文档内容
专题 15.4 分式方程【十二大题型】
【人教版】
【题型1 分式方程及其解】......................................................................................................................................1
【题型2 分式方程的一般解法】..............................................................................................................................3
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】..............................................................................................................7
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】.....................................................................................................9
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】........................................................................................................11
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】...........................................................................................13
【题型7 换元法解分式方程】................................................................................................................................16
【题型8 裂项法解分式方程】................................................................................................................................19
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】................................................................................................................24
【题型10 分式方程的新定义问题】........................................................................................................................26
【题型11 分式方程的规律探究】..........................................................................................................................33
【题型12 分式方程的阅读材料题】......................................................................................................................36
知识点1：分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程及其解】
x−3 3 x+3 1 x x
【例1】（23-24八年级·河南南阳·期中）给出以下方程： =1， =2， = ， − =1，其中分
4 x x+5 2 3 2
式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
x−3
【详解】解： =1中分母不含未知数，不是分式方程；
4
3
=2中分母含有未知数，是分式方程；
x
x+3 1
= 中分母含有未知数，是分式方程；
x+5 2x x
− =1中分母不含未知数，不是分式方程，
3 2
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
5 a+x
【变式1-1】（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）已知分式方程 +1= 的解为x=3，则a的值为
x+2 x+2
．
【答案】7
【分析】本题考查了分式方程解的意义，将x=3代入分式方程即可得出答案．
5 a+x
【详解】解：∵分式方程 +1= 的解为x=3，
x+2 x+2
5 a+3
∴ +1= ，
3+2 3+2
解得：a=7，
故答案为：7．
x−1 1 4 3−x
【变式1-2】（23-24八年级·全国·课后作业）下列关于x的方程① =5，② = ，③ =x−
3 x x−1 3
x 1
1，④ = 中，是分式方程的是__________.（填序号）
a b−1
【答案】②
【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号
两边至少有一个分母含有未知数．
【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.
x m
【变式1-3】（23-24八年级·湖南郴州·期中）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2，则关于y的
x−1 x2−1
m y2−2y+1
方程 +2= +1的解为
y2−2y (y−1)(y−2)
【答案】y=3
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将x=2代入关于x的方程中，求出m=3，再将m=3，代入关于y的方程中，求出y=3，再进行检验即可得出答案．
x m
【详解】解：∵方程 −1= 的解为x=2，
x−1 x2−1
2 m
∴ −1= ，解得：m=3
2−1 22−1
3 y2−2y+1
当m=3时，关于y的方程是： +2= +1，
y2−2y (y−1)(y−2)
∴3+2y(y−2)= y(y−1)+ y(y−2)，
∴y=3，
m y2−2y+1
经检验：y=3是关于y的方程 +2= +1的解．
y2−2y (y−1)(y−2)
故答案为：y=3
知识点2：分式方程的解法
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技
巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型2 分式方程的一般解法】
ax 2 x−4
【例2】（23-24八年级·湖南常德·期中）关于x的方程 − =1的解与方程 =3的解相同，求
a−1 x−1 x
a的值．
1
【答案】a=
7
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验．
x−4 ax 2
先将方程的解 =3求出，再将该解代入 − =1，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后
x a−1 x−1
得出结论．
x−4
【详解】解：解方程 =3得x=−2；
x经检验x=−2是方程的解；
∵两方程的解相同；
ax 2 −2a 2
∴将x=−2代入方程 − =1中得 − =1，
a−1 x−1 a−1 −2−1
1
解得a= ，
7
1
经检验a= 是方程的解
7
1
∴a= ．
7
x+n
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期中）已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则
2x−m
2
a⋅ b的值为 ．
5
x的取值 −4 4 a 16
分式的值 无意义 0 0.1 b
18
【答案】
25
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的
条件是分母为0，据此可求出m的值；根据当x=4时，分式的值为0，可求出n的值，进而得到关于a的
方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可得到答案．
【详解】解：∵当x=−4时分式无意义，
∴2×(−4)−m=0，
∴m=−8；
∵当x=4时，分式的值为0，
4+n
∴ =0，
2×4+8
∴n=−4；
a−4 16−4 3
∴ =0.1，b= = ，
2a+8 2×16+8 10
解得a=6，
经检验，a=6是原方程的解，2 2 3 18
∴a⋅ b=6× × = ，
5 5 10 25
18
故答案为： ．
25
1 1−x
【变式2-2】（23-24八年级·河南周口·期末）小明写出下列四个方程：① =0；② =0；③
2x+3 x2−1
1 2 2 5 3
= + ；④ = ．其中有解的是 (填写序号即可)．
x x+1 x2+x x x−2
【答案】④
【分析】此题考查了分式方程的解．根据分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增
根，即可得出答案．
1
【详解】解：① =0，
2x+3
去分母得：1=0，
则方程无解；
1−x
②
=0，
x2−1
1−x
=0，
(x+1)(x−1)
1
− =0，
x+1
去分母得：−1=0，
则原方程无解；
1 2 2
= +
③ ，
x x+1 x2+x
去分母得：x+1=2x+2，
解得：x=−1，
经检验x=−1时，x(x+1)=0，
则原方程无解；
5 3
④ = ，
x x−2
5x−10=3x，
2x=10，
x=5，经检验x=5是原方程的解．
其中有解的是④．
故答案为：④．
【变式2-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）如图是小丽同学完成的一道作业题．结合小丽作业，完成下
列问题：
小丽作业：
4x−1 3
解方程： −1= ．
x−1 x−1
解：去分母，得
4x−1−(x−1)=3，
去括号，得4x−1−x+1=3，
移项，合并同类项，得3x=3，
系数化为1，得x=1．
(1)小丽解方程的结果“x=1”是不是原方程的解？请写出判断过程．
x 2 1
(2)解方程 + = ．并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由．
x2−4 x−2 x+2
(3)反思以上过程，你有什么疑问或建议请写下来（一条即可）．
【答案】(1)小丽解方程的结果“x=1”不是原方程的解，判断过程见解析
(2)解方程得x=−3，x=−3是原方程的解，理由见解析
(3)解分式方程最后一定要检验
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）当x=1时，x−1=0，此时违背了分母不能为0的条件，据此可得结论；
（2）先解分式方程，再把求出的未知数的值代入公分母中，若公分母不为0，则该未知数的值是原方程的
解，反之不是；
（3）围绕解分式方程最后一定要检验进行阐述即可．
【详解】（1）解：小丽解方程的结果“x=1”不是原方程的解，判断过程如下：
∵当x=1时，x−1=0，而分式的不能为0，
∴x=1不是原方程的解．
x 2 1
（2）解： + =
x2−4 x−2 x+2
去分母得：x+2(x+2)=x−2，
去括号得：x+2x+4=x−2，
解得x=−3，检验，当x=−3时，(x−2)(x−3)≠0，
∴x=−3是原方程的解；
（3）解：根据（1）（2）可知，再解分式方程时，求出方程的解之后一定要把方程的解代入原方程中进
行检验，若分母为0，则所得的解不是原方程的解，若分母不为0，则所对的解是原方程的解，即解分式方
程最后一定要检验．
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】
5 m
【例3】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）关于x的分式方程 +2= ．
x−2 2−x
（1）若方程的根为x=1，则m= ；
（2）若方程有增根，则m=
【答案】 −3 −5
【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，解题的关键使牢记增根的定义．
（1）将x=1代入分式方程即可求解；
（2）分式方程的增根：使分式方程最简公分母为0的未知数的值，根据增根的含义可得答案．
5 m 5 m
【详解】解：（1）将x=1代入 +2= 得： +2= ，
x−2 2−x 1−2 2−1
解得：m=−3；
5 m
（2） +2= ，
x−2 2−x
−5+2(2−x)=m，
m=−2x−1，
5 m
∵ x的分式方程 +2= 有增根，
x−2 2−x
∴ x−2=0，
∴x=2，
∴ m=−2×2−1=−5；
故答案为：−3，−5．
a+1
【变式3-1】（23-24八年级·吉林·期中）若关于x的方程 =1有增根，则a的值为 ．
x
【答案】−1
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化
分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．a+1
【详解】解： =1，
x
去分母，得
a+1=x，
a+1
∵方程 =1有增根，
x
∴x=0，
∴a+1=0，
∴a=−1．
故答案为：−1．
1 k 3
【变式3-2】（23-24八年级·四川眉山·期中）若分式方程 + = 有增根，则k的值为（ ）
x−1 x2−1 x+1
A．±1 B．−2 C．−6 D．−2或−6
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分
式方程左右两边不成立（或分母为0)，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．方程两边同乘以
1 k 3
(x+1)(x−1)得x+1+k=3(x−1)，整理得k=2x−4，由于关于x的方程 + = 有增根，
x−1 x2−1 x+1
则有(x+1)(x−1)=0，解得x=1或−1，然后把x=1或−1别代入k=2x−4即可求得对应k的值．
【详解】解：依题意，原式去分母得x+1+k=3(x−1)，
整理得k=2x−4，
1 k 3
∵关于x的方程 + = 有增根，
x−1 x2−1 x+1
∴(x+1)(x−1)=0，
解得x=1或−1，
当x=1时，k=2x−4=2−4=−2；
当x=−1时，k=2x−4=−2−4=−6，
∴k的值为−2或−6，
故选：D．
x m+1 x+1
【变式3-3】（23-24八年级·湖南娄底·期中）若关于x的分式方程 − = 有增根，求m的值．
x+1 x2+x x
【答案】m的值为−2或0．
【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．【详解】方程两边都乘x(x+1)，得x2−(m+1)=(x+1) 2，
m+2
则x=− ，
2
∵原方程增根为x=0或x=−1，
∴把x=0代入整式方程，得m=−2，
把x=−1代入整式方程，得m=0，
∴m的值为−2或0．
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】
x−1 m
【例4】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若解关于x的方程 = +2时，该方程有解，则m
x−2 2−x
（填满足条件）．
【答案】≠−1
【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程
的解法以及增根的定义进行计算即可．
【详解】解：去分母得：x−1=−m+2x−4，
解得：x=m+3，
∵该方程有解，
∴x≠2，
∴m+3≠2，
解得：m≠−1，
故答案为≠−1．
x m
【变式4-1】（23-24八年级·北京顺义·期中）当m= 时，方程 =2− 无解．
x−3 x−3
【答案】−3
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，熟悉掌握分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母后，根据无解时x的取值情况运算求解即可．
x m
【详解】解：对 =2− 进行去分母可得：x=2(x−3)−m，
x−3 x−3
整理可得：x=6+m，
∵当x−3=0时，此分式方程无解，
∴x=3，
∴3=6+m，解得：m=−3，
故答案为：−3．
3 6 x+k
【变式4-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程 + − =0有解，则k满足
x x−1 x(x−1)
．
【答案】k≠−3且k≠5
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为
0，故先去分母得到3(x−1)+6x−(x+k)=0，再通过去括号、移项、合并同类项得到8x=k+3，再根据
分式方程有意义的条件即可得到答案．
3 6 x+k
【详解】解： + − =0，
x x−1 x(x−1)
去分母得：3(x−1)+6x−(x+k)=0，
去括号得：3x−3+6x−x−k=0，
移项、合并同类项得：8x=k+3，
k+3
解得：x= ，
8
∵该方程有解，
∴x≠0且x≠1，
∴k+3≠0且k+3≠8，
∴k≠−3且k≠5，
故答案为：k≠−3且k≠5
2 mx 5
【变式4-3】（23-24八年级·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的
x−2 x2−4 x+2
值为 ．
【答案】−4或10或3
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情
况即可求出m的值．
2 mx 5
+ =
【详解】解：
x−2 x2−4 x+2
去分母得，2(x+2)+mx=5(x−2)
2x+4+mx=5x−10
(m−3)x=−14，
当增根为x=2或x=−2时，2(m−3)=−14或−2(m−3)=−14
解得m=−4或m=10，
即m=−4或m=10时，分式方程无解，
当m−3=0时，即m=3时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当m的值为−4或10或3．
故答案为：−4或10或3．
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】
ax+1 3
【例5】（23-24八年级·重庆·开学考试）已知关于x 的分式方程 +1= 有整数解，且关于y 的
2−x x−2
{4 y≥3(y−2)
)
不等式组 y−1 有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
2y−
2
3 y a−9
式方程 − =1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
y−2 2−y
【答案】13
【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是
7−a
解题关键．先根据不等式组无解求得a≥1，再解分式方程得y= ，然后根据分式方程的解为非负整数
2
7−a
得1≤a≤7且a≠3，最后根据a为整数， 为非负整数，确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．
210x−4
{ ≤x+2①)
7
【详解】解：
3a+9
x> ②
2
解不等式①得：x≤6
3a+9
解不等式②得：x>
2
∵不等式组无解
3a+9
∴ ≥6
2
∴a≥1
3 y a−9
分式方程 − =1去分母得：3 y+a−9= y−2
y−2 2−y
7−a
∴y=
2
∵分式方程的解为非负整数
∴y≥0且y≠2
{ a≥1 ) 7−a
∴ 7−a 且 ≠2
≥0 2
2
解得：1≤a≤7且a≠3
7−a
∵a为整数， 为非负整数
2
∴a=1，5，7
∴符合条件的所有整数a的和为：1+5+7=13
故答案为：13．
ay y−5
【变式5-3】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）若关于y的分式方程 −2= 的解为整数，且
y−1 1−y
x2+2(a−1)x+9是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
A．±2 B．4 C．−2 D．4或−2
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据x2+2(a−1)x+9是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值．
【详解】方程两边同时乘以(y−1)得ay−2(y−1)=5−y去括号得ay−2y+2=5−y
3
移项合并同类项得y=
a−1
∵x2+2(a−1)x+9是一个完全平方式，
∴2(a−1)=±2×1×3=±6，
解得a=−2，a=4
ay y−5
∵关于y的分式方程 −2= 的解为整数，
y−1 1−y
3
当a=−2时，y= =−1，经检验，y=−1是原分式方程的解；
−2−1
3
当a=4时，y= =1，此时分式分母为0；
4−1
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验．
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】
y+a 2a
【例6】（23-24八年级·吉林·期中）若关于y的分式方程 + =4的解是正数，求a的取值范围．
y−2 2−y
【答案】a的取值范围为a<8且a≠2．
【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据解分式方程的一般步骤求出y的表达式，然后根据分式方程
的解为正数列不等式求解即可，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题
的关键．
y+a 2a
【详解】解： + =4，
y−2 2−y
y+a 2a
− =4，
y−2 y−2
y+a−2a=4(y−2)，
y−a=4 y−8，
8−a
y= ；
3
y+a 2a
∵关于y的分式方程 + =4的解是正数，
y−2 2−y8−a
{ >0)
3
∴ ，
8−a
≠2
3
解得：a<8且a≠2，
∴a的取值范围为a<8且a≠2．
x m
【变式6-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）关于x的分式方程 =2− 的解为非正数，则m的取值
x+3 x+3
范围是 ．
【答案】m≤6且m≠3
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据分式方程的解为正数，
得到x大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
x m
【详解】解：解 =2− 得x=m−6，
x+3 x+3
x m
∵关于x的分式方程 =2− 的解为非正数，
x+3 x+3
∴m−6≤0，
解得：m≤6，
∵x+3≠0，
∴x≠−3，
∴m−6≠−3，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m≤6且m≠3，
故答案为：m≤6且m≠3．
x+m x−1
【变式6-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于x的方程 −3= 的解为非负数，则m的取值范
x−2 2−x
围是 ．
【答案】m≥−5，m≠−3
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，
把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值
范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解，
x+m x−1
【详解】解： −3=
x−2 2−x
x+m−3(x−2)=1−xx+m−3x+6=1−x
x−3x+x=1−6−m
−x=−5−m
x=5+m，
x+m x−1
∵关于x的方程 −3= 的解为非负数，
x−2 2−x
∴5+m≥0
解得：m≥−5，
又∵ x−2≠0
即x≠2，
∴5+m≠2
即m≠−3，
故答案为：m≥−5且m≠−3
2 m
【变式6-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）若分式方程 =1− 的解为正数，则m的取值范围
x−1 x−1
（ ）
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<3 D．m<3且m≠−2
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，再解方程，接着根据
方程的解为正数求出m的范围，再根据分母不为0，即可确定m的最终取值范围．
2 m
【详解】解： =1−
x−1 x−1
去分母得：2=x−1−m，
解得x=m+3，
2 m
∵分式方程 =1− 的解为正数，
x−1 x−1
∴m+3>0，
∴m>−3，
又∵x−1≠0，
∴m+3−1≠0，
∴m≠−2，综上所述，m>−3且m≠−2，
故选：B．
【题型7 换元法解分式方程】
【例7】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为y− =0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，
x y
4
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y− =0的解．
y
x−1 x−1 1
当y=2时， =2，解得x=−1；当y=−2时， =−2，解得x= ．
x x 3
1
经检验：x=−1和x= 都是原分式方程的解，
3
1
所以原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
x+1 2x−1
用换元法解： − =0．
2x−1 x+1
【答案】答案见解析．
x+1 1
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y= ，原方程化为y− =0，按照解分式方程的方
2x−1 y
法，可求得y的值，进而求得x的值．
x+1 1
【详解】解：设y= ，则原方程化为y− =0．
2x−1 y
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
1
经检验：y=±1都是y− =0的解．
y
当y=1时，
x+1
=1，
2x−1
解得x=2．
当y=−1时，x+1
=−1，
2x−1
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
2x x2−1
【变式7-1】（23-24八年级·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程 + =3时，如果设
x2−1 x
x
= y将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ．
x2−1
【答案】2y2−3 y+1=0
【分析】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，体现了
x x2−1 1 1
整体思想．设 = y，则 = ，进而将原方程变为2y+ =3，再去分母即可．
x2−1 x y y
x x2−1 1
【详解】解：设 = y，则 = ，
x2−1 x y
1
原方程可变为：2y+ =3，
y
两边都乘以y得，2y2−3 y+1=0，
故答案为：2y2−3 y+1=0．
x−1 4x
【变式7-2】（2024八年级·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘y得：y2−4=0，解得：y=±2，经检验：
x y
4 x−1 x−1
y=±2都是方程y− =0的解，∴当y=2时， =2，解得x=−1，当y=−2时， =−2，解得：
y x x
1 1 1
x= ，经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x=−1或x= ．上述这种解分
3 3 3
式方程的方法称为换元法．
问题：
x−1 x x−1
(1)若在方程 − =0中，设y= ，则原方程可化为： ；
4x x−1 xx−1 4x+4 x−1
(2)若在方程中 − =0，设y= ，则原方程可化为： ；
x+1 x−1 x+1
3 x+2
(3)模仿上述换元法解方程：1− − =0．
x+2 x−1
y 1
【答案】(1) − =0
4 y
4
(2)y− =0
y
1
(3)x=−
2
【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
x−1 1
（3）利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求出y的值并检验是否为原方程的解，
x+2 y
然后求解x的值即可．
x−1 y 1
【详解】（1）解：将y= 代入原方程，则原方程化为 − =0；
x 4 y
y 1
故答案为： − =0；
4 y
x−1 4
（2）将y= 代入方程，则原方程可化为y− =0；
x+1 y
4
故答案为：y− =0；
y
x−1 x+2
（3）原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ，则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘y得：y2−1=0，
解得：y=±1，
1
经检验：y=±1都是方程y− =0的解．
y
x−1
当y=1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得：x=− ；
x+2 21
经检验：x=− 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x=− ．
2
x−1 3
【变式7-3】（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
1
【答案】x=−
2
x−1 1
【分析】本题考查了分式方程的解法．利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求
x+2 y
出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
x−1 x+2 x−1 1
【详解】解：原方程可化为 − =0，设y= ，则原方程可化为y− =0，
x+2 x−1 x+2 y
方程两边同时乘y，得y2−1=0，
解得y =1，y =−1，
1 2
1
经检验，y =1，y =−1都是方程y− =0的解；
1 2 y
x−1
当y=1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得x=− ，
x+2 2
1
经检验，x=− 是原分式方程的解，
2
1
所以原分式方程的解为x=− ．
2
【题型8 裂项法解分式方程】
【例8】（23-24八年级·江西景德镇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，
遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为v ，
1
下坡速度为v ，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平
2
均速度为v= 2v 1 v 2 ．聪明的马超对公式进行变形得到 1 = 1( 1 + 1 ) ，他马上联想到数学中也有类似变形，
v +v v 2 v v
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1(1 1)
例如 = = − ， = − ，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请
6 2×3 2 3 15 2 3 5你利用上述方法，解决以下问题：
1 1 1 1
(1)计算： + + + = ______；
2 6 12 20
1 1
(2)解方程： − =2；
x x(x+1)
1 1 1 1
(3)若分式方程 − − = 有增根，求m的值．
2x x(x+2) (x+2)(x+4) m
4
【答案】(1)
5
1
(2)x=−
2
(3)4或8
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程：
（1）根据题意把所求式子裂项求解即可；
1 1 1
（2）把 裂项变成 − ，再化简解分式方程即可；
x(x+1) x x+1
1 1 1(1 1 ) 1( 1 1 )
（3）先把式子 ， 裂项变成 − ， − ，再化简得到2x+8=m，
x(x+2) (x+2)(x+4) 2 x x+2 2 x+2 x+4
再根据分式方程有增根进行讨论求解即可．
1 1 1 1
【详解】（1）解： + + +
2 6 12 20
1 1 1 1
= + + +
1×2 2×3 3×4 4×5
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − + −
2 2 3 3 4 4 5
4
= ；
5
1 1
（2）解：∵ − =2，
x x(x+1)
1 (1 1 )
∴ − − =2，
x x x+1
1
∴ =2，
x+1
1
解得x=− ，
21
经检验，x=− 是原方程的解；
2
1 1 1 1
（3）解：∵ − − = ，
2x x(x+2) (x+2)(x+4) m
1 1(1 1 ) 1( 1 1 ) 1
∴ − − − − =
2x 2 x x+2 2 x+2 x+4 m
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ − + × − × + × = ，
2x 2x 2 x+2 2 x+2 2 x+4 m
1 1
∴ = ，
2x+8 m
∴2x+8=m，
∵原方程有增根，
∴当x=0时，m=8，
当x=−2时，m=4，
当x=−4时，m=0（舍去）
综上所述，m的值为4或8．
1 1 1 1
【变式8-1】（23-24八年级·四川绵阳·开学考试）解方程： + +... = ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (2x−1)⋅2x 8
【答案】x=4
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
1 1 1
先去分母非常麻烦，通过观察分式特点，联想到“ = − ”， 可考虑化积为差，裂项抵消来
n(n+1) n n+1
简化运算，然后将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【详解】解:原方程变形为:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − +⋯+ − = ，
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 2x−1 2x 8
1 1 1
合并，得 − = ，
x 2x 8
去分母，得x=4
经检验，x=4是原方程的根．
【变式8-2】（23-24八年级·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ，利用上面这个运算规律解决以下问题：
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 41 1 1
(1)求 + + 的值；
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1
(2)证明： + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
(3)解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
3
【答案】(1)
40
(2)见解析
4
(3)x=
5
【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可；
（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；
（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
1 1 1
【详解】（1）解： + +
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1 1
= − + − + −
5 6 6 7 7 8
1 1
= −
5 8
3
= ；
40
1 1 1 1 1
（2）证明： + + +⋯+ +
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ − + −
2 2 3 3 4 n−1 n n n+1
1
=1−
n+1
n
= ，
n+1
∵n0，
1 1 1 1 1
+ + + +⋯+
a⋅b (a+1)⋅(b+1) (a+2)⋅(b+2) (a+3)⋅(b+3) (a+2021)⋅(b+2021)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + +⋯+ =1− + − + − + − +⋯+ −
1×2 2×3 3×4 4×5 2022×2023 2 2 3 3 4 4 5 2022 2023
1
=1−
2023
2022
= ；
2023
1 1 1 1 4
（3）解： + + + = ，
x2+9x+20 x2+11x+30 x2+13x+42 x2+15x+56 x2+28
1 1 1 1 1 1 1 1 4
− + − + − + − = ，
x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 x+7 x+8 x2+28
1 1 4
− = ，
x+4 x+8 x2+28
4 4
=
，
x2+12x+32 x2+28
x2+28=x2+12x+32，
−12x=4，
1
x=− ，
3
1
经检验，x=− 是原方程的解，
3
1
∴原方程的解为x=− ．
3
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消
法的应用以及熟练求解分式方程．
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2024·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，
两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以
20
卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得 个铜板．”问
3
两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
15x 20(100−x) 20x 15(100−x)
A． = B． =
100−x 3x 3(100−x) x
15 20 5x 3x
C． = D． =
100−x 3x 100−x 20(100−x)【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有(100−x)个鸡
蛋，根据题目中的等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有(100−x)个鸡蛋，根据题意，得：
20
15 3 ，
⋅x= ⋅(100−x)
100−x x
15x 20(100−x)
整理得 = ．
100−x 3x
故选：A．
1
【变式9-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．
3
小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12
月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程，正确
的是（ ）
30 15 30 15
− =5 − =5
A． 1 x B． 1 x
(1+ )x (1− )x
3 3
30 15 30 15
− =5 − =5
C． x 1 D． x 1
(1+ )x (1− )x
3 3
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．利用总水费÷单价=
用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【详解】解：设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程：
30 15
− =5
( 1) x ，
1+ x
3
故选：A.
【变式9-2】（23-24八年级·山东泰安·期中）张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新
华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多
少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ．
35 35 1
【答案】 − =
x x+2 2【分析】本题考查的是分式方程的应用．李老师每小时走x千米，张老师每小时走(x+2)千米，利用张老
师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可．
【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走(x+2)千米，
35 35 1
根据时间的关系可列方程为： − = ，
x x+2 2
35 35 1
故答案为： − = ．
x x+2 2
【变式9-3】（2024·山东青岛·模拟预测）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购
5
进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的
4
进价．设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意得方程： ．
600 600
− =30
【答案】 x 5
x
4
5
【分析】本题考查了列分式方程．设第一次每支铅笔的进价是x元，则第二次每支铅笔的进价是 x元，根
4
据数量=总价÷单价结合第二次比第一次少购进30支，即可得出关于x的分式方程．
5
【详解】解：设第一次每支铅笔的进价是x元，则第二次每支铅笔的进价是 x元，
4
600 600
− =30
根据题意得： x 5 ，
x
4
600 600
− =30
故答案为： x 5 ．
x
4
【题型10 分式方程的新定义问题】
a
【例10】（23-24八年级·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 +1=b的解
x
1 a
是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数
a+b x
对”．
2 1 1
例如：a=2，b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就
x 2+(−5) 3a
是关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”.若不是，
x
打“×”．①[1,1)（ ）；②[3,−5)（ ）．
[ 5 ) a
(2)若数对 n,− −n 是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值．
3 x
a
(3)若数对[m−k,k) (m≠−1,且m≠0,k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的方
x
−2m
程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
【答案】(1)①×；②√；
(2)n=4；
(3)m=−2或−3
【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义计算即可；
【详解】（1）解：当a=1，b=1时，
1
分式方程为：分式方程 +1=1，方程无解，故①的答案是×，
x
当a=3，b=−5时，
3 1
分式方程为：分式方程 +1=−5，方程的解为：x=− ，
x 2
1 1
∵ =− ，
3+(−5) 2
故②的答案是√；
[ 5 ) a
（2）解：∵数对 n,− −n 是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
3 x
1 3
n 5 x= =−
∴ +1=− −n， 5 5，
x 3 n+(− −n)
3
n 5
+1=− −n
∴ 3 3 ，
−
5解得：n=4；
a
（3）解：∵数对[m−k,k) (m≠−1,且m≠0,k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
m−k 1 1
∴ +1=k，x= = ，
x m−k+k m
m−k
+1=k
∴ 1 ，
m
m2+1
∴k= ，
m+1
−2m
kx−m+1= x化简得：(m+1) 2x=(m+1)(m−1)，
m+1
m−1 2
解得：x= =1− ，
m+1 m+1
−2m
∵关于x的方程kx−m+1= x有整数解，
m+1
∴m+1=±1或±2，
解得：m=0或−2或1或−3，
∵m≠−1,且m≠0,k≠1，
∴m=−2或−3
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数
对”的定义是解题的关键．
1
【变式10-1】（23-24八年级·河南南阳·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“△”为：a△b= ，
a−b2
1 1 2
这里等式右边是实数运算．例如：1△2= =− ．则方程x△3= −1的解是 ．
1−22 3 9−x
【答案】x=6
1 2
【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义得到 = −1，解分式方程即可得到
x−32 9−x
答案．
2
【详解】解：∵x△3= −1，
9−x
1 2 1 2
∴ = −1，即 = −1，
x−32 9−x x−9 9−x
∴1=−2−(x−9)，解得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
故答案为：x=6．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程
a 1 a
+1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一
x a+b x
个“关联数对”．
2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，
x
打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
(2)若数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
(3)若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的方
x
−2m
程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
【答案】(1)①×；②×；③√；④×
(2)n=±❑√5
(3)m=−2,−3
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数
对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
1 1
【详解】（1）解：当a=−1，b=−1时，分式方程为− +1=−1，x= ，
x 21 1 1
∵ =− ≠ ，
−1−1 2 2
a
∴①[−1,−1)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
3
当a=3，b=4时，分式方程为 +1=4，
x
解得：x=1，
1 1
∵ = ≠1，
3+4 7
a
∴②[3,4)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
2
当a=2，b=−5时，分式方程为 +1=−5，
x
1
解得x=− ，
3
1 1
∵ =− ，
2+(−5) 3
a
∴③[2,−5)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
1
当a=1，b=1时，分式方程为 +1=1，
x
此方程无解，
a
∴④[1,1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
故答案为：①×；②×；③√；④×．
a
（2）解：∵数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
n2−3
∴ +1=−n2，
x
3−n2
解得：x= ，
n2+1
1 3−n2
∴ = ，
n2−3−n2 n2+1
解得n=±❑√5；a
（3）解：∵数对[m−k，k](m≠−1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
m−k 1 1
∴ +1=k，x= = ，
x m−k+k m
∴m(m−k)+1=k，
m2+1
解得k= ，
m+1
−2m
∵kx−m+1= x可化为k(m+1)x−m(m+1)+(m+1)=−2mx，
m+1
∴(m+1) 2x=(m+1)(m−1)，
m−1 m+1−2 2
解得：x= = =1− ，
m+1 m+1 m+1
∵方程有整数解，
∴整数m+1=±1,±2，即m=0,−2,1,−3，
又m≠0，k≠1，
∴m+1≠m2+1
∴m=−2,−3．
【变式10-3】20-21八年级·湖南长沙·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数
为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式
2x −2 2x ( −2 ) 2x+2 2(x+1)
A= ，B= ，A−B= − = = =2，则A是B的“雅中式”，A关于B
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
的“雅中值”为2．
1 x2+5x+6
(1)已知分式C= ，D= 判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证
x+2 x2+4x+4
明并求出C关于D的“雅中值”；
E 2x
(2)已知分式P= ，Q= ，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且
9−x2 3−x
“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(x−b)(x−c) (x−a)(x−5)
(3)已知分式M= ，N= （a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关
x x
于N的“雅中值”是1，求a−b+c的值．
【答案】(1)C不是D的“雅中式”，理由(2)E=18+6x，27
(3)16或8或−4或4.
【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应
用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
（1）先化简D，再计算C−D，再根据“雅中值”的定义可得答案；
E 2x
（2）由定义可得： − =2,整理可得：E的表达式，再化简P， 根据x为整数，且“雅中式”
9−x2 3−x
P的值也为整数，得到：3−x是6的因数，从而可得答案；
(x−b)(x−c) (x−a)(x−5)
（3）由定义可得： − =1，整理可得：(−b−c+a+4)x+bc−5a=0,从而
x x
{−b−c+a+4=0)
可得： ，再消去a，结合因式分解可得b(c−5)−5(c−5)=5,结合a、b、c为整数，分
bc−5a=0
类讨论后可得答案．
【详解】（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下：
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+3 1
∵ D= = = , C=
x2+4x+4 (x+2) 2 x+2 x+2
1 x+3 x+2
∴C−D= − =− =−1,
x+2 x+2 x+2
∴ C不是D的“雅中式”．
（2）解：∵ P关于Q的“雅中值”是2，
∴P−Q=2，
E 2x
∴ − =2，
9−x2 3−x
∴E−2x(3+x)=2(9−x2)，
∴E=18−2x2+6x+2x2=18+6x
18+6x 6(3+x) 6
∴P= = = ，
9−x2 (3+x)(3−x) 3−x
∵ x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3−x是6的因数，
∴3−x可能是：±1，±2，±3，±6，
∴x的值为：−3，0，1，2，4，5，6，9.∵x≠±3,
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9.
∴0+1+2+4+5+6+9=27.
（3）解：∵ M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M−N=1，
(x−b)(x−c) (x−a)(x−5)
∴ − =1，
x x
整理得：(−b−c+a+4)x+bc−5a=0,
由上式恒成立：
{−b−c+a+4=0)
∴
bc−5a=0
消去a可得：bc−5b−5c+20=0,
∴bc−5b−5c+25=5,
∴b(c−5)−5(c−5)=5,
∴(b−5)(c−5)=5,
∵ a、b、c为整数
∴b−5,c−5为整数，
当b−5=1,c−5=5时，
∴b=6,c=10,
此时：a=12,
∴ a−b+c=12−6+10=16,
当b−5=5,c−5=1时，
∴b=10,c=6,
此时：a=12,
∴ a−b+c=12−10+6=8,
当b−5=−1,c−5=−5时，
∴b=4,c=0,
此时：a=0,
∴ a−b+c=0−4+0=−4,
当b−5=−5,c−5=−1时，
∴b=0,c=4,
此时：a=0,∴ a−b+c=0−0+4=4,
综上：a−b+c的值为：16或8或−4或4.
【题型11 分式方程的规律探究】
1 2 1 3
【例11】（23-24八年级·重庆南岸·期中）观察下列方程：（1） = ；（2） = ；（3）
x x+2 x x+3
1 4 1 5
= ；（4） = ；…根据以上规律，第n个方程以及它的解是（ ）．
x x+4 x x+5
1 n n 1 n+1 n+1
A． = ，x= B． = ，x=
x x+n n−1 x x+n+1 n
1 n n−1 1 n+1 n
C． = ，x= D． = ，x=
x x+n n x x+n+1 n+1
【答案】B
【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第n个方程再求该方程的解．
1 1+1 1 2+1 1 3+1
【详解】解：（1）可化为 = ；（2）可化为 = ；（3）可化为 = …；
x x+1+1 x x+2+1 x x+3+1
1 n+1
经观察，第n个方程为： = ．
x x+n+1
将方程两边同乘以x(x+n+1)，得
x+n+1=(n+1)x，即nx=n+1．
由题意知n≠0
n+1
∴x=
n
n+1
经检验x= 是原方程的解，
n
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第n个
方程，最后求解．
【变式11-1】（23-24八年级·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规
律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a ，第2幅图中“ ”的个数为a ，第3幅图中“ ”
1 2
2 2 2 2 n
的个数为a ，以此类推，若 + + +⋯+ = ．（n为正整数），则n的值为 ．
3 a a a a 2024
1 2 3 n【答案】4047
【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出a =n(n+1)，代入到方程中，再利用所得规律
n
化简即可．
【详解】解：由图形知a =1×2，a =2×3，a =3×4，a =4×5，
1 2 3 4
∴a =n(n+1)，
n
2 2 2 2 n 2 2 2 2 n
∴ + + +⋯+ = 可化为： + + +⋅⋅⋅+ = ，
a a a a 2024 1×2 2×3 3×4 n(n+1) 2024
1 2 3 n
( 1 1 1 1 1 1 1 ) n
∴ 2× 1− + − + − +⋅⋅⋅+ − − ，
2 2 3 3 4 n n+1 2024
n n
∴ 2× = ，
n+1 2024
解得：n=4047或0（不合题意，舍去），
故答案为：4047．
【变式11-2】（23-24八年级·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：
x x−1
+ =1的解是x=2；
4 2
x x−2
+ =1的解是x=3；
6 2
x x−3
+ =1的解是x=4；
8 2
……
根据观察得到的规律，写出其中解是x=2024的方程： ．
x x−2023
【答案】 + =1
4048 2
【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子
是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，可得答案．
【详解】解：由一列方程如下排列：
x x−1
+ =1的解是x=2，
4 2x x−2
+ =1的解是x=3，
6 2
x x−3
+ =1的解是x=4，
8 2
得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，
x x−2023
解是x=2024的方程： + =1，
4048 2
x x−2023
故答案为： + =1．
4048 2
1 1
【变式11-3】（23-24八年级·河北·期末）已知a =x+1（x≠0，且x≠−1），a = ，a = ，…，
1 2 1−a 3 1−a
1 2
1
a = ．
n 1−a
n−1
（1）根据上述规律，可得a = （用含字母x的代数式表示）；
2
（2）当x=1时，a = ；
2013
（3）若a 的值为5，则x的值为 ．
2022
1 1 5
【答案】 − −
x 2 4
【分析】（1）把a 代入a 中即可求得；
1 2
（2）再求出a ，a ，a ，a ，a ，则可得出规律，即可求得a ，从而求得当x=1时的值；
3 4 5 6 7 2013
（3）由（2）的结论，当a 的值为5时，得关于x的方程，解方程则可求得x的值．
2022
1 1 1
【详解】（1）把a =x+1代入a = 中，得a = =− ，
1 2 1−a 2 1−(x+1) x
1
1
故答案为：− ；
x
1 x
1 a = = x 1 1
（2）当a =− 时， 3 1 x+1；当a = 时，a =x+1；当a =x+1时， a = =− ，
2 x 1+ 3 x+1 4 4 5 1−(x+1) x
x
1 x
1 a = = x
当a =− 时， 6 1 x+1；当a = 时，a =x+1；…，由此可得：每三次一循环，而
5 x 1+ 6 x+1 7
x
x
2013÷3=671，即a = ，
2013 x+11 1
当x=1时，a = = ；
2013 1+1 2
1
故答案为： ；
2
x 5
（3）2022÷3=674，则a = =5，解得x=− ；
2022 x+1 4
5
故答案为：− ．
4
【点睛】本题是分式的规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一
般规律．
【题型12 分式方程的阅读材料题】
【例12】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：
1 1 1
方程x+ =2+ 有两个解，它们是x =2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
关于x的方程：x+ =c+ 上有两个解，它们是x =c，x = ；
x c 1 2 c
1 1 −1 −1 1
x− =c− （即x+ =c+ ）的解是x =c，x =− ；
x c x c 1 2 c
2 2 2
x+ =c+ 的解是x =c，x = ；
x c 1 2 c
3 3 3
x+ =c+ 的解是x =c，x = ；
x c 1 2 c
…
m m
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+ =c+ (m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？
x c
并利用“方程的解”的概念进行验证．
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数
2 2
换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+ =a+ ．
x−1 a−1
【答案】(1)见解析
a+1
(2)x =a，x = ．
1 2 a−1m m m
【分析】（1）找到规律：x+ =c+ (m≠0)的解为x =c，x = ，据规律解题即可．
x c 1 2 c
（2）根据例题解方程即可求解．
m m m
【详解】（1）猜想x+ =c+ (m≠0)的解是x =c，x = ．
x c 1 2 c
m m
验证：当x=c时，方程左边=c+ ，方程右边=c+ ，
c c
∴方程成立；
m m m
当x= 时，方程左边= +c，方程右边=c+ ，
c c c
∴方程成立；
m m m
∴x+ =c+ (m≠0)的解是x =c，x = ；
x c 1 2 c
2 2 2 2
（2）由x+ =a+ 得x−1+ =a−1+ ，
x−1 a−1 x−1 a−1
2
∴x−1=a−1，x−1= ，
a−1
a+1
∴x =a，x = ．
1 2 a−1
【点睛】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认
真审题，寻找规律.
【变式12-1】（23-24八年级·广东广州·期末）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如
25+41=52+14=77，所以25与41、52与14都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断43与67是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另
一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并证明
“臻美数对”的两数和是11的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为 ( x2+ 1 +1 ) ，个位数字为 ( 2x2+ 3 +3 ) ；另一个两位数，十位数字为
x x( 2x2+ 2 +5 ) ，个位数字为 ( x2+ 1 +2 ) ，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
x x
【答案】(1)是，理由见详解
(2)a−b+c−d=0，理由见详解；证明见详解
(3)38,94
【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键．
（1）根据“臻美数对”的定义即可求解；
（2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解；
（3）由（2）的结合分式的加减即可求解．
【详解】（1）解：将43与67各自的十位数字和个位数字交换位置可得：34,76，
∵43+67=34+76=110，
∴ 43与67是“臻美数对；
（2）a−b+c−d=0，理由如下：
由题意得：
10a+b+10c+d=10b+a+10d+c，
移项合并同类项可得：
9a−9b+9c−9d=0，
左右两边同时除以9可得：
a−b+c−d=0；
两“臻美数对”的和为：10a+b+10c+d+10b+a+10d+c=11(a+b+c+d)
∴两“臻美数对”的和是11的倍数；
（3）∵这两个数为“臻美数对”，
∴ ( x2+ 1 +1 ) − ( 2x2+ 3 +3 ) + ( 2x2+ 2 +5 ) − ( x2+ 1 +2 ) =0
x x x x
3 2
即− + +1−3+5−2=0
x x
解得：x=1，
∵ ( x2+ 1 +1 ) =12+1+1=3， ( 2x2+ 3 +3 ) =2×1+3+3=8；
x x
( 2x2+ 2 +5 ) =2×12+2+5=9， ( x2+ 1 +2 ) =12+1+2=4，
x x
∴这两个数分别为：38,94．1 1
【变式12-2】（23-24八年级·湖南邵阳·阶段练习）阅读下列材料，关于x的方程：x+ =c+ 的解是x＝
x c 1
1 1 1 −1 −1 1 2 2
c，x＝ ；x− =c− （即x+ =c+ ）的解是x＝c，x＝− ；x+ =c+ 的解是：x＝c，x＝
2 c x c x c 1 2 c x c 1 2
2
，…
c
m m
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+ =c+ （m≠0）的解，并利用“方程的
x c
解”的概念进行验证；
2 2
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+ =a+ 的解吗？若能，请求
x−1 a−1
出此方程的解；若不能，请说明理由．
1 1 1 1
（3）已知：a− =b− −2，且a−b+2≠0，求 − 的值．
a+1 b−1 a b
m a+1
【答案】（1）x =c，x = ，验证见解析；（2）x =a，x = ；（3）−1
1 2 c 1 2 a−1
【分析】（1）根据材料总结即可得出方程的解，然后代入验证即可；
（2）通过配凑的方法构造出与材料中的方程相同的形式，然后结合（1）的思路求解即可；
（3）同样运用配凑的方法进行变形，从而求出a与b之间的关系式，结合已知条件判断符合题意的情况，
再变形求解即可．
m
【详解】（1）观察发现，x =c，x = ，
1 2 c
m m
将x =c代入x+ =c+ 得：
1 x c
m
左边=c+ =右边，
c
m m m
将x = 代入x+ =c+ 得：
2 c x c
m
左边= +c=右边，
c
m m m
∴x =c，x = ，是方程x+ =c+ 的解；
1 2 c x c
a+1
（2）能，x =a，x = ，解法如下：
1 2 a−12 2
对于方程，x+ =a+ ，
x−1 a−1
2 2
左右同时减1变形为，(x−1)+ =(a−1)+ ，
x−1 a−1
2
根据（1）的结论可得，x−1=a−1或x−1= ，
a−1
a+1
∴x =a，x = ；
1 2 a−1
1 1
（3）对于方程a− =b− −2，
a+1 b−1
1 1
左右同时加1变形为，(a+1)− =(b−1)− ，
a+1 b−1
1
∴a+1=b−1或a+1=− ，
b−1
∵a−b+2≠0，
1
∴只有a+1=− 成立，
b−1
对上式整理得：(a+1)(b−1)=−1，
即：ab+b−a=0，
1 1
∴左右同时除以ab得：1+ − =0，
a b
1 1
∴ − =−1．
a b
【点睛】本题考查与分式方程相关的探究问题，首先要理解材料中的信息，总结出一般规律，然后熟练运
用整体思想求解是解题关键．
【变式12-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式
(x−a)(x−b)
的值为零，则解得x =a，x =b．又因为
x 1 2
(x−a)(x−b) x2−(a+b)x+ab ab ab
= =x+ −(a+b)，所以关于x的方程x+ =a+b的解为x =a，x =b．
x x x x 1 2
x2+2 2
(1)理解应用：方程 =3+ 的解为：x = ______，x = _______；
x 3 1 2
2
(2)知识迁移：若关于x的方程x+ =5的解为x =a，x =b，求a2+b2的值；
x 1 2k x −k
(3)拓展提升：若关于x的方程x+ =k+2的解为x ，x ，(k>2，x >x )求 1 的值．
x−1 1 2 1 2 x
2
2
【答案】(1)3，
3
(2)21
1
(3)
2
【分析】本题主要考查了分式方程的解、完全平方公式、代数式求值等知识点，理解阅读材料的方法是解
题的关键．
（1）根据材料所给的结论解答即可；
（2）由题意可得a+b=5，ab=2，再由完全平方公式可得a2+b2=(a+b) 2−2ab，然后代入计算即可；
k k k
（3）由x+ =k+2可得(x−1)+ =k+1,令y=x−1，则y+ =k+1，
x−1 x−1 y
进而得到y =k，y =1，即x =k+1，x =2，然后验证其符合题意，最后代入计算即可．
1 2 1 2
ab
【详解】（1）解：∵关于x的方程x+ =a+b的解为x =a，x =b，
x 1 2
x2+2 2 2 2 2
∴ =3+ ，即x+ =3+ 的解为：x =3，x = ．
x 3 x 3 1 2 3
2
故答案为：3, ．
3
2
（2）解：∵x+ =5，
x
∴a+b=5，ab=2，
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×2=21．
k
（3）解：∵x+ =k+2，
x−1
k
∴(x−1)+ =k+1，
x−1
k
令y=x−1，则y+ =k+1，
y
ab
∵关于x的方程x+ =a+b的解为x =a，x =b，
x 1 2k
∴方程y+ =k+1的解为：y =k，y =1，即x −1=k，x −1=1，
y 1 2 1 2
∴x =k+1，x =2，
1 2
∵k>2，x >x ，
1 2
∴x =k+1，x =2符合题意，
1 2
x −k k+1−k 1
∴ 1 = = ．
x 2 2
2
