）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
2．在① ；② ；③ ；④ 中，方程共有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
3．下列各式中，不是方程的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：一元一次方程的定义
4．下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
① ；② ；③ ； ④ ；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
其中一元一次方程有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
题型三：方程的解
7．下列方程的解为 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知x＝2是方程3x﹣5＝2x+m的解，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
9．已知关于x的方程 的解是 ，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
题型四：等式的性质
10．下列等式的变形正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三果天平也保持平衡，那么
第三架天平的右边应放的物体是（ ）
A． B． C． D．
12．下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
一、单选题
13．下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
14．若关于x的方程 是一元一次方程，则a，b应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列运用等式性质变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么16．如果m＝n，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．m﹣3＝n﹣3 B．2m+3＝3n+2 C．5+m＝5+n D．
17．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的
挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y ，则下列所列方程正确的是（ ）
A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝(5﹣x)(3﹣x) C．y＝3x+5x D．y＝(5﹣x)(3﹣x)+5x2
18．下面各式的变形正确（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
19．下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝ ；④ ＋ ＝0； ⑤ ；⑥x﹣1＝12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．已知2a＝b＋5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．2a－5＝b B．2a＋1＝b＋6 C．a＝ D．6a＝3b＋5
21．只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？
(2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？
22．若 是关于x的一元一次方程，求 的值．一：选择题
23． 、 、 为有理数，下列变形不正确的是（ ）
A．如果 ，那么 ； B．如果 ，那么 ；
C．如果 ，那么 ； D．如果 ，那么 ．
24．已知x＝3是关于x的方程x﹣a＝2的解，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
25．下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7 B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9 D．若 ，则2(3x-2)=x+2-6．
26．下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么 ．
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
二、填空题
27．已知方程 是关于x的一元一次方程，则m的值为___________．
28．已知 是方程 的解，则 ＝________.
29．若 ，且 ，则 ______．
30．四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是
______．
31．已知 ，则代数式 的值为_________．
32．己知方程 ，且含 的式子表示 ________．
33．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
﹣
x ﹣2 0 1 2
1
﹣
mx+n ﹣12 ﹣4 0 4
8
则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．三、解答题
34．根据下列条件列方程．
(1)m的2倍与m的相反数的和是5；
(2)半径为r的圆的面积是2
35．已知方程 是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式 的值；
(2)求关于y的方程 的解．
36．已知关于x的方程 的解是x=3，其中 ，求代数式 的值．
37．已知： ，
(1)求
(2)若无论 取任何数值， 的值都是一个定值，求 的值
(3)若关于 的方程 无解， 有无数解，求 的值1．C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
① 是方程；
② ，不含有未知数，故不是方程；
③ 不是等式，故不是方程；
④ 是方程；
⑤ 是方程；
⑥ 不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
2．C
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．
【详解】解：方程有③ ；④ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．
【详解】解：根据方程的定义可得：A、C、D选项均为方程，
选项B不是等式，所以不是方程，
故选：B．
【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
4．C
【分析】根据一元一次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：① ，是一元一次方程，符合题意；
② ，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
③ ，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；④ ，是一元一次方程，符合题意；
⑤ ，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥ ，是一元一次方程，符合题意．
综合上分析可得，是一元一次方程的是：①④⑥，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫作一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
5．A
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、 是一元一次方程，符合题意；
B、 未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
C、 不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
D、 含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数，且
未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．
6．C
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次是 次的整式方程是一元一次方程；逐
个进行判断即可．
【详解】解：下列方程：
① 含有两个未知数，不是一元一次方程；
② 含有分式，不是一元一次方程；
③ 是一元一次方程；
④ 是一元一次方程；
⑤ ，含有不等号，不是一元一次方程；
⑥ ，未知数的最高次不是 次，不是一元一次方程；
⑦ ，是一元一次方程；
其中一元一次方程有③④⑦，共3个，
故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．
7．C
【分析】根据一元一次方程解的定义，逐项验证即可．
【详解】解：A．把 代入 得到左边 ，右边 ，左边不等于右边，
故选项不符合题意；
B．把 代入 得到左边 ，左边不等于右边，故选项不符合题意；
C．把 代入 得到左边 ，左边等于右边，故选项符合题意；
D．把 代入 得到左边 ，左边不等于右边，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
8．D
【分析】把x＝2代入方程3x﹣5＝2x+m可得到关于m的方程，解方程可求得m的值．
【详解】解：∵x＝2是方程3x﹣5＝2x+m的解，
∴把x＝2代入方程可得6﹣5＝4+m，
解得m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解的定义，掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解
题的关键．
9．C
【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的
式子左右两边相等．
【详解】解：根据题意得： ，
解得：a=1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，掌握将方程的解代入原方程是解题的关键．
10．A
【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、若 ，则 ，变形正确，符合题意；
B、若 ，则 ，变形错误，不符合题意；
C、若 ，当 时， 不成立，变形错误，不符合题意；
D、若 ，当 ， 不一定成立，变形错误，不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘
以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为0的数等式仍然成立．
11．D
【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到 ， 进而
推出 ， ，由此即可得到答案．
【详解】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知 ①，由中间一幅图可知 ②，
∴ 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到 ， 是解题的关键．
．
12．A
【分析】根据等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果
仍得等式．
【详解】解：A、如果 ，当 时，那么 ，该选项符合题意；
B、如果 ，那么 ，该选项不符合题意；
C、如果 ，那么 ，该选项不符合题意；
D、如果 ，等式两边都加2b，那么 ，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边乘同一个数或除以一
个不为零的数，结果仍得等式．
13．B
【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可得出答案．
【详解】解：A、根据等式性质1， 两边同时加5得 ；
B、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到 ；
C、根据等式性质2，等式两边同时乘以 应得 ；
D、根据等式性质2， 时，等式两边同时除以a，才可以得 ．
故选：B．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
14．C
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是
（a、b是常数，且 ），根据一元一次方程的定义求出答案．
【详解】解：根据题题意得： ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），且未知数的指数为1，一次项系数不是
0，这是此类题目考查的重点．
15．D
【分析】根据等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、如果 ，那么 ，故A错误，不符合题意；
B、如果 ，那么 ，故B错误，不符合题意；
C、如果 ，那么 ，当 时，0不可以作分母，故C错误，不符合题意；
D、如果 ，那么 ，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．等式的性质一：等式两边同
时加或减同一个数，等式仍然成立；等式的性质二：等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式仍然成立．
16．B
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵m＝n，
∴m﹣3＝n﹣3，等式成立，故本选项不符合题意；
B．∵m＝n，
∴2m＝2n，
∴2m+3＝2n+3，不能推出2m+3＝3n+2，故本选项符合题意；
C．∵m＝n，
∴5+m＝5+n，等式成立，故本选项不符合题意；
D．∵m＝n，∴ ，等式成立，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）
同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2：等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立：等式的两边都除以同
一个不等于0的数，等式仍成立．
17．B
【分析】设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y ，根据题意列出方程解答即可．
【详解】解：设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y ，
根据题意可得：y=（5-x）（3-x），
故选：B．
【点睛】此题考查列方程，关键是根据面积公式得出方程解答．
18．A
【分析】根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由 ，得 ，原变形正确，故此选项符合题意；
B、由 ，得 ，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由 ，得 ，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由 ，得 ，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质： 、等式的两边同时加上或减去同一个数或
式子，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为 数或字母，等式仍成立．
19．C
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．
【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不是等式，更不是一元一次方程，不合题意；
③3x＋1＝ ，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；
④ + =0，是一元一次方程，符合题意；
⑤ ，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．
一元一次方程有：①④⑥，共有三个.
故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这
样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
20．D
【分析】根据等式的基本性质，逐项分析判定即可求解．
【详解】解：A．等式两边同时减去5即可得到，故A正确，不符合题意；
B．等式两边同时加上1即可得到，故B 正确，不符合题意；
C．等式两边同时除以2即可得到，故C正确，不符合题意；
D．等式两边同时乘以3即得到 ，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等号不变；等式两边同时乘以或
除以(非0)的同一个数或式子，等号不变．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设这个班女生有 人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）设小明苹果买了 千克，则梨买了 千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得．
（1）
解：设这个班女生有 人，
由题意列方程为 ．
（2）
设小明苹果买了 千克，则梨买了 千克，
由题意列方程为 ．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
22．
【分析】先化简代数式，再由 是关于 的一元一次方程，所以 且 ，求得 的值，代入
所化简后的代数式即可求得．
【详解】解：
；根据题意得， 且 ，
解得 ，
把 ，代入化简后的代数式得，
．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为 的方程，掌握一元一次方程
的定义是解决问题的关键．
23．D
【分析】根据等式的基本性质，即等式两边同时加上、减去、乘以、除以（除数不为0）同一个整式，等式仍然成
立分别判断即可．
【详解】A.如果a＝b，那么a＋2＝b＋2，故A正确，不符合题意；
B.如果 ，那么 ，故B正确，不符合题意；
C.如果a＝b，那么 ，故C正确，不符合题意；
D.如果a＝b，那么 ，当c为0时不成立，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
24．A
【分析】将 代入方程，得到关于a的方程，解关于a的方程即可得到答案．
【详解】解：将 代入方程得： ，得 ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解可以将解代入
方程求出其他未知数的值．
25．D
【分析】根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、若5x=7-4x，则5x+4x=7，故该选项不符合题意；
B、若7x=2，则x= ，故该选项不符合题意；
C、若x-3（4x-1）=9，则x-12x+3=9，故该选项不符合题意；
D、若 ，则2（3x-2）=x+2-6，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
26．C
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】A.如果 ，那么 ，本选项错误，不符合题意；
B.如果 ，那么 ，本选项错误，不符合题意；
C.如果 ，那么 ，选项正确，符合题意；
D.如果 ，那么 ，本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成
立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
27．
【分析】根据一元一次方程的特点求出 的值．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫
做一元一次方程，它的一般形式是 （ 是常数且 ），高于一次的项系数是 ．
【详解】解：由一元一次方程的特点得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不为0，
掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
28．
【分析】将 代入求得a的值，再将a值代入代数式计算即可．
【详解】∵ 是方程 的解，
∴ ．
解得： ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用一元一次方程解的意义将 代入是解题的
关键．
29．
【分析】两式相加得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ①，且 ②，
①+②得：∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
30． w z
【分析】根据已知等式，分别求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用这些值与0比较大小，即可求得z＞x＞y＞w．
【详解】解：由x﹣2021＝y+2022＝z﹣2023＝w+2024，得
x﹣y＝2021+2022＝4043＞0，∴x＞y，①
x﹣z＝2021﹣2023＝﹣2＜0，∴z＞x，②
y﹣w＝2024﹣2022＝2＞0，∴y＞w，③
由①②③，得
z＞x＞y＞w；
∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；
故答案为：w；z．
【点睛】本题考查等式的性质，根据等式的性质，移项得到x﹣y、x﹣z、y﹣w的值是解题的关键．
31．4
【分析】等式两边都除以2，得到 ，从而得到原式 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等式的性质，代数式求值，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘
同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
32．
【分析】要把方程 写成用含x的式子表示y的形式，把2x+1移到方程右边即可，再把y的系数化为1
即可．
【详解】解：
-3y=-2x-1
y= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．33．-1
【分析】理解代数式的值是由x确定的，计算的时候把m,n当常数处理，将等式变形后，结合表格的数据即可解题.
【详解】﹣mx﹣n＝8变形为：mx+n=-8，
查表可得：x=-1
【点睛】本题考查方程解的概念，当方程里面有多个字母时，要明确未知数是哪个字母，这是解题关键．
34．(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意列出方程即可；
（2）根据圆的面积公式列出方程即可．
（1）
解：由题意得： ．
（2）
解：由题意得： ．
【点睛】本题主要考查了列方程，认真审题、明确等量关系是解答本题的关键．
35．(1)-2；
(2)y＝2或y＝−6．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到 且−（m＋1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代
数式化简得到原式＝ ，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为 ，根据绝对值的意义得到y＋2＝4或y＋2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）
解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
∴ 且−（m＋1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4，
∵ ，当x＝4时，原式＝ ；
（2）
方程化为 ，
∴y＋2＝4或y＋2＝−4，
∴y＝2或y＝−6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也
考查了一元一次方程的定义．
36．15
【分析】根据方程的解的定义可将x=3代入 ，即可求出a和b的关系式，再代入 中，求值
即可．
【详解】解：将x=3代入 ，得： ，
整理得： ．
将 代入 ，得： ．
【点睛】本题考查方程的解的定义，代数式求值．掌握使等式成立的未知数的值，称为方程的解是解答本题的关
键．
37．(1)
(2)b=2
(3)1
【分析】（1）把相应式子代入，先去括号、合并同类项化简即可；
（2）根据当a取任何数值，A-2B的值是一个定值得出a的系数为0，列出方程即可；
（3）根据方程解得情况求出a、b的值，代入 计算即可．
(1)
；
(2)
=a（b-2）+1，∵无论 取任何数值，它的值是一个定值，
∴b-2=0，
即b=2．
(3)
∵关于 的方程 无解， 有无数解
∴
∴
∴
