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专题 07 平行四边形及特殊平行四边形题型总结
题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边
形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定.清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）
的特征以及彼此之间的关系.经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到特殊”
的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考
试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识.
模型01 中心对称与轴对称图形
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模型02 平行四边形的性质与判定
性质/图形 平行四边形
边 两组对边平行且相等
角 对角相等、邻角互补
对角线 互相平分
对称性 中心对称图形
判定方法：
（1）与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
模型03 三角形的中位线
中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
1
如图，在△ABC中，∵DE是△ABC的中位线，∴ DE∥BC，DE= BC.
2
◆与三角形中位线有关的结论：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
1
(1)三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的 ，
2
1
面积为原三角形面积的 ；
4
(2)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
模型04 菱形的性质与判定
性质/图形 菱形
边 四条边相等
角 对角相等、邻角互补
对角线 对角线互相垂直且平分
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对称性 既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
（1）先证平行四边形，再证一组邻边相等；
（2）先证平行四边形，再证对角线互相垂直；
（3）证四条边都相等的四边形；
（4）证对角线互相垂直且平分的四边形；
模型05 矩形的性质与判定
性质/图形 矩形
边 对边平行且相等
角 四个角都是90°
对角线 相等且互相平分
对称性 既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
（1）先证平行四边形，再证一个内角是直角；
（2）先证平行四边形，再证对角线相等；
（3）证三个角为直角；
模型06 正方形的性质与判定
性质/图形 正方形
边 四条边相等
角 四个角都是90°
对角线 对角线互相垂直、平分且相等
对称性 既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
由菱形到正方形（1）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
由矩形到正方形：（1）邻边相等的矩形是正方形；
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
模型01 中心对称与轴对称图形
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考｜向｜预｜测
中心对称与轴对称图形该题型近年主要以选择形式出现，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题
型.解这类问题的关键是了解中心对称与轴对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 这个点就是它的对称中心.
答｜题｜技｜巧
第一步： 首先判断一个图形绕着某一点旋转180°，看它是否能够和另一个图形重合；
第二步： 能够重合即为中心对称，否则看是否具有对称轴；
第三步： 根据选项做出选择；
例1. （2022•苏州）如图，在方格纸中，将Rt AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt A′O′B，则下
列四个图形中正确的是（ ） △ △
A． B． C． D．
【答案】B
【 详解】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt A′O′B，故B正确；
C选项旋转后△的对应点错误，即形状发生了改变，故C不△正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
例2．（2023•安徽）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属
于中心对称图形的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
模型02 平行四边形的性质与判定
考｜向｜预｜测
平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较
高.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定.清楚平行四边形、特殊平行四边形
（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系.能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何
证明和计算是考试的重点.
答｜题｜技｜巧
第一步： 理解题意；
第二步： 根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
第三步： 注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；
第四步： 利用相关的性质和判定进行推理和计算.
例1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1=56°，∠2=40°，则
∠A的度数为（ ）
A．68° B．70° C．110° D．112°
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【答案】D
【详解】解：根据折叠可知，∠EDB=∠2=40°，∠EBD=∠ABD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠EBD=∠CDB=∠ABD，
∵∠1=∠EBD+∠CDB，
∴2∠EBD=56°，
∴∠EBD=28°，
∴∠ABD=28°，
∴∠A=180°−∠ABD−∠2=180°−28°−40°=112°，
故选：D．
例2．（2023•山东）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）16．
【详解】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，
∴AF＝ ＝ ＝20，
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∵AC＝24，
∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16．
模型03 三角形的中位线
考｜向｜预｜测
三角形的中位线该题型近年在中点型问题中考试较多，在各类考试中以辅助形式出现，很少有单独考某
一个具体知识点的.解这类问题的关键是正确理解三角形中位线的性质，把握题中的关键信息.中位线的
考法一般情况是描述出多个中点，另外根据题意条件学会构建出存在中位线的三角形也是至关重要的.
答｜题｜技｜巧
第一步： 分析题目中是一个中点还是多个中点的问题；
第二步： 单中点问题观察是否为直角三角形，多中点型问题注意中位线的应用；
第三步： 根据中位线的性质解题，注意是否需要重新构造中位线所在的三角形；
第四步： 结合其它相关几何知识解题；
例1．（2023•陕西）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在 AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点
M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是（ ）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
【答案】D
【详解】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN，
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∵MN＝18米，
∴AB＝36米，
故选：D．
例2．（2023•河南）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．
连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝ BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝ AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
模型04 菱形的性质与判定
考｜向｜预｜测
菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用相似
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求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度.掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，及一些
特殊的菱形是解答本题的关键.注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，利用数形结
合及方程的思想解题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 理解题意；
第二步： 根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
第三步： 注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；
第四步： 利用相关的性质和判定进行推理和计算.
例1．（2023·湖南）如图，菱形 中，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形 是菱形
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．
例2．（2023·浙江）如图，在菱形 中， ，则 的长为（ ）
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A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 与 交于O．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
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模型05 矩形的性质与判定
考｜向｜预｜测
矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数
较大.矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，
准确画出折叠后的图形是我们解题的关键.结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关知
识点进行解题.
答｜题｜技｜巧
第一步： 确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；
第二步： 应用矩形相关的性质与判定进行解题
第三步： 注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法；
第四步： 进行相关计算解决问题.
例1.（2023•安徽）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝CE．
【答案】过程见详解；
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
{∠AEB=∠CFD
∠BAE=∠DCF，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
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∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE．
AB
例2.（2023•杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则 =（ ）
BC
1 √3−1 √3 √3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC=√3AB，
AB √3
∴ = ，
BC 3
故选：D．
模型06正方形的性质与判定
考｜向｜预｜测
正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正方形
与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型.结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和
专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力.
答｜题｜技｜巧
第一步： 确定正方形所考查知识点；
第二步： 利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论；
第三步： 结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；
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第四步： 结合其它几何的相关知识点进行解题；
例1．（2023•湖南）如图，点 、 为正方形 边的点， ，点 、 分别为线段 、
的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】8
【详解】解：连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点 为线段 的中点，
，
，
，
，
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在 与 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
例2．（2023•广东）如图， 是正方形， 是 上任意一点， 于 ， 于 ．求
证: ．
【答案】证明见解析．
【解析】解： 是正方形，
， ，
在 与 中，
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1．（2023•北京）如图所示， 为 的中位线，点 在 上，且 ，若 ， ，
则 的长为
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】A
【详解】解： 是 的中位线， ，
， 是 的中点，
，
，
，
故选： ．
2．（2023•江苏）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的
坐标分别是（ ）
A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ，3）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4） D．（ ， ）、（﹣ ，4）
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【答案】B
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作
AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴ ，
即 ，
∴OE＝ ，
即点B（ ，3），
∴AF＝OE＝ ，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣ ）＝﹣ ，
∴点C（﹣ ，4）．
故选：B．
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3．（2023•四川）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应
添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
【答案】C
【详解】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故选：C．
4．（2023•福建）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝
45°下列三个结论：①当MN＝ MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长
不变．
其中正确结论的个数是（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，
∴MN＝ ，
∴MN2＝MC2+NC2．
当MN＝ MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2
∴MC＝NC．
∴BM＝DN
易证△ABM≌△ADN（SAS）．
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
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∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．
综上①②③都正确．
故选：D．
5．（2023•贵州）如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交
AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
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∴AE＝BF＝4，
∴Rt BEF中，EF＝ ＝ ＝5．
故选△：C．
6．（2023•南京）如图，在 中， 是 的平分线， ， ，则 ．
【答案】2
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
故答案为：2．
7．（2023•深圳）如图所示，在 中， ， ， ，点 为线段 上的一
个动点，以 为腰，作一个顶角为 的等腰 ，其中 为 的中点，连接 ，则线段 的最
小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ，
在等腰 中， 是 的中点，
， 平分 ，
，即点 在 的角平分线上运动，
当点 在 上时， ，根据垂线段最短可知，此时 最短，
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又 ，
，
， ， ，
，
中， ，
线段 的最小值为 ．
故答案为： ．
8．（2023•陕西）如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且
PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
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∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴ AC•BC＝ AB•PC，
∴PC＝ ．
∴线段EF长的最小值为 ；
故答案为： ．
9．（2023•湖南）如图，在四边形 中， ， ．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 交 于点 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1） ；
（2）答案见详解；
【详解】（1）解： ，
，
，
，
的度数是 ．
（2）证明： 平分 交 于点 ， ，
，
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，
，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形．
10．（2023•山东）在Rt ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交
BE的延长线于点F． △
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB＝6，AC＝8，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）过程见详解；
（2）过程见详解；
（3）24
【详解】（（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：如图，由（1）知，△AFE≌△DBE，
∴AF＝DB，
∵AD为BC边上的中线，
∴DB＝DC，
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∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S ＝2S ＝S ＝ AB•AC＝ ×6×8＝24．
菱形ADCF ADC ABC
△ △
10.（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接
AG，求证：
（1）CE⊥DF．
（2）∠AGE＝∠CDF．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝ AB，CF＝ BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
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，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝ DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．
1.顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
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C．菱形 D．正方形
【答案】D
【详解】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝ AC，FG＝ BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，AC＝BD，
∴EF⊥FG，FE＝FG，
∴四边形EFGH是正方形，
故选：D．
2．（2023·浙江杭州）菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．是轴对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确，不符合题意；
B、菱形是轴对称图形，此选项正确，不符合题意；
C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误，符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形
ABCD是矩形（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
故选A
4．（2023•江西）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8 cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的
速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个
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点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
【答案】C
【详解】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8 cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝ AD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH＝ ＝6cm，
由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
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解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接
CE，则 DCE的面积为（ ）
△
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝△22+(4﹣x)2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ，
DE＝4﹣ ＝ ，
所以 DCE的面积＝ × ×2＝ ，
△
故选B．
6．如图，以正方形 的对角线 为一边作菱形 ，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
∵四边形 是菱形， 是对角线，
∴ ．
故选：D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD
的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝ AB＝ ×6＝3，CF＝ BC＝ 10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DHP＝∠FHC，
在△PDH与△CFH中，
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，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝ ＝ ＝ ，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝ EP＝ ，
故选：C．
8.如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点
D，E之间距离的最大值是 ．
【答案】5+5 ．
【详解】解：∵∠MEN＝90°，F是BC中点，
∴EF＝ BC＝5．
如图：
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ED≤EF+DF，
当点D，E，F三点共线时，取等号．
此时F是BC的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴FD＝ ＝ ＝5 ．
∴ED最大＝EF+DF＝5+5 ．
故答案为：5+5 ．
9．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=
．
【答案】22.5 °
【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E= =22.5°．
故答案为：22.5°．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，
BF中点，则GH的长是 ．
【答案】5
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【详解】解：连接BE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵E为AD中点，AD＝12，
∴ ，
则在直角三角形ABE中，根据勾股定理可得： ，
∵G，H分别为EF，BF中点，
∴ ；
故答案为：5．
11．如图，四边形 是平行四边形， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ，求
证： ．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
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12．如图，在矩形 中，O为 的中点，过点O作 分别交 ， 于点E，F．求证：四
边形 是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，
∵四边形 是矩形，
∴
∴
∵O为 的中点
∴
∵
∴ ≌ （ ）
∴
∴四边形 是平行四边形
又∵
∴四边形 是菱形．
13.如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是AB、BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转
90°，得到△DCM．
（1）求证：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？
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【答案】（1）答案见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，
由旋转得：
∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠DCF+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点在同一条直线上，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，
∴∠EDF＝FDM，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△MDF（SAS）；
（2）设CF＝x，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，
由旋转得：AE＝CM＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝3，FM＝CF+CM＝2+x，
∵△EDF≌△MDF，
∴EF＝FM＝2+x，
在Rt EBF中，BE2+BF2＝EF2，
∴9+（△5﹣x）2＝（2+x）2，
∴x＝ ，
∴EF＝2+x＝ ，
∴EF的长为 ．
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14．如图，在 中， 平分 ，交 于点E， 平分 ，交 于点F， 与 交
于点P，连结 ， .
（1）求证：四边形 是菱形.
（2）若 ， ， ，求 的值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【详解】（1）∵在 中， 平分 ，
∴∠BCE=∠DCE，∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
∵ 平分 ，
∴∠ADF=∠CDF，∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF =∠DFC，
∴CF=DC=DE，
∵ED∥FC，
∴四边形 是菱形；
（2）作PH⊥BC于点H，
∵∠BAD=120°，
∴∠PCH=60°，
∵四边形 是菱形，AB=2，
∴CE=2，
∴CP=1，
∴CH= ，PH= ，
∵BC=3，
∴BH= ，
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∴ .
15．已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接
BE、BF、EF．
（1）求证：EM＝FM；
（2）若DE：AE＝2：1，设S ABE＝S，求S BEF（用含S的代数式表示）．
△ △
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
又∵AE＝CF，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
又∵ ，
∴EM＝FM；
（2）∵DE：AE＝2：1，
∴设 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可求得： ，
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∴ ，
∴ ．
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