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02卷 第四章 三角函数、解三角形《真题模拟卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知扇形面积为 ，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据扇形面积公式即可求出.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：C.
2．已知点 在函数 的图象上，直线 是函数
图象的一条对称轴.若 在区间 内单调，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由点 在函数 的图象上，直线 是函数 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由 在区间 内单调求出φ.
【详解】
由题意得: , 得 ,所以ω .
又 在区间 内单调,所以 ,得 ,所以ω
所以ω=4或5或6.
当ω=4时, ,有 解得 .
当ω=5时, ,有 无解.
当ω=6时, ,有 无解.
综上: .
故选:B
【点睛】
求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；
(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
3．函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移
个单位长度后得到 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象的对称轴为直线
D．函数 的单调递增区间为
【答案】D
【分析】
根据图象得到函数 解析式，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，可得
解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可
得结论.
【详解】由图象可知
， ，
∴ ，
则 .
将点 的坐标代入 中，
整理得 ，
∴ ，
即 ；
，
∴ ，
∴ .
∵将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
∴ .
，
∴ 既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴ 的最小正周期 ，
故B不正确.
令 ，
解得 ，
则函数 图像的对称轴为直线 .
故C错误；
由 ，
可得 ，
∴函数 的单调递增区间为 .
故D正确；
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称
轴是解决本题的关键.
4．如果角 的终边过点 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算三角函数值得 ，再根据三角函数的定义 求解即可.
【详解】
解：由题意得 ，它与原点的距离 ，
所以 .
故选：C.
5．已知点 在第三象限，则角 的终边位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
判断出 的符号，由此判断角 的终边位置在象限.
【详解】
由于点 在第三象限，所以 ，
所以 在第二象限.
故选：B
6．已知函数 ，若 且 ，则函数 取得最
大值时x的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 得到对称轴为 ，求出 的取值集合，再由 ，可得 ，，代入函数 中可得 ，进而求出函数取到最大值时x的集合，k取适当的整
数可得x的取值选项.
【详解】
由题意，函数 ，
因为 可知函数的对称轴为 ，
所以 ，可得 ， ，得 ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，可得 ，
所以可得 ， ，所以 ，
所以 取到最大值时，则 ， ，即 ， ，
当k取适当的整数时，只有 适合，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，逐项判定是解答
的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
7．若函数 的图像关于点 中心对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的图像关于点 中心对称，由 求出 的表达式即可.
【详解】
因为函数 的图像关于点 中心对称，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】
.
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
9．已知 ，下列结论中错误的是（ ）
A． 即是奇函数也是周期函数 B． 的最大值为
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
【答案】B
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A是正确的；根据函数的对称性，可判定C、D是正确的；由
，令 ，利用求导方法求函数
的最值，即可判定B选项错误.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，所以 是奇函数；
且 ，
所以 又是周期函数，所以A是正确的；
由 ，即 ，
所以 关于直线 对称，所以C是正确的；
由 ，
所以 关于点 对称，所以D是正确的；
由 ，
令 ， ，令 ，
，
的单调递减区间是 ，
的单调递增区间是 ，
的极大值为 ，
所以 的最大值为 ，
即函数 的最大值为 ，故B选项错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及
三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．关于函数 ， ， ，且 在
上单调，有下列命题：
（1） 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称
（2）
（3） 的图象关于点 对称
（4） 在 上单调递增其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先根据条件确定 解析式，再根据图象变换以及正弦函数性质逐一判断选择.
【详解】
，
或
或
或 或
因为 在 上单调，所以
因此 或 ， （验证舍去）或
的图象向右平移 个单位得 ，不关于 轴对称，
（1）错；
，（2）对；
，（3）错；当 时， ，所以 在 上单调递增，（4）对；
故选：B
【点睛】
本题考查求三角函数解析式、三角函数图象与性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．函数 ， 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，以及函数在 上的符号，利用排除法进行判断即可．
【详解】
解：函数 ，则函数 是奇函数，
排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．难度不大．
12．函数 ， 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
找出 的值，代入周期公式即可求出最小正周期．
【详解】
解： ，
，
，
则函数的最小正周期为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．
13．函数 ，若对于任意的 有 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：， ，
最小值
考点：1,三角函数化简；2.不等式恒成立
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.
【详解】
因为 ，
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题
15．设函数 的部分图象如图所示，若 ， ，
且 ，则 等于（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数图像，得到周期，求出 ，再由函数零点，求出 ，进而可得对称轴，再由题意，得出
，即可得出结果.
【详解】
由图像知周期 ，即 ，解得 ，A=1，
则 ，
由图像可得： ，因此 ，又 ，所以 ，
即 ，由 ，解得 ，
即 是 的一条对称轴，∵ ，且 ，
∴ 、 关于 对称，则 ，
则 ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像和性质的应用，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
16．若 ，则 的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用诱导公式求得正切值，再借助恒等变换化简目标式即可求得结果.
【详解】
∵ ，由诱导公式可得 ，
即 ，
∴ .
故选：C
【点睛】
本题考查利用诱导公式、同角三角函数关系以及恒等变换化简求值，属综合基础题.
17．若 ， ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于 ，所以先由已
知条件求出 ， 的值，从而可求出答案
【详解】
，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故选：C
【点睛】
此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
18．已知函数 ( )，将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据两角差的余弦公式化简 得到 ，再依据图象平移有
，结合已知条件即可求出 的值
【详解】
∵
∴
∵
∴ ( )
即 ( )
∵
∴
故选：D
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，函数图象平移求解析式，逆用两角差的余弦公式化简三角函数式，应用函
数图象平移得到新函数解析式，最后根据已知条件求参数值
19．在平面直角坐标系xOy中，角 与 均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知可得 ，则答案可求．
【详解】
角 与 均以Ox为始边，且它们的终边关于x轴对称，
，
又 ， ．
故选D．
【点睛】
本题考查任意角概念及诱导公式，是基础题．
20．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，化简： ，代入即可求解.
【详解】
由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，
可得：
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数
的诱导公式和基本关系式，化简为“齐次式”是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
21．若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
已知等式平方后应用二倍角公式得 ，同时判断出 ，可再利用平方关系求得
，从而可得 ，代入即得结论．
【详解】
∵ ，①
∴ ，即 ，∴ ．
∵ ，且 ，∴ ， ，
∴ ．
变形得 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解
的情况．
22．函数ƒ(x)＝sin xcos x＋ cos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换化简 ，再求最小正周期和振幅即可.
【详解】
ƒ(x)＝ sin 2x＋ cos 2x＝sin ，
所以振幅为1，最小正周期为T＝ ＝ ＝π，
故选：A．
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.
23．已知函数 的图象在y轴右侧的第一个最高点为 ，在原
点右侧与x轴的第一个交点为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得函数的周期，从而得到ω的值，再将点 坐标代入解析式，由正弦函数性质可得φ值，即可确
定函数解析式，从而可求得 的值.
【详解】
∵ ，图象在y轴右侧的第一个最高点为 ，
在原点右侧与x轴的第一个交点为 ，
∴ ，∴T＝π，∴ω 2，
将点P（ ，1）代入y＝sin（2x+φ）得：sin（2 φ）＝1，即 φ＝2kπ ，k∈Z
所以φ＝2kπ （k∈Z），∵|φ| ∴φ ，
∴函数的表达式为f（x）＝sin（2x ）（x∈R），∴ sin（2 ）＝sin ．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角函数解析式的确定，考查正弦函数图像的性质，属于基础题.
24．若α∈ ，且sin2(3π＋α)＋cos 2α＝ ，则tan α的值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由诱导公式和余弦的二倍公式化简求得cos α的值，继而求得角 ，可得选项.
【详解】
∵sin2(3π＋α)＋cos 2α＝ ，∴sin2α＋(cos2α－sin2α)＝ ，即cos2α＝ ．
又α∈ ，∴cos α＝ ，则α＝ ，∴tan α＝tan ＝ ．
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式的运用，同角三角函数间的关系，余弦的二倍角公式，属于基础题.
25．在 中， ， ， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意及正弦定理得 ，然后根据余弦定理求出 ，最后结合面积公式可得三角形的面积．
【详解】
由 及正弦定理得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
故选D．
【点睛】
三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角
形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．
26．在边长为 的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A
正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，在三角形 中，利用正弦定理求得 的表达式，结合 的取值范围，
求得 的最小值，也即是 的长度的最小值.
【详解】
显然A，P两点关于折线MN对称，连接MP，图（2）中，可得AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，
设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，
再设AM＝MP＝x，则有 ，
在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，
∴∠BPM＝120°﹣2θ，
又∠MBP＝60°，
在 中，由正弦定理知 ，
即 ，
∴ ，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°﹣2θ≤120°，
∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．
此时x取得最小值 ，且∠AME＝75°．
则AM的最小值为 ．
故选：C【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.
27．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A＝45°，B＝30°，a＝ ，则b＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据△ABC中A＝45°，B＝30°，a＝ ，结合正弦定理的边角关系即可求 的值
【详解】
△ABC中已知A＝45°，B＝30°，a＝
由正弦定理
可得：
故选：B
【点睛】
本题考查了正弦定理，应用正弦定理的边角关系，根据已知角、边求未知边的长，属于简单题
28．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， ， ，则B为（ ）
A． B． 或 C． D． 或【答案】C
【分析】
根据正弦定理得到 ，再根据 知 ，得到答案.
【详解】
根据正弦定理： ，即 ，根据 知 ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.
29．在 中， 分别是角 的对边， ，则角 的正弦值为（
）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
整理题设条件，得到 ，结合余弦定理求得 ，进而得到 ，得到答案.
【详解】
由题意知 ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟记解三角形的余弦定理是解答的关键，着重考查了推理与
计算能力，属于基础题.30．设 ， ，若三个数 ， ， 能组成一个三角形的三条边长，
则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得 ，可令 ，判断可得 ，可得
，化为
，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等
式恒成立思想，即可得到所求范围．
【详解】
， ，
令 ， ， ，
，
，
，
，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得 ，
即为 ，
设 ，可得 ，可令 ，
即有 ，
即为 ，
由 ，
当且仅当 上式取得等号，但 ，可得 ，
则 ，即 ；
又设 ，可得 ，
由 的导数为 ，
由 可得 ，即函数y为增函数，
可得 ，
即有 ，即有 ，
可得 ，故选C．
【点睛】
本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为
关于 的函数求最值.
二、多选题
31．若将函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0， ]上单调递减
C．x= 是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣ ， ]上的最小值为﹣
【答案】AD
【分析】
函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、
对称轴等.
【详解】
函数f(x)=cos(2x+ )的图象向左平移 个单位长度后得 ，最
小正周期为π，A正确；
为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为 ，故B错；
令 ，得 ，故C错；[﹣ ， ]， ， ，故 D对
故选：AD
32．已知函数 ， 部分图象如图所示，下列说法不正确是（
）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】ABC
【分析】
根据函数 的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．
【详解】解:由函数的图象可得 ，由 ，求得 ．
再根据五点法作图可得 ，又 ，求得 ，
∴函数 ，
当 时， ，不是最值，故A不成立；
当 时， ，不等于零，故B不成立；
将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，故C不成立；
当 时， ，
∵ ， ，
故方程 在 上有两个不相等的实数根时，则 的取值范围是 ，故D成立．
故选:ABC.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数 的部分图象求出函数解析式，
属于基础题．
33．要得到 的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）A．向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍
B．向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍
C．横坐标缩短到原来的 倍，再把所得各点向右平行移动 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍，再把所得各点向右平行移动 个单位长度
【答案】AD
【分析】
利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】
将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度得到y＝sin(x )，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍得到y＝sin(2x )．
也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍得到y＝sin2x，
再把所得各点向右平行移动 个单位长度得到y＝sin2(x )＝sin(2x )．
故选：AD．
34．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论
正确的是（ ）A．函数 的图象关于 直线对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D． 与图象 的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【分析】
根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】
由题意 ， ，∴ ，又 ，
，又 ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ 不是对称轴，A错；，∴ 是对称中心，B正确；
时， ，∴ 在 上单调递增，C正确；
， ， 或 ，
即 或 ， ，又 ，∴ ，和为 ，D正确．
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，
然后结合正弦函数性质确定函数 的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出 的值
或范围，然后结合正弦函数得出结论．
35．设函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最小正周期是
B． 在 上单调递减，那么 的最大值是
C． 满足
D． 的图象可以由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】ABD
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、单调性、对称性、函数图象的变换规律，
得出结果.【详解】
，
对于A: ,即A正确;
对于B: 时， 单调递减，故减区间为 ,
的最大值是 ,故B正确；
对于C: ，
，即 不是 的对称轴，故C
错误；
对于D: 的图象向右平移 个单位得到
,故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查 的图象变换，余弦型函数的图象和性质，属于中档题.
36．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是
B． 是偶函数C． 在 上递增
D． 是 图象的一条对称轴
【答案】ABC
【分析】
首先利用三角函数的恒等变换得到 ，再根据余弦函数的性质依次判断选项即可得到答
案.
【详解】
.
对选项A， ，故A正确.
对选项B， ， ，
所以 是偶函数，故B正确.
对选项C， ， ，由余弦函数的单调性可知C正确.
对选项D， 或 ，故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查余弦函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档
题.
37．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数B．f(x)在区间 单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
【答案】AD
【分析】
A.利用函数奇偶性的定义判断即可.
B.由已知条件可去掉绝对值符号，利用正弦函数的单调性判断即可.
C.利用函数的奇偶性只需判断当x∈[0，π]时的零点个数.
D.利用正弦函数的最值可直接进行判断.
【详解】
A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故正确；
B.当x∈ 时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在 单调递减，故错误；
C.当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)
＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；
D.∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当x＝ ＋2kπ(k∈Z)或x＝－ －2kπ(k∈Z)时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故正确．
故选：AD.
【点睛】
本题考查正弦函数的奇偶性，单调性，最值等有关性质，考查学生分析问题的能力，属于基础题.
38．在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 一定为等腰三角形
C．若 ，则 一定为直角三角形D．若 ，且该三角形有两解，则边 的范围是
【答案】AC
【分析】
根据正弦定理和三角恒等变换的公式，以及三角性的内角和定理、三角形解得个数的判定方法，逐项判定，
即可求解.
【详解】
对于A中，因为 ，可得 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可得 或 ，
即 或 ，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C中，若 ，由正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 一定为直角三角形，所以C正确；
对于D中，若 ，可得 ，
要使得该三角形有两解，可得 ，即边 的范围是 ，所以D不正确.
故选：AC.
39．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为S，下列 有关的结论，
正确的是（ ）
A．若 为锐角三角形，则
B．若 ，则C． ，其中 为 外接圆的半径
D．若 为非直角三角形，则
【答案】ABD
【分析】
由 ，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A正确；根据正弦定理，求得 ，
结合余弦的倍角公式，可判定B正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C不正确；根据三角形内角和定
理和正切的两角和公式，可判定D正确.
【详解】
对于A中，若 为锐角三角形，可得 且 ，
可得 ，且 ，
根据正弦函数的单调性，可得 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，在 中，由 ，根据正弦定理可得 ，
则 ，可得 ，解得 ，所以B正确；
对于C中，由三角形的面积公式，可得 ，
由正弦定理知 ，可得 ，所以C不正确；
对于D中，在 中，可得 ，则 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的
应用.
40．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A．在 ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C
B．在 ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在 ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在 ABC中，
【答案】ACD
【分析】
对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；
对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；
对于C，在 ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；
对于D，由正弦定理可得右边＝ ＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A，由正弦定理 ，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：
sinC，故该选项正确；
对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝ ，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项
错误；对于C，在 ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故
该选项正确；
对于D，由正弦定理 ，可得右边＝
＝左边，故该选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
41．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a＝6，4sinB＝5sinC，有以下四个命题中正确
命题有 （ ）
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
【答案】ACD
【分析】
对于A，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B，考虑勾股定理的逆定理，即
可判断；对于C，运用正弦定理可得4b＝5c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D，运
用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积.
【详解】
以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（﹣3，0），C（3，0），
4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，设A（m，n），
可得4 ＝5 ，平方可得16（m2+n2﹣6m+9）＝25（m2+n2+6m+9），
即有m2+n2+ m+9＝0，化为（m+ ）2+n2＝（ ）2，
则A的轨迹为以（﹣ ，0），半径为 的圆，可得△ABC的面积的最大值为 ×6× ＝40，
故A对；a＝6，4sinB＝5sinC即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，由36+16t2＝25t2，可得t＝ ，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝ ，
由 ＝ ，可得 ＝ ＝ ，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝ ，解得：cosC＝ ，或﹣ （舍去），
sinC＝ ＝ ，可得sinA＝2sinCcosC＝2× × ＝ ，
＝ ，可得：c＝4，b＝5，则a+b+c＝15，
故C对；
a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝ ，
由 ＝ ，可得 ＝ ＝ ，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝ ，解得：cosC＝ ，或﹣ （舍去），
sinC＝ ＝ ，可得：sinA＝2sinCcosC＝2× × ＝ ，＝ ，可得：c＝4，b＝5，
S ＝ bcsinA＝ ×5×4× ＝ .
△ABC
设△ABC的内切圆半径为R，则R＝ ＝ ＝ ，
S ＝ cR＝ ×4× ＝ .故D对.
△ABO
故选：ACD.
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属
于难题.
第II卷（非选择题）
三、解答题
42． 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.
【详解】
(Ⅰ)在 中，由正弦定理 得 ，
又由 ，得 ，即 .
又因为 ，得到 ， .
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，
从而 ， .
故 .
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､
余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
43．已知 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围．【答案】（1） （ ）；（2） ．
【分析】
（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得 ，令
，即可求得 的单调递增区间.
（2）根据（1）化简可得 ，则原题等价于
， 即可，利用二倍角公式，对 化简变形，结合对勾函数的性质，
即可求得答案.
【详解】
（1）化简得
=
= ，
令 ，解得
所以单调递增区间为 ， .
（2）由（1）可得 ，即 ，对任意的 恒成立，
只需要 即可，
，
令 ，因为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
由对勾函数性质可得，当 时， 为减函数，
所以当 时， ，
所以 ．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除 ，得到关于
的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.
44．已知 ．（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）由两角和的公式展开后解方程得 ；
（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于 的式子，代入（1）的结论
可得．
【详解】
解：（1） ，解得 ；
（2）
．
【点睛】
本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：
(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使
用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
45．（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简可求 进而根据同角三角函数基本关系式化简
即可求解．
（2）将两边同时平方，再相加即可得解；
【详解】
解：（1） ，
．
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
上述两式相加得
即 解得46．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的最小值以及取得最小值时 的集合．
【答案】（1） ，（2） ，时
【分析】
（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由 的范围先求出 的范围，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1） ，
，
，
，
故 的最小正周期 ；
（2）由 可得 ， ，
当得 即 时，函数取得最小值 ．所以 ，时
47．已知 ， ， 的值．
【答案】 .
【分析】依题意可得 ，且 ， . 然后可得 ， ，进而可得 .
【详解】
将 平方得 ，所以 ，所以 .
所以 ，从而 .
联立 ，得 .
所以 ， .
故 .
48．若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，且当
时， 取得最小值.
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题设条件，求得 的周期 ，得到 ，再由 时， 取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；
（2）因为 ，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，
可得 的周期 ，即 ，解得 ，
又因为当 时， 取得最小值，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以函数 的值域是 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函
数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.49．已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 的图象上的各点________；得到函数 的图象，当 时，方程
有解，求实数 的取值范围．
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.
①向左平移 个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 个单位．
【答案】（1） ；（2）若选①， ；若选②， ．
【分析】
（1）用正弦余弦的半角公式整理 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；
（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的 ，由 的值域可得 范围；
选②先周期变换后平移变换得对应的 ，同样由 值域得 的范围.
【详解】
（1） ，最小正周期为 ；
（2）选①时， ，
由 ，得 ，故 ， ， 有解，故 ．
选②时，
由 ，得 ，故 ，
有解，故 ．
【点睛】
本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.
50．已知函数 ，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为 ，
且函数 图象的一个对称中心为 .
（1）求 的解析式；
（2）确定 在 上的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题可得周期，即可求出 ，将 代入即可求出 ；
（2）令 即可求出.
【详解】（1）设函数 的周期为 ，由题设得 ，
又∵ 为 图像的一个对称中心，
∴ ，
又∵ ，∴ ，故 ；
（2）由 ， ，
∴ 在 上递增，
当 时， 在 递增，由 ，
∴ 在 上的单调递增区间为 ．
【点睛】
本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，以及单调区间的求法，属于基础题.
51．已知函数 ．
（1）求函数 的最小值和最大值及相应自变量x的集合；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）画出函数 区间 内的图象．
【答案】（1）最大值为 ，取得最大值时相应x的集合为 ；最小值为 ，取得最小值时相应x的集合为 ；
（2） ， ；（3）图象见解析．
【分析】
（1）根据函数的解析式求出函数的最值和对应的 的值的集合.
（2）解不等式 ， ，即可得 的单调递增区间.
（3）用无点法作图即可得 区间 内的图象.
【详解】
（1） 的最大值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为
的最小值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为
（2）由 求得 ，
∴ 的单调递增区间是 ，
（3）列表：图像如图所示：
【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期性和最值，用五点法作三角函数图像，属于中档题.
52．在① ；② ；③ ，这三
个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.问题：在锐角 中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，____.
（1）求A；
（2）若D为BC的中点，且△ABC的面积为 ， ，求AD的长.
【答案】（1） ； （2） .
【分析】
（1）选择①：由正弦定理化简求得 ，即可求解；选择②：由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到 ，即可求解；选择③：由向量的数量积运算公式和余弦定理，化简得到
，即可求解.
（2）由（1）和题设条件，求得 ，进而求得 ，再由正弦定理和三角函数的基本关系式，
求得 ，结合余弦定理，即可求解.
【详解】
（1）选择①：因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又由 ，可得 ，所以
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
选择②：因为 ，可得 ，即 ，
由正弦定理，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 .
选择③：因为 ，可得 ，即 ，即 ，
解得 或 ，
又因为锐角 ，即 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，因为 的面积为 ，且 ，
可得 ，解得 ，
则 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，
所以 ，
所以 .
53．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且（1）求角C的大小；
（2）若 ，c=1，求△ABC的面积.
【答案】（1） ； （2） 或 .
【分析】
（1）由 ，根据三角形的内角和定义和余弦的倍角公式，化简求得
，即可求得 的大小；
（2）由正弦定理求得 ，得到 或 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】
（1）因为 ，
在 中， ，即 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，因为 且 ，所以 或 ，所以 或 ，
当 时， ；
当 时， .
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的
应用.
54． 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的面积 ；
（Ⅱ）若 ， 边上有一点 满足 ，求线段 的长度．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【分析】
（Ⅰ）由已知条件结合正弦定理及三角恒等变换化简可得 ，从而得到角 ，进而利用三角形的面积
公式即可求解；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）及余弦定理求得 ，结合正弦定理求出角 ，再根据已知条件求出 ，利用余弦定理
即可求解.
【详解】
（Ⅰ）因为 ，由正弦定理得 ．因为 ，所以 ，
又因为 ,可得 ，所以 ．
又由 ，所以 ，所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
由正弦定理得 ，即 ，得 ．
因为 ，所以 ．
由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理得
所以线段 的长度为 ．
55．已知锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求角 ；
（2）求 的最大值.【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）首先利用正弦定理将原式转化为边的关系式，再利用余弦定理求出角 的余弦值，然后结合
为锐角三角形及特殊角的三角函数值即可确定角 的大小；
（2）结合（1）的结论将含有 , 两个角的三角函数式化简为只含有 的三角函数式，然后由 为
锐角三角形确定 的取值范围，最后结合三角函数的性质，即可求得.
【详解】
（1）由题意知 ，
利用正弦定理可得 ，即 ，
由由余弦定理得 ，
又 为锐角三角形，所以 .
（2）由（1）知 ，可得 ，则 ，
则
，
又由 ，可得 ，则 ，则 ， .
故 最大值为2.
【点睛】
一般地，在解三角形时，如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，多考虑用余弦定理；如果遇到的式
子中含角的正弦或边的一次式，多考虑用正弦定理；如果以上特征都不明显，那么考虑两个定理都有可能
用.
56．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）从条件① ；条件② 这两个条件中选择一个作为已知，求 的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）由题设条件和正弦定理，化简得 ，求得 ，即可求解；
（2）条件①：由 ，和 ，根据余弦定理求得 ，结合面积公式，即可求解；
条件②：由 且 ，根据正弦定理求得 ，进而求得 的值，结合面积公式，即可求解．
【详解】
（1）因为 ，由正弦定理 ．
因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．
（2）条件①： ；
因为 ，由（1）得 ，
所以根据余弦定理得 ，可得 ，解得 ．
所以 的面积 ，
条件②： ；
由（1）知 且 ，
根据正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的面积 ．
57．在锐角 中，角 的对边分别是 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．【分析】
（1）由题设条件和三角形的内角和定理，化简得 ，求得 的值，即可求解；
（2）由 ，根据正弦定理，可得 ，化简 ，再由 为锐
角三角形，单调 ，求得 ，得到 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由 ，化简得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
（2）因为 ，
由正弦定理，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以
，
由 为锐角三角形，且 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 的面积 ，所以 ，
即 面积的取值范围是 ．
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的
应用.
58．在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，现有下列四个条件：① ；② ；
③ ；④ ．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）已知 同时满足上述四个条件中的三个，请选择使 有解的三个条件，求 的面积．
（注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】（1）不能同时成立，理由见解析； （2）答案见解析.
【分析】
（1）由条件③求得 ，由条件④推出 ，说明 不能同时满足；
（2）由（1）可满足三角性有解的所有组合为①②③或①②④，若选择①②③：利用正弦定理，结合三角
形是直角三角形，求出三角形的面积；若选择①②④：利用余弦定理求出 ，然后转化求解三角形的面积.
【详解】
（1）由条件③ ，可得 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ；
由条件④ ，可得 ，
因为 ，且 ，
而 在 上单调递减，所以 ,
于是 与 矛盾，
所以 不能同时满足③④.
（2）因为 同时满足上述条件中的三个，不能同时满足③④，
则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④，
若选择①②③：有 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，
所以 ，所以 的面积为 .
若选组合①②④：由 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 的面积为 .
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的
应用.
59．在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题
中的横线上，并解决该问题.
问题：已知 的内角 及其对边 ，若 ，且满足___________.求 的面积的最大
值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】条件选择见解析；最大值为 .
【分析】
分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到 ，再由余弦定理得
，进而求得 ，利用面积公式求得 ，即可求解.
【详解】
选择条件①：因为 ，所以 ，
根据正弦定理可得 ，
由余弦定理得： ，
又由 ，可得 ，
根据余弦定理得 ，则 ，
所以 ，
所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 .
选择条件②：因为 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
，
所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 .
选择条件③：因为 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，可得 ，
又由余弦定理得： ，
所以 ，
，
所以当且仅当 时， 面积取得最大值，最大值为 .
【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的
应用.
四、填空题
60．若 ，则 ___.
【答案】
【分析】
首先根据同角三角函数的基本关系求出 ， ，再根据
利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以
所以故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.
61．已知函数 ，点 是直线 与函数 的图象自左至右
的某三个相邻交点，若 ，则 _____
【答案】3
【分析】
画出示意图，分析可得 ，即求得 的周期，从而求得 ，再根据 两点处函数值相等及
两点横坐标的关系，求得 点处的函数值，得到 的值，求得答案.
【详解】
作出示意图如图所示：
由 ，则 ，则 ，故 的周期 ，
得 ，即 ，且 ，
可得 ，且 ，得 ,则 ，得 ，则 .
故答案为：3
【点睛】
本题考查了正弦型函数图象的应用，属于中档题.
62．已知 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】
构造角 ， ，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.
【详解】
， ， ，
，
，
故答案为：
【点睛】
本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.63．已知函数 .给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象.
其中所有正确结论的序号是________
【答案】①③
【分析】
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：①③.
【点睛】
该题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，属于基础题
目.
64．已知 ，点 为角 终边上的一点，且
，则角 ________．【答案】 ．
【分析】
由三角函数定义可得 ，已知等式用诱导公式变形得可得 ，结合角的大小及范围求
得 ，然后由两角差的正弦公式求得 后可得 ．
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ， ．
又 ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
．
∵ ，∴ ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．
65．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 且c＝1，则△ABC面积的取值范围
为____.
【答案】
【分析】
由三角形的余弦定理可得b2＝1+a2﹣a，由△ABC为锐角三角形，可得a2+b2＞c2，b2+c2＞a2，解得a的范围，
再由三角形的面积公式，计算可得所求范围.
【详解】
且c＝1，可得b2＝c2+a2﹣2accosB，
即为b2＝1+a2﹣a，
由△ABC为锐角三角形，可得a2+b2＞c2，b2+c2＞a2，
即为2a2﹣a＞0，且2﹣a＞0，
解得 ＜a＜2，
则△ABC面积S＝ acsinB＝ a∈（ ， ），
故答案为：（ ， ）.
【点睛】
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，以及锐角三角形的定义，考查化简运算能力，属于中档题.
66．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为 ，则A＝______.
【答案】
【分析】
由已知利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA的值，结合A的范围可求A的值.
【详解】
∵△ABC的面积为 ＝ bcsinA，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，
∴ ＝ bcsinA，可得﹣cosA＝sinA，即tanA＝﹣1，
∵A∈（0，π），
∴A＝ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转
化思想，属于基础题.
67．如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC＝90°，sin∠BAC＝ ，AB＝ ，AD＝3.则
sin∠ADC＝______.
【答案】
【分析】
由已知利用诱导公式可求 的值，利用余弦定理即可计算 的长，可求 的值，利用
同角三角函数基本关系式可求 ，由正弦定理可求 的值，进而得解．【详解】
解： ，
，
，
在 中，由余弦定理得， ，
即 ，得 ．
由 ，得 ，
在 中，由正弦定理，得： ．
．
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数
公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
68．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
的面积等于________.
【答案】【分析】
由正弦定理可得 ，进而确定三角形为边长为2的等边三角形，即可得到所求面积．
【详解】
解： ， ， ，
由正弦定理可得 ，
可得 ，
即有 ，
即 为边长为2的等边三角形，
可得 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
69．在 中，角 的对边分别为 ， 且 面积为 ，则
面积 的最大值为_____．
【答案】
【分析】
利用三角形面积构造方程可求得 ，可知 ，从而得到 ；根据余弦定理，结
合基本不等式可求得 ，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】，
由余弦定理 得： （当且仅当 时取等号）
本题正确结果：
【点睛】
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造
等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
五、双空题
70．已知函数 ，若方程 的解为 ，则 ______，
_______．
【答案】
【分析】
由已知求出 的范围，根据方程 的解的对称性可求得 ；再利用 表示 ，即可表
示为 ，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案.
【详解】， ，
又方程 的解为 ， ，
解得 ． ，
由 ，可得 ， ．
又 ，可得 ，
.
故答案为： ； ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意
到 是 的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的
分析解题能力与转化能力，属于中档题.
71．设函数 ，给出以下四个论断：
① 的周期为 ；
② 在区间 上是增函数；③ 的图象关于点 对称；
④ 的图象关于直线 对称.
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______ ______ 只需将
命题的序号填在横线上 .
【答案】①④ ②③
【分析】
若②论断作为条件是不确定性与其它三个论断中的任意一个作为条件无法得出 的值；若以③④论断作
为条件，无法确定周期，所以只可能①④或①③作为条件，分别求出 ，再验证两个论断是否成立.
【详解】
解：依题意②论断是不确定性不能作为条件，
若以③④论断作为条件，无法确定周期，
所以只可能①④或①③作为条件，
若①④作为条件：
由① 的周期为 ，则 ，函数 .
又由 的图象关于直线 对称，
则 ，
又 ， 此时， ，
若 ，此时 单调递增，即②成立；
当 时， ，
函数 的图象关于点 对称，即③成立；；
故由①④ ②③成立；
若①③作为条件：
由① 的周期为 ，则 ，函数 ，
又由③得图象关于点 对称，
又 ，
， ，
若 ，
此时 单调递增，即②成立；
当 时， ，
所以 的图象关于直线 对称，即④成立；
所以①③ ②④；
故答案为：①④ ②③；或 ①③ ②④.
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键，属于中档
题.
72．已知函数 的图像关于点 对称，关于直线 对称，
最小正周期 ，则 ______， 的单调递减区间是______.
【答案】
【分析】
根据 的对称性和 的范围，求得 ，根据三角函数单调区间的求法，求得 的单调递减区
间.
【详解】
由于 的最小正周期 ， ，所以 .
由于 图像关于点 对称，关于直线 对称，
所以 ，
两式相加得 ，
由于 ， ，所以 .
则 ，结合 可得 ，所以 .
所以 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，所以 的减区间为
.
故答案为：（1） ；（2）
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能
力，属于中档题.
73．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan( )＝2，则sinA的值为______，
若B＝ ，a＝4，则△ABC的面积等于___．
【答案】 16
【分析】
利用正切的和与差化简tan( )＝2．可得tanA的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sinA的值，
由正弦定理可求得b的值，同角三角函数基本关系式求cosA的值，两角和的正弦函数公式求sinC的值，
根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】∵由tan( )＝2，可得：
∴tanA＝ ，即
又∵cos2A+sin2A＝1
∴解得：sinA＝
∵B＝ ，a＝4，sinA＝
∴由正弦定理： ，可得：
∵tanA＝ ，sinA＝ ，即
∴sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝
∴△ABC的面积S＝ absinC＝ ×4×4 × ＝16．
故答案为： ，16
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三
角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
74．已知角 的顶点与原 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边经过点 ，则______，若角 满足 ，则 ______.
【答案】
【分析】
由已知可求 ，根据诱导公式求出 ；利用 ，再由两角和正切公式即可求解.
【详解】
依题意得 ，
.
故答案为： ， .
【点睛】
本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题.
75．在 中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，若 ， ， ，则
________， ________．
【答案】3
【分析】
利用三角函数的基本关系和 ，求得 的值，由三角形的面积公式，列出方程求得
的值，再结合余弦定理，求得 和 ，最后利用正弦定理，即可求解.
【详解】在 中，因为 ，即 ，
又由 ，可得 ， ，
又因为 ，且 ，即 ，可得 ，
由余弦定理，可得 ，可得 ，
又由 ，
所以 ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住
题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求
解能力，属于基础题．
76．设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，已知 ，则 ______，
的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据题设条件、正弦定理和三角形的性质，化简整理得 ，得到 ，求得，再结合余弦定理，求得 ，即可求解.
【详解】
因为 ，可得 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理，可得 ，所以 .
故答案为： ，
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，
熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，
运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
77．在锐角 中，内角 所对的边分别是 ， ， ，则 __________．
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由正弦定理可得 的值.由正弦定理可以把 表示为角 的函数，由锐角三角形得出角 的取值范
围，进而可得 的取值范围.
【详解】
由正弦定理，可得 ，则 .
由 ，可得 ， ，
所以 .
由 是锐角三角形，可得 ， ，则 ，
所以 ， .
所以 .
【点睛】
本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.
78．在 中，角 的对边分别为 ， ， ， ，则 ____，
___．
【答案】
【分析】
根据 并结合题中的条件可求得 ，然后再根据正弦定理求出 即可．【详解】
∵ ，
∴ 为锐角，且 ，
∴ ．
由正弦定理得 ，
∴ ．
故答案为 ， ．
【点睛】
本题考查三角形中的三角变换和解三角形，解题的关键是熟练掌握相关的公式，其中容易出现的错误是符
号问题，考查转化和计算能力，属于基础题．
