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专题 15.8 分式方程的解法两大题型（40 题）
【人教版】
【基础篇】
【题型1 分式方程的一般解法】
1．（23-24八年级·全国·期末）解分式方程：
x 3
(1) −1= ；
x−1 (x−1)(x+2)
x−2 4
(2)
+ =1．
x+2 x2−4
【答案】(1)原方程无解
(2)x=3
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
x 3
【详解】（1）解： −1=
x−1 (x−1)(x+2)
方程两边同时乘以(x−1)(x+2)得：x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，整理得：2x−x+2=3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0，
则x=1是增根，
∴原方程无解；
x−2 4
（2）解： + =1，
x+2 x2−4
方程两边同时乘以(x+2)(x−2)得：(x−2) 2+4=x2−4，整理得：−4x+4+4=−4，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x+2)(x−2)≠0，
∴原方程的解为x=3．
2．（23-24八年级·湖南岳阳·期中）解方程：x−3 3
(1) +1= ；
x−2 2−x
1 2 4
(2) − = ．
x−1 x+1 x2−1
【答案】(1)x=1；
(2)分式方程无解．
【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键．
（1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
x−3 3
【详解】（1）解： +1= ，
x−2 2−x
∴x−3+x−2=−3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−2≠0，
∴x=1是原分式方程的解．
1 2 4
（2）解： − = ，
x−1 x+1 x2−1
∴x+1−2(x−1)=4，
解得：x=−1，
经检验，x=−1增根，
∴原方程无解．
3．（24-25八年级·全国·期末）解分式方程：
4 6
(1) = ；
x x+2
3−2x x
(2) = −2；
x−2 2−x
7 6 3
(3) − =
x2+x x2−1 x−x2
【答案】(1)x=4
(2)x=1
(3)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验．
（1）先去分母变分式方程为整式方程4(x+2)=6x，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程3−2x=−x−2(x−2)，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验
即可；
（3）先去分母变分式方程为整式方程7(x−1)−6x=−3(x+1)，然后解整式方程，最后对方程的解进行
检验即可．
4 6
【详解】（1）解： = ，
x x+2
去分母得：4(x+2)=6x，
去括号得：4x+8=6x，
移项合并同类项得：−2x=−8，
系数化为1得：x=4，
检验：把x=4代入x(x+2)得：4×(4+2)=24≠0，
∴x=4是原方程的解；
3−2x x
（2）解： = −2，
x−2 2−x
去分母得：3−2x=−x−2(x−2)，
去括号得：3−2x=−x−2x+4，
移项合并同类项得：x=1，
检验：把x=1代入x−2得：1−2=−1≠0，
∴x=1是原方程的解；
7 6 3
（3）解： − = ，
x2+x x2−1 x−x2
去分母得：7(x−1)−6x=−3(x+1)，
去括号得：7x−7−6x=−3x−3，
移项合并同类项得：4x=4，
系数化为1得：x=1，
检验：把x=1代入x(x+1)(x−1)得：1×(1+1)×(1−1)=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
4．（23-24八年级·江苏·阶段练习）解下列方程：
x 2
(1)
+ =1；
x+3 x
2 x 1
(2) + = ．
3 3x−1 9x−3【答案】(1)x=6；
(2)无解．
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握“去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，再检
验”是解本题的关键．
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程即可；
x 2
【详解】（1）解： + =1
x+3 x
两边都乘以x(x+3)得：
x2+2(x+3)=x2+3x
解得：x=6,
经检验：x=6是原方程的解，
∴方程的解为：x=6
2 x 1
（2）解： + =
3 3x−1 9x−3
去分母得：2(3x−1)+3x=1，
整理得：9x=3
1
解得：x= ,
3
1
经检验：x= 是增根，
3
∴原方程无解．
5．（23-24八年级·辽宁大连·期末）解下列方程：
1 2
=
(1)
2x x+3
5 1
(2) − =0
x2+x x2−x
【答案】(1)x=1
3
(2)x=
2
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
对于（1），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到x的值，代入最简公分母检验即可；对于（2），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到x的值，代入最简公分母检验即可．
【详解】（1）解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
当x=1时，2x(x+3)≠0，
∴x=1是分式方程的解；
（2）解：去分母得：5(x−1)−(x+1)=0，
去括号，得：5x−5−x−1=0，
移项，合并同类项，得4x=6
3
解得： x= ，
2
3
当x= 时，x(x−1)(x+1)≠0，
2
3
∴x= 是原方程的解．
2
6．（23-24八年级·山东淄博·期末）解方程：
1 2x
(1)
+1=
x−2 2x+1
7 3 4
+ =
(2)
x2+x x2−x x2−1
1
【答案】(1)x=
3
2
(2)x=
3
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键．
（1）先把分式方程两边同乘(x−2)(2x+1)化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）先把分式方程两边同乘x(x+1)(x−1)化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘(x−2)(2x+1)得：
(2x+1)+(x−2)(2x+1)=2x(x−2)，
1
解得x= .
3
1
检验：当x= 时，(x−2)(2x+1)≠0.
3
1
所以原分式方程的解为x= ；
3（2）解：方程两边同乘x(x+1)(x−1)得：
7(x−1)+3(x+1)=4x，
去括号得7x−7+3x+3=4x，
整理得6x=4,
2
解得x= ，
3
2
经检验，x= 是原方程的解.
3
2
所以原分式方程的解是x= .
3
7．（23-24八年级·重庆·期末）解方程：
x 2 2
(1) + =
x−1 3x−3 3
7 3 6
+ =
(2)
x2+x x2−x x2−1
【答案】(1)x=−4
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
x 2 2
【详解】（1）解：∵ + =
x−1 3x−3 3
去分母，得
3x+2=2(x−1)，
去括号，得
3x+2=2x−2，
移项，得
3x−2x=−2−2，
合并同类项，系数化为1，得x=−4，
经检验，x=−4是原方程的根，
故x=−4是原方程的根．
7 3 6
（2）∵ + = ，
x2+x x2−x x2−17 3 6
+ =
即 ，
x(x+1) x(x−1) (x−1)(x+1)
去分母，得
7(x−1)+3(x+1)=6x，
去括号，得
7x−7+3x+3=6x，
移项、合并同类项，得
4x=4，
系数化为1，得x=1
经检验，x=1是原方程的增根，
故原方程无解．
8．（23-24八年级·山东泰安·期末）分式方程：
4 x
(1)
+ =1；
x2−2x x−2
7 1 6
(2) + = ；
x2+x x2−x x2−1
x−5 1
(3) +2= ；
x−4 4−x
x 4
(4) − =1．
x+1 x2−1
【答案】(1)x=−2；
(2)x=3；
(3)无解；
(4)x=−3．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤解答即可求解；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可求解；
（3）根据解分式方程的步骤解答即可求解；
（4）根据解分式方程的步骤解答即可求解；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以x2−2x得，4+x2=x2−2x，
解得x=−2，
检验：x=−2代入x2−2x中得，x2−2x=4+4=8≠0，
∴x=−2是原方程的解；7 1 6
（2）解：方程变形得， + = ，
x(x+1) x(x−1) (x+1)(x−1)
方程两边同时乘以x(x+1)(x−1)得，7(x−1)+x+1=6x，
解得x=3，
检验：把x=3代入x(x+1)(x−1)中得，x(x+1)(x−1)=24≠0，
∴x=3是原方程的解；
（3）解：方程两边同时乘以x−4得，x−5+2(x−4)=−1，
解得x=4，
检验：把x=4代入x−4中得，x−4=0，
∴x=4不是原方程的解，
∴原方程无解；
（4）解：方程两边同时乘以x2−1得，x(x−1)−4=x2−1，
解得x=−3，
检验：把x=−3代入x2−1中得，x2−1=9−1=8≠0，
∴x=−3是原方程的解．
9．（23-24八年级·安徽合肥·期末）解分式方程：
1−x 3x−4
(1) −1= ；
2−x x−2
x+2 2 2
+ =
(2)
x2−9 x+3 3−x
5
【答案】(1)x=
3
2
(2)x=−
5
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
1−x 3x−4
【详解】（1）解：∵ −1= ,
2−x x−2
去分母，得
−(1−x)−(x−2)=3x−4，
去括号，得
x−1−x+2=3x−4，移项，得
4−1+2=3x+x−x，
合并同类项，得3x=5，
5
系数化为1，得x= ，
3
5
经检验，x= 是原方程的根，
3
5
故x= 是原方程的根．
3
x+2 2 2
（2）∵ + = ，
x2−9 x+3 3−x
x+2 2 2
即
+ =−
，
(x−3)(x+3) x+3 x−3
去分母，得
x+2+2(x−3)=−2(x+3)，
去括号，得
x+2+2x−6=−2x−6，
移项、合并同类项，得
5x=−2，
2
系数化为1，得x=−
5
2
经检验，x=− 是原方程的根，
5
2
故原方程的根为x=− ．
5
10．（23-24八年级·山东日照·期末）解分式方程
1 1 1
(1) = + ；
4x−2 4 2x−1
x−2 1
(2) =2− ．
x−3 3−x
1
【答案】(1)x=−
2
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解分式方程即可．
（1）按照解分式方程的步骤解分式方程即可．（2）按照解分式方程的步骤解分式方程即可．
1 1 1
【详解】（1）解： = +
4x−2 4 2x−1
分式两边同时乘以4(2x−1)得：2=2x−1+4，
移项：2x=2−3，
1
化系数为1：x=− ．
2
1
经检验，x=− 是原分式方程的解，
2
1
故原分式方程的解为：x=− ．
2
x−2 1
（2） =2−
x−3 3−x
分式两边同时乘以x−3，得：x−2=2(x−3)+1，
去括号得：x−2=2x−6+1，
移项得：x−2x=2−6+1，
合并同类项得：−x=−3，
化系数为1：x=3，
经检验，x=3是分式方程的增根，
原分式方程无解．
∴11．（23-24八年级·湖南湘西·期末）解分式方程：
2x 1
(1) − =0；
x2−4 x+2
3 x+3 1
(2) − =− ．
x2−6x+9 x2−3x x
【答案】(1)原方程无解
(2)x=6是原方程的解
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是
不是分式方程的解；
（2）先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验整式方程的解是
不是分式方程的解．2x 1
【详解】（1）解： − =0，
(x+2)(x−2) x+2
去分母得2x−(x−2)=0，
解得：x=−2，
检验当x=−2时，(x+2)(x−2)=0，
所以x=−2不是原方程的解．
3 x+3 1
（2）解： − =− ，
(x−3) 2 x(x−3) x
去分母得：3x−x2+9=−(x−3) 2，
3x=18，
解得：x=6，
检验当x=6时，x(x−3) 2=6×9=54≠0，
所以x=6是原方程的解．
12．（23-24八年级·山东东营·期末）解方程
2 3
(1) = ；
x x−1
2 x
(2) − =1．
x2−4 2−x
【答案】(1)x=−2
(2)x=−3
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即
可解题；
（2）解题方法与（1）类似．
2 3
【详解】（1）解： =
x x−1
方程两边同乘x(x−1)，得
2(x−1)=3x，
解得：x=−2，
检验：x=−2时，x(x−1)≠0，
∴x=−2是该分式方程的解；2 x
（2）解： − =1
x2−4 2−x
方程两边同乘(x+2)(x−2)，得
2+x(x+2)=x2−4
解得：x=−3，
检验：x=−3时，(x+2)(x−2)≠0，
∴x=−3是该分式方程的解．
13．（23-24八年级·贵州黔东南·期末）解分式方程：
x−2 16
(1) −1= ；
x+2 x2−4
2x 1
(2) = +1．
x+3 x+3
【答案】(1)原方程无解
(2)x=4
【分析】本题考查解分式方程，
（1）根据解分式方程的方法求解即可；
（2）根据解分式方程的方法求解即可．
x−2 16
【详解】（1）解： −1= ，
x+2 x2−4
去分母得，(x−2) 2−(x2−4)=16，
去括号得，x2−4x+4−x2+4=16，
移项、合并同类项得，−4x=8，
化系数为1得，x=−2，
把x=−2代入x2−4= (−2) 2−4=0，是原方程增根，
∴原方程无解．
2x 1
（2）解： = +1，
x+3 x+3
去分母得，2x=1+x+3，
移项、合并同类项得，x=4，
把x=4代入x+3= 4+3=7≠0，
∴x=4是原方程的解．14．（23-24八年级·山东济南·期末）解分式方程：
2 3
(1) = ；
x−2 x+2
1 x−3
(2)2− = ．
4−x x−4
【答案】(1)x=10
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最
后要进行检验．
（1）按照解分式方程的步骤和方法计算即可；
1 x−3
（2）先将原式化为2+ = ，再按照解分式方程的步骤逐一计算即可；
x−4 x−4
2 3
【详解】（1）解： = ，
x−2 x+2
去分母得：2(x+2)=3(x−2)，
去括号得：2x+4=3x−6，
移项并合并同类项得：−x=−10，
化系数为1得：x=10，
检验：将x=10代入(x−2)(x+2)得：(10−2)×(10+2)=8×12≠0，
∴x=10是原方程的根；
1 x−3
（2）解：原式可化为：2+ = ，
x−4 x−4
去分母得：2(x−4)+1=x−3，
去括号得：2x−8+1=x−3，
移项并合并同类项得：x=4，
检验：将x=4代入(4−x)(x−4)得(4−4)×(4−4)=0，
∴x=4是原方程的增根，即原分式方程无解．
15．（23-24八年级·山东滨州·期末）解方程：
x 8
(1)
= +1；
x−2 x2−4
4−x 1
(2) = −2．
x−3 3−x
【答案】(1)方程无解(2)x=1
【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可．
x 8
【详解】（1）解： = +1
x−2 x2−4
化为整式方程得，x(x+2)=8+x2−4，
去括号得，x2+2x=x2+4，
移项、合并同类项得，2x=4，
系数化为1得，x=2，
检验：把x=2代入x2−4=4−4=0，
∴x=2是原方程的增根，原方程无解；
4−x 1
（2）解： = −2
x−3 3−x
化为整式方程得，4−x=−1−2(x−3)，
去括号得，4−x=−1−2x+6，
移项、合并同类项得，x=1，
检验：把x=1代入x−3=1−3=−2≠0，
∴x=1是原方程的解．
【题型2 换元法解分式方程】
x+1 9x
16．（23-24八年级·四川成都·期中）换元法解方程： − =0．
x x+1
1 1
【答案】原分式方程的解为x = 或x = ．
1 2 2 4
x+1 9
【详解】解：设y= ，则原方程化为：y− =0，
x y
方程两边同时乘y得：y2−9=0，
解得：y =3，y =−3．
1 2
9
经检验：y =3，y =−3都是方程y− =0的解，
1 2 y
x+1 1
当y=3时， =3，解得：x= ；
x 2
x−1 1
当y=−3时， =−3，解得：x= ．
x 41 1
经检验：x = 或x = 都是原分式方程的解．
1 2 2 4
1 1
∴原分式方程的解为x = 或x = ．
1 2 2 4
3 x+2
17．（2024八年级·江苏·专题练习）述换元法解方程：1− − =0．
x+2 x−1
1
【答案】x=−
2
【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
x−1 1
利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然
x+2 y
后求解x的值即可．
x−1 x+2
【详解】原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ，则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘y得：y2−1=0，
解得：y=±1，
1
经检验：y=±1都是方程y− =0的解．
y
x−1
当y=1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得：x=− ；
x+2 2
1
经检验：x=− 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x=− ．
2
x−1 3
18．（23-24八年级·重庆黔江·阶段练习）换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
1
【答案】)x=−
2
【分析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题的关键；
x−1 x+2
根据分式的加减法，可得 − =0，再根据换元法求解即可；
x+2 x−1x−1 x+2
【详解】原方程化为： − =0，
x+2 x−1
x−1 1
设y= ， 则原方程化为：y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘以y得：y2−1=0，解得：y=±1，
1
经检验：y=±1都是方程y− =0的解，
y
x−1
∴当y=1时， =1，该方程无解，
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得x=− ，
x+2 2
1
经检验：x=− 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解x=− ．
2
x−1 27
19．（23-24八年级·山西晋城·阶段练习）换元法解方程： − −9=0．
x+2 x−1
7 5
【答案】x=− 或x=−
2 4
x−1 9(x+2)
【分析】先把方程变形为 − =0，再用换元法求解即可．
x+2 x−1
x−1 27 x−1 27 x−1 9(x+2)
【详解】解：∵ − −9= −( +9)= − ，
x+2 x−1 x+2 x−1 x+2 x−1
x−1 9(x+2)
∴原方程为 − =0。
x+2 x−1
x−1 9
设y= ，原方程可化为y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘以y，得y 2−9=0，
❑
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
x−1 7
当y=3时，有 =3，解得：x=− ，
x+2 2
x−1 5
当y=−3时，有 =−3，解得：x=− ，
x+2 4
7 5
经检验：x=− 或x=− 都是原分式方程的解，
2 47 5
∴原分式方程的解为x=− 或x=− ．
2 4
【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
x+1 2x−1
20．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）换元法解： − =0．
2x−1 x+1
【答案】答案见解析．
x+1 1
【分析】设y= ，原方程化为y− =0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．
2x−1 y
x+1 1
【详解】解：设y= ，则原方程化为y− =0．
2x−1 y
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
1
经检验：y=±1都是y− =0的解．
y
当y=1时，
x+1
=1，
2x−1
解得x=2．
当y=−1时，
x+1
=−1，
2x−1
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
x−1 27
21．（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程： − −9=0．
x+2 x−1
7 5
【答案】x=− 或x=−
2 4
x−1 9(x+2)
【分析】本题考查了用换元法解分式方程， 先把方程变形为 − =0，再用换元法和平方根的
x+2 x−1
意义求解即可．解题的关键是正确使用换元法．
x−1 27 x−1 ( 27 ) x−1 9(x+2)
【详解】解：∵ − −9= − +9 = − ，
x+2 x−1 x+2 x−1 x+2 x−1x−1 9(x+2)
∴原方程为 − =0
x+2 x−1
x−1 9
设y= ，原方程可化为y− =0，
x+2 y
方程两边同时乘以y，得y 2−9=0，
❑
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
x−1 7
当y=3时，有 =3，解得：x=− ，
x+2 2
x−1 5
当y=−3时，有 =−3，解得：x=− ，
x+2 4
7 5
经检验：x=− 或x=− 都是原分式方程的解，
2 4
7 5
∴原分式方程的解为x=− 或x=− ．
2 4
x−1 3
22．（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−1
1
【答案】x=−
2
x−1 1
【分析】本题考查了分式方程的解法．利用换元法解分式方程，设y= ，将原方程化为y− =0，求
x+2 y
出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
x−1 x+2 x−1 1
【详解】解：原方程可化为 − =0，设y= ，则原方程可化为y− =0，
x+2 x−1 x+2 y
方程两边同时乘y，得y2−1=0，
解得y =1，y =−1，
1 2
1
经检验，y =1，y =−1都是方程y− =0的解；
1 2 y
x−1
当y=1时， =1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y=−1时， =−1，解得x=− ，
x+2 2
1
经检验，x=− 是原分式方程的解，
2
1
所以原分式方程的解为x=− ．
2【拓展篇】
1 1 1 1 1
23．（2024八年级·全国·专题练习）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
4
【答案】x=
5
【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解
分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的
关键在于充分利用运算规律计算．
1 1 1 1 1
【详解】解： + + + =
3x 15x 35x 63x x+1
1 (1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 3 15 35 63 x+1
1 ( 1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 1×3 3×5 5×7 7×9 x+1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1) 1
1− + − + − + − = ，
2x 3 3 5 5 7 7 9 x+1
1 ( 1) 1
1− = ，
2x 9 x+1
1 8 1
⋅ = ，
2x 9 x+1
4 1
= ，
9x x+1
9x=4x+4，
5x=4，
4
x= ，
5
4
检验：x= 是原分式方程的解，
5
4
∴原方程的解为x= ．
5
24．（24-25八年级·山东青岛·期中）解分式方程
3 1
(1) = ；
x2+3x x2−9
8 x
(2) +1= ．
x2−4 x−29
【答案】(1)x= ；
2
(2)原方程无解．
【分析】本题主要考查了解分式方程.
（1）先用平方差公式将原方程变形，然后方程两边同乘x(x+3)(x−3)，化成关于x的整式方程，求解并
检验即可.
（2）先用平方差公式将原方程变形，然后方程两边同乘(x+2)(x−2)，化成关于x的整式方程，求解并
检验即可.
3 1
【详解】（1）解：原方程可化为 =
x(x+3) (x+3)(x−3)
方程两边同乘x(x+3)(x−3)，得3(x−3)=x，
9
所以x= ；
2
9
检验：当x= 时，x(x+3)(x−3)≠0，
2
9
所以x= 是原方程的根．
2
8 x
（2）解：原方程可化为 +1=
(x+2)(x−2) x−2
方程两边同乘(x+2)(x−2)，得
8+x2−4=x(x+2)，
所以x=2；
检验：当x=2时，(x+2)(x−2)=0，
所以x=2是原方程的增根，
∴原方程无解.
25．（24-25八年级·山东淄博·期中）解方程：
1 1 2
(1) = +
6x−2 2 1−3x
x 3
(2)
−1=
x−1 (x−1)(x+2)
【答案】(1)x=2
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
1 1 2
【详解】（1）解： = + ，
6x−2 2 1−3x
1 1 2
= +
，
2(3x−1) 2 1−3x
1=3x−1−4，
3x=6，
x=2，
检验，当x=2时，2(3x−1)=2(3×2−1)=10≠0，
所以该分式方程的解为：x=2；
x 3
（2）解： −1= ，
x−1 (x−1)(x+2)
x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，
x2+2x−x2−x+2=3
x=1，
检验，当x=1时，(x−1)(x+2)=(1−1)(1+2)=0，
所以该分式方程无解
26．（24-25八年级·上海·期中）解方程：
x 4
(1)
= +1；
x−2 x(x−2)
6 3 5
(2) = + ．
x2−25 x2+8x+15 x2−2x−15
【答案】(1)无解
(2)x=4
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）方程两边同乘最简公分母x(x−2)，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可；
（2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化
为整式方程，求解后检验即可．
x 4
【详解】（1）解： = +1
x−2 x(x−2)
方程两边同乘x(x−2)，得x2=4+x(x−2)，化简，得−2x+4=0，
解得x=2，
检验：当x=2时，x(x−2)=0，
∴x=2不是原分式方程的解，原分式方程无解．
6 3 5
（2）解： = +
x2−25 x2+8x+15 x2−2x−15
6 3 5
= +
方程可化为 ，
(x+5)(x−5) (x+5)(x+3) (x−5)(x+3)
方程两边同乘(x−5)(x+5)(x+3)，得6(x+3)=3(x−5)+5(x+5)，
化简，得2x−8=0，
解得x=4，
检验：当x=4时，(x−5)(x+5)(x+3)≠0，
∴x=4是原分式方程的解．
27．（24-25八年级·吉林长春·期中）解下列分式方程：
1 5
(1) = ；
x−1 x
1 1−x
(2) +3= ．
x−2 2−x
5
【答案】(1)x=
4
(2)原方程无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤，注意对所得的解进行检验是解题的
关键．
（1）在方程两边同乘以x(x−1)，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解；
（2）在方程两边同乘以(x−2)，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解；
【详解】（1）解：方程两边同乘以x(x−1)，
得：x=5(x−1)，
5
解得：x= ，
4
5 5 (5 )
检验：当x= 时， × −1 ≠0，
4 4 4
5
∴原方程的解是x= ；
4
（2）方程两边同乘以(x−2)，得：1+3(x−2)=−(1−x)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，2−2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
28．（24-25八年级·山东威海·期中）解方程
x+1 3 4
(1) = − ；
4x2−1 2x+1 4x−2
1 2 12
(2) − = ．
x+3 3−x x2−9
【答案】(1)x=6
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得：2(x+1)=6(2x−1)−4(2x+1)，
去括号得：2x+2=12x−6−8x−4，
移项、合并同类项得：−2x=−12，
解得：x=6，
检验：把x=6代入得：2(2x+1)(2x−1)≠0，
所以x=6是分式方程的解；
1 2 12
（2）解： − = ，
x+3 3−x x2−9
去分母得：x−3+2(x+3)=12，
去括号得：x−3+2x+6=12，
移项，合并同类项得：3x=9，
系数化为1得：x=3，
经检验：x=3不是原方程的解，
∴原分式方程无解．
29．（24-25八年级·湖南岳阳·期中）解下列方程：
5 1
(1) = ；
x−1 x+32x+2 x+2 x2−2
(2) − = ．
x x−2 x2−2x
【答案】(1)x=−4
1
(2)x=−
2
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）分式方程两边乘以(x−1)(x+3)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解；
（2）分式方程两边乘以x(x−2)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
5 1
【详解】（1）解： = ，
x−1 x+3
去分母得：5x+15=x−1，
移项合并得：4x=−16，
解得：x=−4，
经检验x=−4是分式方程的解；
2x+2 x+2 x2−2
（2）解： − =
x x−2 x2−2x
两边同乘以x(x−2)得，(2x+2)(x−2)−x(x+2)=x2−2，
1
解得，x=− ，
2
1 1 ( 1 ) 5
当x=− 时，x(x−2)=− × − −2 = ≠0，
2 2 2 4
1
∴x=− 是分式方程的解．
2
30．（24-25八年级·湖南常德·期中）解分式方程：
2 x
(1) +1= ；
x+1 x−1
1 x 2
(2) − = ．
9x−3 3x−1 3
【答案】(1)x=3
(2)无解【分析】（1）按照解分式方程的步骤解答即可；
（2）按照解分式方程的步骤解答即可；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘(x−1)(x+1)得，2(x−1)+(x+1)(x−1)=x(x+1)，
解得x=3，
检验：当x=3时，(x−1)(x+1)=8≠0，
∴原分式方程的解为x=3；
（2）解：方程两边同时乘3(3x−1)得，1−3x=2(3x−1)，
1
解得x= ，
3
1
检验：当x= 时，3(3x−1)=0，
3
1
∴x= 是原分式方程的增根，
3
∴原分式方程无解．
6 1
31．（24-25八年级·广东广州·期中）解方程： + =0．
x2−9 3−x
【答案】分式方程无解．
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以(x−3)(x+3)化为一元一次方程，再解一元
一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
6 1
【详解】解：
+ =0
x2−9 3−x
6 1
− =0
(x−3)(x+3) x−3
6−(x+3)=0
解得：x=3，
当x=3时，(x−3)(x+3)=0，
∴分式方程无解．
32．（24-25八年级·山东潍坊·期中）解分式方程
x 3x
(1) = −1
x+1 2x+2
1 2 4
+ =
(2)
x+1 x−1 x2−1
【答案】(1)x=−2(2)原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
x 3x
【详解】（1）解； = −1
x+1 2x+2
去分母得：2x=3x−2(x+1)，
去括号得：2x=3x−2x−2，
移项得：2x+2x−3x=−2，
合并同类项得：x=−2，
检验，当x=−2时，x+1≠0，
∴x=−2是原方程的解；
1 2 4
（2）解： + =
x+1 x−1 x2−1
去分母得：x−1+2(x+1)=4，
去括号得：x−1+2x+2=4，
移项得：x+2x=4+1−2，
合并同类项得：3x=3，
系数化为1得：x=1，
检验，当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
2x+8 4x−3
33．（24-25八年级·北京·期中）解方程： = +1．
3x−9 x−3
【答案】x=2
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程需要
检验．
先去分母，然后去括号，在移项合并，系数化为1，验根，即可得到答案；
2x+8 4x−3
【详解】解： = +1
3x−9 x−3
2x+8=3(4x−3)+3x−9
2x+8=12x−9+3x−9−13x=−26，
x=2，
检验，当x=2时，3x−9≠0，
∴ x=2是原分式方程的解．
34．（23-24八年级·福建厦门·期中）解方程：
5 3
(1) = ；
x−1 x+1
8 x
(2) +1= ．
x2−4 x−2
【答案】(1)x=−4
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘(x+1)(x−1)，得出5(x+1)=3(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘(x+2)(x−2)得出8+(x+2)(x−2)=x(x+2)，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘(x+1)(x−1)，得
5(x+1)=3(x−1)，
解这个方程，得x=−4，
经检验，x=−4是原方程的根；
（2）解：方程两边都乘(x+2)(x−2)，得
8+(x+2)(x−2)=x(x+2)．
解这个方程，得x=2．
经检验x=2是增根，原方程无解．
35．（23-24八年级·全国·单元测试）解方程：
3x 2
(1) − =1
x−1 1−x
x 4
(2)
−1=
x−2 x2−4x+4
3
【答案】(1)x=−
2
(2)x=4
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．本题考查的知识点是解分式方程，将分式方程转化为整式方程的是解此题的关键，注意要验根．
3x 2
【详解】（1）解： − =1，
x−1 1−x
3
方程两边同时乘以x−1，得：3x+2=x−1，解得：x=− ，
2
3
检验：当x=− 时，x−1≠0，
2
3
∴x=− 是原方程的解，
2
x 4
（2）解： −1= ，
x−2 x2−4x+4
方程两边同时乘以(x−2) 2，得：x(x−2)−(x−2) 2=4，解得：x=4，
检验：当x=4时，(x−2) 2≠0，
∴x=4是原方程的解．
1 1 1 1
36．（23-24八年级·全国·期中）解方程： + +... = ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (2x−1)⋅2x 8
【答案】x=4
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
1 1 1
先去分母非常麻烦，通过观察分式特点，联想到“ = − ”， 可考虑化积为差，裂项抵消来
n(n+1) n n+1
简化运算，然后将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【详解】解:原方程变形为:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − +⋯+ − = ，
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 2x−1 2x 8
1 1 1
合并，得 − = ，
x 2x 8
去分母，得x=4
经检验，x=4是原方程的根．
37．（23-24八年级·四川资阳·期中）解方程：
1 3x
(1) −2= ；
x−1 1−x
7 3 6
(2) + = ．
x2+x x2−x x2−1【答案】(1)x=−3
(2)无解．
【分析】本题考查求解分式方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．
（1）两边同乘以最简公分母x−1，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．
（2）两边同乘以最简公分母x(x+1)(x−1)，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．
1 3x
【详解】（1）解： −2= ，
x−1 1−x
两边同乘以x−1得：
1−2(x−1)=−3x，
解得x=−3，
经检验x=−3是原方程的根；
7 3 6
（2）解： + = ，
x2+x x2−x x2−1
两边同乘以x(x−1)(x+1)得：
7x(x+1)(x−1) 3x(x+1)(x−1) 6x(x+1)(x−1)
+ = ，
x(x+1) x(x−1) (x+1)(x−1)
整理得7(x−1)+3(x+1)=6x，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的增根，所以方程无解．
38．（2024八年级·全国·专题练习）解分式方程：
1800 1400
(1) −10= ；
1.2x x
1−x 1
(2) +2= ．
x−2 2−x
【答案】(1)x=10
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，掌握等式的性质，解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．
（1）根据等式的性质将方程的两边都乘以1.2x化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；
（2）根据等式的性质将方程的两边都乘以x−2化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可．
【详解】（1）解：两边都乘以1.2x，得1800−12x=1400×1.2，
即12x=120
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，所以原方程的解为x=10；
（2）两边都乘以x−2，得1−x+2(x−2)=−1，
去括号得1−x+2x−4=−1，
移项得−x+2x=−1+4−1，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
所以原方程无解．
1 2−x
39．（23-24八年级·四川遂宁·期中）（1）解方程：2+ =
x−3 3−x
5x−4 4x−10
（2）解分式方程： = −1．
x−2 3x−6
4
【答案】（1）该分式方程无解（2）x=
7
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否
是分式方程的解即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
1 2−x
【详解】（1）解：2+ = ，
x−3 3−x
1 2−x
2+ =− ，
x−3 x−3
2(x−3)+1=x−2，
2x−6+1=x−2，
x=3，
经检验，x=3是该分式方程的增根，
故该分式方程无解；
5x−4 4x−10
（2）解： = −1，
x−2 3x−6
5x−4 4x−10
= −1，
x−2 3(x−2)
3(5x−4)=4x−10−3(x−2)，
15x−12=4x−10−3x+6，
15x−4x+3x=12−10+6，14x=8，
4
x= ，
7
4
经检验，x= 是该分式方程的解．
7
1 a2+3a+1
40．（23-24八年级·全国·课后作业）解关于x的分式方程x+ = ？
4x−6 2a
a+3 3a+1
【答案】x = ，x =
1 2 2 2a
1 1 1
【分析】将原方程变形为(2x−3)+ =a+ ，得到2x−3=a或2x−3= ，进行计算并检验即可得
2x−3 a a
到答案．
1 a2+3a+1
【详解】解：方程两边同乘以2，得2x+ = ，
2x−3 a
1 a2+3a+1
方程两边同减3，得2x−3+ = −3，
2x−3 a
1 1
即(2x−3)+ =a+ ，
2x−3 a
1
∴2x−3=a或2x−3= ，
a
a+3 3a+1
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2a
a+3 3a+1
经检验，x = ，x = 均是原分式方程的解，
1 2 2 2a
a+3 3a+1
∴原分式方程的解为：x = ，x = ．
1 2 2 2a
【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键是将变形为．
