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02 卷 第十章 计数原理、概率《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培
训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方
案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有
1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．16 C．20 D．48
3．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少
有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1
名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
5．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的
6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中
随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
6．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共
有
A．120种 B．96种 C．60种 D．48种
7．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A．360 B．288 C．216 D．96
8．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前
排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
A． B． C． D．
9．将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工
人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四
道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
11．某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出
的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取
出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
13．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
14．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是
否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A． B． C． D．
15．设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
16．已知离散型随机变量 的分布列为
则 的数学期望
A． B． C． D．
17．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽
的概率是
A． B． C． D．
18．设两个正态分布 和 的密度函数图像如图
所示．则有A．
B．
C．
D．
19．已知随机变量Z服从正态分布N（0， ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=
A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.977
20．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且 =0.6826，则p（X>4）=（
）
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585
二、多选题
21．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且
，定义X的信息熵 .
（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且，则H(X)≤H(Y)
第II卷（非选择题）
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三、填空题
22．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至
少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
23．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活
动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用
数值表示）
24．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，
则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作
答）．
25．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则
P=__________．
26．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率
为_________．
27．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设
甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲
队以4∶1获胜的概率是____________．
28．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该
毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是
否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）= ，
则随机变量X的数学期望E（X）=___________．
29．马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如表请小牛同学计算 的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模
糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 _______ ．
30．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红
球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球
的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关
31．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变
量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 等于__________（结果用最简
分数表示）.
32．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3
人被治愈的概率为_______（用数字作答）．
33．一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次， 表示抽到的二等品件数，则 ____________．
四、解答题
34．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李
老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地
发给该系 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信
息的学生人数为
（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（Ⅱ）求使 取得最大值的整数 .
35．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子
样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对
本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量
X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小
(直接写出结果)．
36．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；
若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学
比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问
题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正
确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
37．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．
除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．假设各局比
赛结果相互独立．
（Ⅰ）分别求甲队以 胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为求 或 ，则胜利方得 分，对方得 分；若比赛结果为
，则胜利方得 分、对方得 分．求乙队得分 的分布列及数学期望．
38．
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等
品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1
万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求1件产品的平均利润(即 的数学期望)；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如
果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
39．随机观测生产某种零件的某工厂 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数
据如下： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，根据上述数据得到样本
的频率分布表如下：
分组 频数 频率（1）确定样本频率分布表中 、 、 和 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 人，至少有 人的日加工零件数落在
区间 的概率.
40．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 次；在 处每投进一
球得 分，在 处每投进一球得 分；如果前两次得分之和超过 分即停止投篮，否
则投第三次.同学在 处的命中率 为 0，在 处的命中率为 ，该同学选择先在
处投一球，以后都在 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布
列为
（1）求 的值；
（2）求随机变量 的数学期望 ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分
的概率的大小.
41．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常
状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数，求 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，
其中x为抽取的第i个零件的尺寸， .
i
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下
的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ，
， .
42．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．
为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰
有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与
的大小．（结论不要求证明）
43．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋
中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
X，恰有2个黑球的概率为p，恰有1个黑球的概率为q．
n n n
（1）求p·q 和p·q；
1 1 2 2
（2）求2p+q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X)(用n表示) ．
n n n-1 n-1 n n
44．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色
卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可
能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
五、双空题
45．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则
猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活
动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为
______________．
46．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，
若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ___________，
___________.
47．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则
_______； ______．
48．如图， 是以 为圆心， 为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔
到该圆内，用 表示事件“豆子落在正方形 内”， 表示事件“豆子落在扇
形 （阴影部分）内”，则（1） __________；（2）
__________．
