文档内容
专题 15.3 分式的加法和减法
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 同分母分式加减法】................................................................................................................................1
【考点二 异分母分式加减法】................................................................................................................................4
【考点三 整式与分式相加减】................................................................................................................................8
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】....................................................................................................9
【考点五 分式加减混合运算】..............................................................................................................................12
【考点六 分式加减的实际应用】..........................................................................................................................14
【考点七 分式加减乘除混合运算】......................................................................................................................15
【考点八 分式化简求值】......................................................................................................................................17
【考点九 分式混合运算错解复原问题】..............................................................................................................18
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 同分母分式加减法】
例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是关键．
同分母分式相减，分母不变，分子相减，再化简即可．
【详解】解：．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了同分母分式的加减法．
（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；
（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果；
（2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
4.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减．
（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可；
（2）先通分，再进行同分母分式的加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点二 异分母分式加减法】例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的减法法则．先将原式进行通分，再根据同分母
分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解：
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先通分，化为同分母分式，再计算即可；
（2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解；
（2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可；（3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解；
（4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：．
3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】（ ）原式两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（ ）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ ）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结
果；
（ ）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结；
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
；
（3）解：原式
=1；
（4）解：原式
．
【考点三 整式与分式相加减】
例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算： ．
【答案】
【详解】解：原式 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1) (2)【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解；
（2）根据分式的加法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据分式的加法法则相加，再约分即可；
（2）先通分，再根据分式的加法法则相加，即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题考查了分式的加法，熟知计算法则是解题的关键．
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的 值都有 ，则 ，
值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，【答案】B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得 ，从而可得 ，再解方程组即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是
关键．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若 ，试求A、B的值
解：等式右边通分，得根据题意，得 ，解之得 ．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知 （其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若 对任意自然数n都成立，则 _________， _________．
(3)计算： _________．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由 ， ， ，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得 ，解之得 ；
（2）解：等式右边通分，得，
根据题意，得 ，解之得 ；
故答案为： ， ；
（3）解：
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点五 分式加减混合运算】
例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式 ．
（2）原式【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
故答案为： ．
（2）解：
故答案为： ．
（3）解：故答案为： ．
（4）解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；
（3）通分，最简公分母为 ；（4）把 看成是一项，为 ，再通分；
（5）前两项先通分，再依次计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式 ；
（5）解：原式 ．
【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及
因式分解是解题的关键．
【考点六 分式加减的实际应用】
例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产 个零
件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前
小时完成生产任务．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可．
【详解】解：根据题意： ，
故答案为： ．【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距 千米，提速前火车从甲地到乙地要用 小时 ，
提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度 路程 时间分别求出提速前后火车的速度，
再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案，
【详解】解： 千米/小时，
∴提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时，
故答案为： ．
2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原
计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．
（用含a、b、m的最简分式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了异分母分式减法的实际应用，根据题意可知，原计划每天读 页，实际每天读
页，用实际每天读的页数减去原计划每天读的页数即可得到答案．
【详解】解： ，
∴平均每天比原计划要多读的页数为 ，
故答案为： ．
【考点七 分式加减乘除混合运算】
例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算：(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据同分母分式的减法法则进行
计算；
（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的
进行因式分解，约分后计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键．（1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案；
（2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案；
（3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的
要约分，即可求出答案；
（4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可
求出答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则；
（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】（1）（2） ．
【考点八 分式化简求值】
例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法．
先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值．
【详解】解：原式 ，
当 时， ．
【变式训练】
1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值： ，再从 ，0， 中选取适合的
数字求这个代数式的值．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条
件得到 ， ，据此得到 ，最后代值计算即可．
【详解】解：
由题得， ， ，
当 时，原式 ．2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范
围内选取一个你喜欢的整数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知 且
且 ，根据 ， ，可知 ，则 的整数值可取 ．
【详解】原式
根据题意可知 且 且 ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ 的整数值可取 ．
将 代入，得
原式
【考点九 分式混合运算错解复原问题】
例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件 的合适的非负整数．以下是某同
学化简分 的部分运算过程：
解：原式 ①
②
③…(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见详解
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号．
（2）解：原式
＝
＝ ．
∵x是满足条件 的非负整数
∴ ，
∵由于分母不为0，
∴ ，
∴
∴原式 或 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应
任务：
第一步第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错
误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；② ，过程见解析
【分析】
本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤
重新计算即可．
【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同
一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“ ”去掉括
号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
②．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解： ．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
(1) 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．(2)先化简再求值： ，已知 ．
【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变
号；③
(2) ，
【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法
则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出 ，整体代入计算即可．
【详解】（1）解： 以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：一，分式的基本性质；
第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变
号；
故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；
．，
故答案为： ；
（2）解：
，
，
，
原式 ．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式、同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，先进行同分母分式减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式
分解后约分即可，解题关键是熟练运用分式减法运算法则．
【详解】解：
，
故选： ．
2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：① ；
② ；③ ；④ ，其中解答正确的有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【答案】A
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键.
根据分式的加减乘除运算的法则逐一计算，根据计算结果判定即可.
【详解】解： ，故①计算错误，是最简分式，不能进行约分，故②计算错误，
，故③计算错误，
，故④计算正确，
正确的解答共1道，
故选：A．
3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）下列等式中，正确的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】约分、判断分式变形是否正确、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了绝对值和分式的通分和约分．
①把等式右边的分式进行化简，然后判断即可；②把等式左边的分式的分子分解因式，然后约分，进行判
断即可；③根据绝对值的性质进行化简，然后约分，进行判断即可；④根据分式的基本性质进行判断即可；
⑤先把等式左边的式子通分，然后进行判断即可．
【详解】解：① ，①不正确；
②∵ ，∴②正确；
③∵当 时， ；
当 时， ，
∴ 或 ，∴③不正确；
④当 时， ，∴④不正确；⑤∵ ，∴⑤不正确，
综上，只有②正确．
故选：A．
4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出 的值，再把所求式子中的小括号内的式子通分
化简，再计算分式乘法分解，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故选：B．
5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的
x的值的和为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】A【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得 ，根据分母为2的因数即可求得x的值，
再把所有这些值相加即可．
【详解】解：
；
由于x为整数，且原式为整数，
所以 或 ，
解得： 或2或5或1，
∴ ，
故选：A．
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）对于正数x，规定 ，例如： ，
， ，则 的值为（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的混合运算和代数式的求值，掌握分式的加减运算法则，有
理数的混合运算法则和代数式的求值方法是关键．根据分式的加减运算法则，有理数的混合运算法则和代
数式的求值方法利用裂项相消的方法进行计算．
【详解】解： ，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题
7．（24-25八年级上·全国·期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键．
将原式通分，相加后再约分即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为： ．
8．（2023·四川成都·模拟预测）如果 ，那么代数式 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式
的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由 得出 ，从而得出答案．
【详解】解：原式
，
，
，
则原式 ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式的求值、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的运算．
由 得到 ，从而 ，代入即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
10．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则 的值为 ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、加减消元法
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解二元一次方程组，先通分得到
，进而得到 ，则 ，
解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式 ， ，定义运算“ ”：
，例如： ，若 ，则 ．【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由
可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混
合运算顺序和运算法则.
【详解】解： 根据题意得：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于任意两个非零实数 ， ，定义新运算“*”如下：
，例如： ．则
（1） ．
（2）若 ，则 的值为 ．
【答案】 / 506
【知识点】新定义下的实数运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）按照新定义进行计算即可；
（2）根据定义新运算可得 ，从而可得 ，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：（1） ．故答案为： ；
（2） ，
，
，
故答案为：506．
三、解答题
13．（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，即
可解答．
【详解】
．
14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)(2)
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的加减计算：
（1）先通分，再计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式、综合运用公式法分解因式、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式、提公因式法进行因式分解．熟练掌握分式的化简，利
用平方差公式、提公因式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先计算括号，然后利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，最后进行除法运算即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，然后进行乘除运算即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知 ，求A，B的值
【答案】 ，
【知识点】异分母分式加减法、构造二元一次方程组求解
【分析】此题考查了分式的加减运算法则，此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．
由分式的加减运算法则可求得 ，继而可得方程组：
，解此方程组即可求得答案．
【详解】解：解得 ．
17．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先根据分式的混合运算
法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ．
18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简再求值： ，然后从0，1，
2，3，4中选取一个合适的x值代入求值．【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件选取合适的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
依题意有 ，
解得： 且 且 ，
则当 时，原式 ．
19．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，请从不等式组
的整数解中选择一个合适的值代入求值
【答案】 ，当 时，原式为
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，解题的关键是掌握相关知识．先求出不等式组的解集，
再将所求的分式化简，最后代入合适的值计算即可，注意不要选使原分式无意义的值．【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解为： ， ， ，
；
∵ ， ，
∴ ， ，
当 时，原式 ．
20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题
(1)先化简 ，再从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
(2)先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．
【答案】(1) ，当 时，原式 ；(2) ， ．
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求
值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题
的关键
（1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的 值代入计算即
可；
（2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减
法，约分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
， 即
当 时，原式 ；
（2）解：原式=，
原式
．
21．（2024九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中x是满足条件 的合适的非负整数；
(3) ，其中 ；
(4) ，其中 ．
【答案】(1) ，4；
(2) ，当 时，原式 ；
(3) ， ；
(4) ，1．
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式的整数解：
（1）先计算分式乘除法，再计算分式减法化简，最后代值计算即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据分式有意义的条件结合x是小
于等于2的非负整数确定x的值，并代值计算即可；
（3）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可；
（4）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．【详解】（1）解：
．
当 时，原式 ．
（2）解：
．
且 ，
且 ，
∵x是满足条件 的合适的非负整数，
，
∴原式 ．
（3）解：．
当 时，原式 ．
（4）解：
．
当 ，原式 ．
22．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时， ．
【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．（1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简；
（2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴a可以取得整数为2或4，
当 时， ；
当 时， ．
23．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，
则称 是 的“优式”，这个常数称为 关于 的“优值”．
例如：分式 ， ， ，则 是 的“优式”， 关于 的“优
值”为1．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并
求出 关于 的“优值”；
(2)已知分式 ， ， 是 的“优式”，且 关于 的“优值”是1， 为整数，且 的值
也为整数，求 所代表的代数式及所有符合条件的 的值．【答案】(1)是；2；证明见解析
(2) ；
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的减法计算：
（1）计算出 的结果即可得到结论；
（2）根据定义可得 ，则 ，据此求出 ，进而求出 ，再根据P为
整数进行求解即可．
【详解】（1）解：C是 的“优式”，优值为2，证明如下：
，
是 的“优式”，“优值”为2．，
（2）解：由题意可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的值也为整数，
或 ，
．
24．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】
阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值；解：由 知 ， ，即 ①
②，故 的值为 ．
（ ）第②步 运用了公式：________；（要求：用含 的式子表示）
【类比探究】
（ ）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知： ，求 的值．
【拓展延伸】
（ ）已知： ， ， ．求 的值．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）
【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值
【分析】（ ）根据完全平方公式的变形进行解答即可；
（ ）仿照例题计算即可；
（ ）由已知可得 ， ， ，即得 ， ， ，得到
，再根据倒数法解答即可求解；
本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性
质是解题的关键．
【详解】解：（ ）第②步 运用了公式： ，
故答案为： ；
（ ）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ ）∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如 的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取
“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：
，
．
解决问题：
(1)分式 可以表示成 的形式，且 为整式，用含 的式子表示 ；
(2)已知 为整数．
①若 可以表示成一个整式，求 的值；②若 ， 为整数，且 的结果也为整数，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② 的值为 或 或 或
【知识点】分式值为零的条件、同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键．
（1）把 变形为 ，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案；
（2）①把 表示成整式与分式和的形式，根据 为整式，得出变形后的分式为0，根据
分式值为0，分子为0即可得答案；
②根据 的值及①中变形结果得出 ，根据 的结果也为整数得出 是
整数，根据 为整数得出 或 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
∵分式 可以表示成 的形式，且 为整式，
∴ ．
（2）解：①
，∵ 可以表示成一个整式，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
②∵ ，
∴ ，
∵ 的结果为整数，
∴ 是整数，
∵ 为整数，
∴ 或
解得： 或 或 或 ，
∴ 的值为 或 或 或 ．
