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期中重难点真题特训之压轴满分题型（68题17个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、配方法的应用
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有
其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 的最小值．
解：
无论 取何实数，都有 ，
，即 的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
(1)直接写出 的最小值 ；
(2)比较代数式 与 的大小，并说明理由；
(3)如图，在四边形 中， ．若 ，求四边形 面积的最大值．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键．
（1）原式配方后得到 ，即可得到答案；
（2）将两式相减后利用配方法即可判断；（3）利用 ，结合 ，代入后配方得 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：
无论 取何实数，都有 ，
，即 的最小值为3．
故答案为：3．
（2）解：
（3）解： 四边形 面积为：
四边形 面积的最大值为 ．
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当 __________时，多项式 的最小值为
__________．
（2）当 __________时，多项式 的最大值为__________．
（3）当 、 为何值时，多项式 取最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3
（2）1，
（3） ， ，最小值是10
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知 ，然后根据非负数的性质，判断出 和
的取值，然后进行计算即可．【详解】（1）
当 时，多项式 取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3
（2）
当 时，多项式 取最大值，且最大值为 ；
故答案为：1， ；
（3）
，
当 且 ，即 时，多项式 取最小值，并且最小值为 ．
， ，最小值是10．
3．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式 ，利用配方法求M的最小值： ， ，
当 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 ，用几何法求 的
最小值．如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度，当 的值最小时，
D、C、E三点共线，所以最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：(1)若代数式 ，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运
用，合理作出图形是解题的关键．
（1）运用配方法解题即可；
（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
当 ， 时，M有最小值为3；
（2）如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度
当 的值最小时，D、C、E三点共线，
所以最小值 ．4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料 ： 为实数，且 ， ，因为
，所以 ，从而 ，当 时取等号．
阅读材料 ：若 （ ， ， 为常数），由阅读材料 的结论可知 ，所以当
，即 时， 取最小值 ．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ________时， 取得最小值，且最小值为________；
(2)已知 ， ，求 的最小值．
(3)某大学学生会在 月 日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入 元；
二是参加活动的同学午餐费每人 元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的 倍．求当参
加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入 支出总费
用/参加活动的同学人数）
【答案】(1) ，
(2)
(3)当参加活动的同学人数为 人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是 元
【分析】（ ）由题意求出 的最小值，即可求出 的最小值；
（ ）把 代入 化成 的 形式，即可求出最小值；
（ ）设参加活动的同学人数为 人，人均投入为 ，化成 的形式，即
可求出答案；
本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式．
【详解】（1）解：由题意得，当 即 时， 取最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ， ；（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴当 ，即 时， 取最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
（3）解：设参加活动的同学人数为 人，则人均投入为 ，
当 ，即 时， 取最小值为 ，
∴最低费用是 (元)，
答：当参加活动的同学人数为 人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是 元．
压轴满分题二、换元法解一元二次方程
5．（辽宁省沈阳市第四十三中学教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题）阅读材料，
解答问题：
解方程：
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ， ．
当 时， ，∴ ；当 时， ，∴ ；
∴原方程有四个解： ， ， ， ．
以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程： ．
【答案】 ．
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设 ，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得 的值；然后再利用公式法求得 的值，关键是
构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从
而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
【详解】解：设 ，
则原方程可化为 ，
解得 ，
或 ，
解得 或 ．
6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的
基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，
一元三次方程 通过因式分解可以把它转化 ，解方程 和 ，
可得方程 的解．
问题：
(1)方程 的解是 ， ______， ______；
(2)求方程 的解；
(3)拓展：解方程： 时，可以用“换元法”转化．设 ，则有
，原方程可化为： ．将解方程的过程补充完整，求出 的值．
【答案】(1)3， （或 ，3）
(2) ， ，
(3) ，
【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可；
（2）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可；（3）因式分解法解 ，可求 （舍去），则 ，配方法解方程得，
， ，然后根据二次根式有意义的条件检验即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ， ， ，
故答案为：3， ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
解得， ， ， ；
（3）解： ，
设 ，则 ，
∴原方程可化为： ，
，
解得， （舍去），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，解得， ， ，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
∴方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次
根式有意义的条件等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元
二次方程，二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并
完成相应任务．
用换元法解高次方程
为解方程 ，可先将方程变形为 ，然后设 ，则 ，原方程化为
，解得 ， ．当 时，即 无意义，舍去；当 时，即 ，解得
， 原方程的解为 ， ．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个
整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作：
第一步：解方程 时，根据题意，可设 ，于是原方程变形为
；
解得 ， ．
第二步：根据题意，得 ， ，即 ， ，……
任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想．
任务二：材料中的 _____________．
任务三：请完整写出第二步的解答过程．
【答案】任务一：换元；任务二：−2，任务三：见解析
【分析】本题考查了换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，根据题意，可设 ，于是原方程
变形为 ，再利用因式分解法求解即可．得出 ，转化为方程 ，
，解方程即可．
【详解】任务一：原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想．任务二：原方程变形为 ，
∴
解得：
∴材料中的 −2．
任务三：根据题意，得 −2， ，即 −2，
解方程 ，即
解得 ；
当 时，此时 ，方程无解，
故原方程的解为 ．
8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读下列材料：
已知实数x，y满足 ，试求 的值，
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 、 ，根据平方根意义可得
，由于 ，所以可以求得 ．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复
杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
(1)已知实数x，y满足 求 的值
(2)填空：已知关于x，y的方程组 的解是 ，关于x，y的方程组
的解是 ；
【答案】(1) 或(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关
键；
（1）设 ，则原方程变为 ，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解方程；
（2）由题意易得方程组可变为 ，然后根据同解方程组可得 ，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设 ，则原方程变为 ，
∴ ，
解得： ，
即 或 ；
（2）解：由方程组 可变形为 ，
即 ，
∵关于x，y的方程组 的解是 ，
∴方程组 的解为 ，
∴ ．
压轴满分题三、韦达定理
9．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）已知关于x的方程 有两个实数根 ， ，其中 ，m为整数．
(1)若 ，求 的值；
(2)边长为整数的直角三角形，其中两边的长度恰好为 和 ，求该直角三角形的两直角边长．
【答案】(1)28
(2)两直角边长为8和6
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，勾股定理．掌握分类讨论思想
是解题的关键．
（1）当 时，方程为 ，从而得到 ， ，根据完全平方公式变形后代
入即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，从而 ，
， ．分两种情况：①长为 ， 的边为两条直角边，②长为
的边为斜边，长为 的边为直角边时，根据该直角三角形边长为整数，进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：当 时，方程为 ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：∵关于x的方程 有两个实数根 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ，∴
∵直角三角形两边的长度恰好为 和 ，且 ，
∴分两种情况：
①若长为 ， 的边为两条直角边时，
为平方数，
设 （k为正整数）
∴ ，
∵ ，k均为正整数，且 ，
∴当 时，解得 （不合题意，舍去）
当 时，解得 ，
此时该方程为 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，故不合题意，舍去．
②若长为 的边为斜边，长为 的边为直角边时，
，
∵该直角三角形边长为整数，
∴ 为整数，
设 （k为正整数）
∴ ，
∵ ，k均为正整数，且 ，∴当 时，解得 （不合题意，舍去）
当 时，解得 ，
此时该方程为 ，
解得 ， ，
则另一直角边为 ，不是整数，不合题意，舍去；
当 时，解得： （不合题意，舍去）
当 时，解得 ，
此时该方程为 ，
解得 ， ，
则另一直角边为 ，符合题意；
当 时，解得 ，
此时该方程为 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，故不合题意，舍去．
综上所述，该直角三角形的两直角边长为8和6．
10．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
有两个正实数根 ， ，且 ．
(1)求k关于n的表达式；
(2)若n为正整数，求k的取值范围．【答案】(1)
(2) ，且 （n为正整数）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程：
（1）根据根与系数的关系得到 ， ，再由 得到
， ，则 ，据此可得答案；
（2）根据 ，结合n为正整数进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个正实数根 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ；（2）解：∵ ，
∴ ，
∵n为正整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 （n为正整数）．
11．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的一元二次方程 …①和 …②．
(1)若 ，且方程①有两实根 ， ，方程②有两实根 ， ，求代数式
的最小值；
(2)是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说
明理由．
【答案】(1)-3
(2)存在， 值为 或12
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．
（1）根据根与系数的关系得 ， ， ， ，则
，再根据两个方程都有实根，得 的取值范围，即可求出最小值；
（2）设公共根为 ，代入原方程得到2个方程，将2个方程适当处理，再两个方程左右相比，消去 得方
程 ，即 ，解得 或2，再分情况讨论，最后得到满足条件的 值为
或12．
【详解】（1） 方程①有两实根 ， ，方程②有两实根 ， ，，， ， ，
，
一元二次方程 ①和 ②都有两个实根且 ，
，
解得 ，
当 时， 有最小值为 ，
代数式 的最小值为 ．
（2）假设存在实数 ，使得方程①和②恰有一个公共的实数根，设公共解为 ，
则 ， ，
∴由 可得 ，
代入 得 ，
整理得方程 ，
即 ，
解得 或2，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
满足条件的 值为 或12．12．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)3；
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得： ，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程 的两个实数根，则有 ，再利用分式的化简求值的
方法进行运算即可；
【详解】（1）解： 一元二次方程 的两个根为 ， ，
，
故答案为：3； ．（2）解： 一元二次方程 的两根分别为m，n，
，
．
（3）解： 实数s，t满足 ，且 ，
s，t是一元二次方程 的两个实数根，
．
，
．
压轴满分题四、一元二次方程的应用
13．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ．点P从点D
出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q
的速度都是 ．连接 、 、 ．设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当 ______时，四边形 是矩形；
(2)当 ______时，四边形 是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得 ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着 把 翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 恰好落在 边上．【答案】(1)当 时，四边形 为矩形；
(2)当 时，四边形 为菱形；
(3)不存在某一时刻 使得 ，理由见解析
(4)当 等于 或 时，翻折后点 的对应点 恰好落在 边上．
【分析】（1）当四边形 是矩形时， ，据此求得 的值；
（2）当四边形 是菱形时， ，列方程求得运动的时间 ；
（3）过 作 ，交 于 ， ，得出四边形 是矩形，列方程得
，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出 ，进而在 中，
， ，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由已知可得， ， ，
在矩形 中， ， ， ，
当 时，四边形 为矩形，
∴ ，
解得： ，
故当 时，四边形 为矩形；
（2）解： ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形，
根据勾股定理得： ， ，∴此时 ，
解得 ，
故当 时，四边形 为菱形；
（3）解：不存在；理由如下：
过 作 ，交 于 ，如图所示：
则 ，
∵ ，
四边形 是矩形，
， ，
，
矩形 中 ，
∴ 为直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程无实数根，
不存在某一时刻 使得 ；
（4）解：如图所示，根据折叠可知：
， ，
在矩形 中 ，
，
，
，
，
∵ ，
∴在 中，根据勾股定理得：
，
，
即： ，
解得： ，
答：当 等于 或 时，翻折后点 的对应点 恰好落在 边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性
质，解决此题注意结合方程的思想解题．
14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿
地中的花圃设计》中，有如下问题：
“在一块长是 、宽是 的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出
设计方案吗？”
课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如
图）．(1)请你计算出上述方案中绿地的宽；
(2)九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2
个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之
和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应
的方程．（列出方程即可，不用解答）
【答案】(1)4米
(2) 或
【分析】（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为 米，宽为 米，根据题意
，解方程即可．
（2）分两种情况解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设绿地的宽为x米，绿地的长为 米，宽为 米，
根据题意，得 ，
解方程，得 （舍去），
故绿地的宽为4米．
（2）解：方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为 米，宽为 米，根据题意
．方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为 米，宽为 米，根据题意
．
15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图①， 中， ， ， ，
中， ， ，边 与 重合，且顶点 与 边上的定点 重合．如图
②， 从图①所示位置出发，沿射线 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点 从点A出发，
沿AB方向匀速运动，速度为 与 交于点 ，连接 ， ．设运动时间为t（ ）（
）．解答下列问题：
(1)当 为何值时，点 在 的垂直平分线上？
(2)当 为何值时， ？
(3)如图③， 与 关于直线 对称，连接 ．
①当 时，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使四边形 为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ，
(3)① ；②存在， ．【分析】（1）先表示出 ， ，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等
得到 ，据此建立方程求解即可；
（2）如图所示，过点P分别作 的垂线，垂足分别为H，根据（1）d得到 ，再由
，得出求出 ， ，由三角形
面积公式得出 ，最后根据 ，得出 ，
据此列方程进行求解即可；
（3）①连接 交 于M，由对称性质可知 ， ，由此得出当
时，四边形 是平行四边形；据此得出 ，列方程即可求出；②根据菱形对角线相互垂直平分，
得出 ，结合线段长列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①所示，∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图②所示，由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∵点B在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时，点B在线段 的垂直平分线上．
（2）解：如图②所示，过点P分别作 的垂线，垂足分别为H，由（1）可知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
即当 或 时， .
（3）解：如图③所示，连接 交 于N，
∵ 与 关于直线 对称，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，即四边形 是平行四边形；
②当四边形 为菱形时，如图③， ， ，
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
综上所述，存在 使 ．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正
确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售
量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【答案】(1)①30元或80元②八折
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元
【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量 每件利润 元列出方程求解即可；②为了
让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为 ，代入根的判别式得 ，方程无解，
故不能达到要求．
【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
．
解得： ．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为： 元， ．
答：该店应按原售价的八折出售．
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
,
整理得： ，
∵ ，
∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．压轴满分题五、一元二次方程的新定义问题
17．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程
的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程 的两个根分别
是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义， 是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程 是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程 是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到 的最小值是______．（参考公式： ，
x、y均为正数）
【答案】(1)四
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确
理解“n倍根方程”的定义．
（1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可；
（3）设 与 是方程 的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案；
【详解】（1）解： ，
，解得 和 ，
∵ ，
∴一元二次方程 是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设： 与 是方程 的解，
∴ ，
解得： ，
∴m的值为 ；
（3）解：∵关于x的方程 是“n倍根方程”，
∴可设 与 是方程 的解，
∴ ，
消去 得： ，
（4）解：由参考公式： （x、y均为正数）可得 ，
∴ ，
故答案为：1．
18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习） 已知关于x的方程 与
都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且 ，则称它们互为“友好方程”．如
与 互为“友好方程”．(1)判断方程 与 是否是互为“友好方程”？并说明理由；
(2)若关于x的方程 与 互为“友好方程”，求m的值；
(3)材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c，有如下关系：
， ．已知关于x的方程①： 和关于x的方程②： ，p、q
分别是方程①和方程②的一个实数根，且 ， ．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p
为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3) ；
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根与系数的关系，理解概念是解题的关键．
（1）根据“友好方程”概念进行计算判断即可；
（2）根据 ，求出 ， ，再进行分类讨论，求出一元二次方程的根，判断是否有共同的根即
可；
（3）根据p为两个方程的相同的根，代入两个方程，即可求得 ，再结合q是方程②的一个实数根，
利用根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：不是，理由如下：
，
，
解得 ，
，
∵
∴该方程无根，
故方程 与 不是互为“友好方程”．
（2）解：∵关于x的方程 与 互为“友好方程”，∴
解得 ， ，
当 时，方程 无解，
方程 变为 ，
解得 ， ，
故 不符合题意；
②当 时，
方程 变为 ，
解得 ， ，
方程 变为 ，
解得 ， ，
此时有共同的根 ，此时符合题意；
综上所述， ．
（3）解：∵以p为两个方程的相同的根，
∴ ， ，
∴ ，
∵q是方程②的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
19．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于 的一元二次方程 的两个实数根
分别为 ， ，分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点 为该一元二次方程
的衍生点．(1)直接写出方程 的衍生点 的坐标为______；
(2)已知关于 的方程 ．
①求证：不论 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点 的坐标；
③已知不论 为何值，关于 的方程 的䘕生点 始终在直线 上，求
b，c的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；② ；③
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；
（2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M
的坐标；③将 变形，可得过定点 ，根据题意方程 的两个根为
，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴该方程的衍生点M的坐标为
（2）①∵方程为 ，
∴ ，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②∴ ，
∴该方程的衍生点M的坐标为 ；
③解∶直线 ，过定点 ，
∴ 两个根为 ，
∴ ，
∴ ．
20．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为 ，那么称这样的方程为“明一方
程”．例如方程： 有解 ，所以 为“明一方程”．
(1)下列方程是“明一方程”的有；
① ；② ；③ ．
(2)已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，且当 时，关于x的方程
为“明一方程”，求该直线解析式；
(3)已知 为“明一方程” （a，b，c为常数，且 ）的两个根，试求 的取值
范围．
【答案】(1)①③
(2)所求直线解析式为 或 或
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定
义是解决本题的关键．
（1）将 分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可；
（2）由题意可得直线 过点 ，可得 ，即 ，得出函数关系式为 ，
再求出点A、B的坐标，再根据 列出方程求解即可；（3）由 为“明一方程”，可得 ，又 ，从而得出 ，且有
，解不等式组 得： ．再由 为 的两根，且 为其
一个解，可得另一个解为 ，再求解即可．
【详解】（1）解：①将 代入方程 得， ，
是方程 的解，
为“明一方程”；
②将 代入方程 得， ，
不是方程 的解，
不是“明一方程”；
③将 代入方程 得， ，
是方程 的解，
为“明一方程”；
故答案为：①③；
（2）解： 当 时，关于x的方程 为“明一方程”，
直线 过点 ，
，即 ，
函数关系式为 ，
令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，解得： ，即 ，
，
，解得： 或 ，
直线解析式为 或 或 ；
（3）解：已知 为“明一方程”，
所以 ，又 ，
所以 ，且有 ，
解不等式组 得： ．
为 的两根，且 为其一个解，
所以另一个解为 ，
所以 ，令 ，
则 是关于 的一次函数，由一次函数的增减性可得：
压轴满分题六、二次函数的图象与性质
21．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【发现问题】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往
不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直
角坐标系 ，对两点 和B(x ,y )，用以下方式定义两点间的“折线距离”：
2 2
．（1）①已知点 ，则 ______；
②函数 的图象如图1， 是图象上一点，若 ，则点 的坐标为______；
（2）如图2，菱形 顶点 的坐标是 ， ， ．小明发现：菱形 的边上会有两
个点分别到原点 的距离 相等．若点 在菱形的边上且 ，指出点 在菱形的那条边上，
并求出它的坐标．
【拓展运用】
（3）函数 和函数 的图象如图3， 是函数 图象上一点， 是函
数 图象上一点，当 和 分别取到最小值时，求 的值．
【答案】（1）① ；② ；（2）当 在 上， ；（3）
【分析】（1）①代入定义中的公式求；
②设出函数 的图象上点 的坐标，通过 建立方程求解；
（2）先由定义求出 ，根据菱形的性质求得点 的坐标，用待定系数法求出 的函数解析式，
再设点 在 上坐标为 ，根据 列方程求解，同理可判断了点不在其他三边
上；
（3）先配方得 ，可得当 时， 最小，此时点 坐标为 ，设点
，由 得 ，分类讨论求得 最小时 的值，再求 的值．
【详解】解：（1）① ；
②∵点 在函数 上，设 ，
∵ ，∴
∵
∴ ，
∴
∴点 ．
（2） ， ，
设 解析式为 ， ， 代入
当 在 上，设
同理可证点E不可能在 上，
，
点不能在 点右侧，
（3）解：设
，当 时， 最小，
设
，
当 时，
当 时， 最小值为
当 时，
当 时， 最小值为 ，
∴当 时， 最小，
∴ ．
【点睛】本题在新定义下考查了求一次函数的解析式和配方法，二次函数的最值，关键是由拆线距离的定
义来构造方程．
22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）新定义：如果二次函数 的图象经过点
，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
(1)试判断二次函数 的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线 与直线 只有一个公共点，求m的值；
(3)若一次函数 的图象与定点抛物线 的交点的横坐标分别为 和 ，且
，求n的取值范围．
【答案】(1)是(2)
(3)
【分析】（1）把 代入 求解即可判断；
（2）把 代入 可得 与 的关系，根据抛物线与 只有一个交点可得 ，
进而求解即可．
（3）先证明一次函数 过 ，计算当 时， ，当
一次函数 的图象过 时，可得得： ，可得一次函数为： ，结合当
时，满足条件；从而可得答案．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，
二次函数 的图象经过点 ，是“定点抛物线”．
（2）解：∵抛物线 为定点抛物线，
∴ ，
整理得： ，
∴抛物线为 ，
∵抛物线为 与直线 只有一个公共点，
∴方程 有两个相等实根，
∴方程 有两个相等实根，
∴ ，
解得： ；
（3）解：∵定点抛物线 过 ，当 时， ，
∴一次函数 过 ，
如图，
当 时， ，
当一次函数 的图象过 时，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数为： ，
∴当 时，即 时，满足条件；
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元
二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键．
23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，若关于 的函数 的
图像记为 ，将 的图像绕着原点旋转 得到图像 ，我们把 和 合起来的总图像称为
的“青一对称”图像．
(1)若 在 的“青一对称”图像上，则 ；(2)若 在 的“青一对称”图像上，求 的值；
(3)当二次函数 的“青一对称”图像与直线 有且只有三个交点时，请求出 的值或取值
范围．
【答案】(1)
(2) 的值为 或 或
(3) 的值或取值范围是 或
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题题意，
并掌握相关知识．
（1）根据“青一对称”图像的定义求解即可；
（2）根据题意可求出 的解析式为 ，根据当 时， ，当
时， ，即可求解；
（3）先求出 的解析式为 ，分情况讨论：①当直线 与 ：
相切时，② 当 时， 当 时，分别求出直线 与二次函数 的
“青一对称”图像的交点情况即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：图像 的函数解析式为 ，
当 时， ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
顶点坐标为 ，
图像 的顶点坐标为 ，
的解析式为 ，在 的“青一对称”图像上，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
当 时， ，
解得： 或 ，
的值为 或 或 ；
（3）解： ，
顶点坐标为 ，
将 的图像绕着原点旋转 得到图像 ，
的顶点坐标为 ，
的解析式为 ，
①当直线 与 ： 相切时，即直线 与 的图像只有一个交点，则
，
整理得： ，
，
解得： ，
此时 的解析式为： ，
联立直线 与 的解析式得： ，
整理得： ，
此时 ，
直线 与 的图像只有两个交点，当 时，二次函数 的“青一对称”图像与直线 有且只有三个交点；
② 当 时， 的解析式为 ， 的解析式为 ，
联立直线 与 的解析式得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
此时直线 与 的图像只有一个交点 ，
联立直线 与 的解析式得： ，
解得： 或 ，
当 时， 的图像与直线 有两个交点(0,1)和 ，
当 时，二次函数 的“青一对称”图像与直线 只有三个交点；
当 时， 的解析式为 ， 的解析式为 ，
联立直线 与 的解析式得： ，
解得： 或 ，
此时直线 与 的图像只有两个交点(0,1)和 ，
联立直线 与 的解析式得： ，解得： 或 ，
此时直线 与 的图像只有两个交点 和 ，，
当 时，二次函数 的“青一对称”图像与直线 有四个交点；
当 时，二次函数 的“青一对称”图像与直线 有且只有三个交点；
综上所述， 的值或取值范围是 或 ．
24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数 （m是
常数）．
(1)若函数图象经过点 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点 ， ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ， ．若对于任意的 ，都有 成立，求
m的取值范围．
【答案】(1)函数图象的顶点坐标为 ；
(2)见解析
(3)m的取值范围为 或 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，
熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标；
（2）将已知两点代入求出 ， ，再用 表示出 ，配方，即可求解；
（3）分两种情况，当 和 时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根
据增减性分析，解不等式（组）即可．
【详解】（1）解：∵函数图象经过点 ，
∴ ．解得 ．
∴ ．
所以函数图象的顶点坐标为 ；
（2）解：∵函数图象经过点 ， ，
∴ ． ．
∴ ．
所以 ；
（3）解： ，设函数图象经过点 ， ， ．
二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，则点 在对称轴右侧，
对于任意的 ，都有 成立，
存在如下情况：
情况1，如图1，当 时，
则 关于对称轴的对称点的横坐标为 ，
∴ ，且 ，
∴有 ，解得 ；
情况2，如图2，∴ ，
∵点 关于对称轴对称的点的横坐标为 ，
∴ ，且 ，
可得 ，解得： ，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
压轴满分题七、二次函数的图象与各系数关系
25．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数 的图象经过点 ，且
与 轴交点的横坐标分别为 ， ，其中 ， ，顶点纵坐标大于 ．下列结论：
； ； ； 若 ， （ ）是方程 的两个根，则
， ．其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛
物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况可以判断 ，根据抛物线顶点纵坐标大于 ，可以判断 ，二次函数 的图象经过点 ，再根据图象当x=1
时 可以判断 ，由 得 ，即函数 与 的交点，
可以判断 ，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线交 轴于正半轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确，
∵顶点纵坐标大于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
根据图象可知：当 时， ，
∴ ，故 正确；
由 得： ，
即函数 与 的交点，
如图，∴ ， ，故 正确，
综上可知： 正确，共 个，
故选： ．
26．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数 的图象经过点 ，且与 轴的交点的
横坐标分别为 ， ，其中 ， ．下列结论：① ；② ；③ ；④对
任意 ， 都成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，
熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ，①错误；
由图象可知，抛物线对称轴 ，结合①中 可得 ，即 ，②正确；
如图所示：当 时， ，③正确；
， ，
，
由①知 ，则 ，即 ，则 ，
，即 ，④正确；
综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个，
故选：C．
27（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为
直线 ， 为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）
；② ； （ 是一个常数）；④若 ，则 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 决定抛物线的开口
方向，②一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置（左同右异）③常数项 决定抛物线与 轴交
点，抛物线与 轴交于 ．④顶点决定了最值．
由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断 与0的关系；当 时，
；然后由图象确定 ，继而 ，再根据 ，抛物线开
口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离得出 ，继而解不等式即可．
【详解】解：①如图所示，抛物线开口方向向上，则 ．对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
故①正确；
② ，
．
．
．
故②正确；
③根据图示知，当 时， 有最小值；
当 时，有 ，
所以 （ 是一个常数）．
∴
故③正确．
④若 ，
∵抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离，
即 ，即
解得： ，故④错误，
综上所述，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
28．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线 经过点 ，与 轴的交
点在 与 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论： ； 若点在图象上，则 ； 若 为任意实数，则 ；
．其中正确结论的序号为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；
一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴相交于点 ，对称轴为直线 ，
∴二次函数 的图象与 轴相交于点 ，
∵二次函数与 轴的交点 与 之间（不包括这两点），
大致图象如图：
当 时， ，故结论 正确；
∵二次函数的对称轴为直线 ，且 ，
∴ ，故结论 不正确；
∵ 时，函数有最小值，
∴ （ 为任意实数），
∴ ，故结论 正确；
∵ ，
∴ ，
∵一元二次方程 的两根为 和 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， ， ，
∴ ，故结论 正确；
故答案为： ．
压轴满分题八、二次函数中的最值问题
29．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线 经过点 ，请解决下列问
题：
(1)点 ， 分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值．
(2)当 时，
求 的取值范围．
若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（1）根据题意，结合对称轴可求出 的值，进而得到抛物线的解析式，最后将点 代入解
析式即可求解；
（2） 点 代入抛物线中得到 ，结合 即可求解；
根据题意，当 时， ；若 ，即 时， ，根据
可求出 的值；若 ，即 时， ，根据 可
求出 的值．【详解】（1）解： 对称轴 ，
，
又 ，
，
，
抛物线经过点 ，
；
（2）解： 当 时， ，
，
当 时， ，
当 时， ，
；
，
当 时， ，
若 ，即 时，
，
则 ，
解得： ， （舍去），
若 ，即 时，
，
则 ，解得： （舍去）， ，
综上所述， 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、最值问题、解一元一次不等式以及解一元二次方程等知识点，掌
握以上知识点是解题的关键．
30．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的
图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其中点 坐标为 ，点 坐标为(2,0)．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 下方抛物线上一个动点，连接 、 ，求 的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点 ， 两点坐标代入抛物线的解析式，解二元一次方程组，即可求得该抛物线的函数解
析式；
（2）设点 ，连接 ，由轴对称的性质可求得点 坐标，进而可求得 和 的长，由
于 ，因此可利用三角形的面积公式构建二次函数，再利用二次函数的性质求最
值，于是得解．
【详解】（1）解： 抛物线 的图象经过点 ，点 ，
，解得： ，
此抛物线的函数解析式为 ；
（2）解：设点 ，
如图，连接 ，
抛物线的对称轴为：
，
，
由轴对称的性质可得：
点 的横坐标 ，
，
，
，
，，
，
当 时， 取得最大值，其最大值为 ，
的面积最大值是 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，二次函数的图象与性质，轴
对称的性质，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，化简绝对值，把 化成顶点式，
求二次函数的最值等知识点，利用三角形的面积公式构建二次函数求最值是解题的关键．
31．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，该函数图象的对称轴为直线 ，与
x轴相交于点A和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图①，点D是直线 下方抛物线上的动点，过点D作 轴交直线 于点E，求 的最大值；
(3)如图②，点P是直线 下方抛物线上的动点， 于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得 ，再用待定系数法求直线 的函数表达式为 ，设 ，根据
轴，得点E的纵坐标为 ，然后代入 ，求得 ，从而得
，则 ，然后根据二次函数的最值求解即可．
（3）过点P作 轴交 于点H，先求得 ，则 ，再根据 轴，
则 ，从而得到 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，设
，则 ，则 ，从而得到
，然后根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象的对称轴为直线 ，与y轴交于点 ，
∴ 解得
∴该二次函数的表达式为 ．
（2）解：在二次函数 中，令 得
，解得 或 ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
把 、 代入，得，解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ．
设 ，
∵ 轴，
∴点E的纵坐标为 ，
把 代入 中，得
，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵点D是直线 下方抛物线上的动点，
∴ ，
∵ ，
∴当 时 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
（3）解：过点P作 轴交 于点H，如解图．
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是直线 下方抛物线上的动点，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值 ，
此时点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的图象性质，等腰直角三角形的判定，
勾股定理，平行线的性质．熟练掌握二次函数最值的解法是解题的关键．
32．（22-23九年级下·天津滨海新·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点
， ，并与 轴的正半轴交于点 ．
(1)求 的值，并用含 的式子表示 ；
(2)当 时，若点 是抛物线对称轴上的一个动点，求 周长的最小值；
(3)当 时，若点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 于点 ，当 的值最大时，
求此时点 的坐标及 的最大值．【答案】(1) ，
(2)
(3) ， 的最大值为
【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式及等
腰直角三角形的性质是解题的关键．
（1）由 点坐标得出 ，把 点坐标代入即可得出 ；
（2）根据 ，结合 得出抛物线解析式，利用对称性得出点 坐标，找出 周长最小时点
的位置，此时 ， 的周长最小值为： ，根据勾股定理求出 、
的长即可求出 最小值；
（3）先得出抛物线解析式及点 坐标，过点 作 轴于 ，交 于 ，得到 是等腰直角三
角形，得出 ，利用待定系数法得出直线 解析式，设 ，则
，用 表示出 ， ，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将 代入抛物线 中得： ，
将 ， 代入抛物线 中得： ，
∴ ．
（2）如图1，当 时， ，
∴抛物线的解析式为： ，∴抛物线的对称轴是直线 ，
由对称性可得 ，
要使 的周长最小，只需 最小即可，
连接 交直线 于点P，
∵点 与点 关于直线 对称，
由对称性可知： ，
此时 的周长最小，
∴ 的周长为 ，
中， ，
中， ，
∴ 周长的最小值为 ．
（3）当 时， ，
∴ ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
如图2，过点 作 轴于 ，交 于 ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
当m＝﹣1时， 有最大值是 ，
当m＝﹣1时， ，
∴点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 时， 有最大值是 ．
压轴满分题九、二次函数的存在性问题
33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，抛物线 与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展设问：点 为平面内一点，直线 上方的对称轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的四
边形是菱形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）存在，点 的坐标为 或 或 或 ；
拓展设问：存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案；
（2）求出C(0,−3)及对称轴，设 ，由两点之间距离公式得到 ， ，
，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当 时；当 时；当
时；分类讨论求解即可得到答案；
拓展设问：设点 的坐标为 ，根据坐标两点的距离公式，得到 ， ，
，根据题意，分三种情况：当 为菱形的对角线时；当 为菱形对角线时；当 为对角线时，
由菱形性质列方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）抛物线 与 轴交于点 和点 ，
，
解得 ， ，
抛物线的解析式为 ；
（2）存在，点 的坐标为 或 或 或 ，理由如下：
由（1）知 ，
∴C(0,−3)， ，抛物线的对称轴为直线 ，设点 ，其中 ，
点 、C(0,−3)、 ，
， ， ，
当 时，则 ，解得 ，则点 或 ；
当 时，则 ，解得 或 （负值舍去），则点 ；
当 时，则 ，解得 ，则点 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ；
拓展设问：存在，点F的坐标为 或 或 ，理由如下：
抛物线 的对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为 ,
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当x=−1时， ，
∴设点 的坐标为 ，此时 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
①当 为菱形的对角线时，如图所示：此时 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②当 为菱形对角线时，如图所示：
此时 ，
∴ ，解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ；
③当 为对角线时，如图所示：
此时 ，
∴ ，解得 或 （不合题意，舍去），∴ ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、等腰三角形性
质、菱形性质、两点之间距离公式、解二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质，等腰三角形性质
及菱形性质是解决问题的关键．
34．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于点
和点 ，与y轴交于点C．
(1)求 的值；
(2)若点P是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点P的坐标，并求出 面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，此时
(3)存在， 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接 ， ，通过 表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作 于Q，交 于点D， ， 求得函
数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形 为平行四边形时或当四边形 为平行四边形时，利用平行四边形
的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点 和点 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
∴ ，
方法一：如图1，
连接 ，
设点 ，∴ ，
∴
，
∴当 时， ，此时 ；
方法二：如图2，
作 于Q，交 于点D，设 解析式为：
∵ ，则 ，解得
∴直线 的解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时， ，此时 ；
（3）解：如图3，
当四边形 为平行四边形时， ，
∵抛物线对称轴为直线： ，
∴ 点的坐标：
如图4，当四边形 为平行四边形时， ，
作 于G，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，
解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
35．（21-22九年级·江苏南京·自主招生） 过 ， ， ，直线 为对称
轴，一次函数 过A、C．
(1)求一次函数与二次函数的表达式．
(2)点M在直线l上，当 最小时，求M坐标．
(3)l上有一点P，当 为直角三角形求P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或
【分析】(1)根据待定系数法即可直接求出一次函数解析式，根据A点坐标和对称轴求出B点坐标，利用交
点式即可求出二次函数解析式；(2)利用轴对称性质即可求出直线 与直线 的交点即为点M，即可求出坐标；
(3) 分 ， ， ，三种情况，设 ，由勾股定理及等腰三角形的性
质分别求出P点的坐标即可．
【详解】（1）解： 过 ， ， ，直线 为对称轴，
， ，
解得， ，
二次函数表达式为： ，
一次函数 过A、C，
，
解得 ，
一次函数表达式为： ；
（2）解： 点 与 关于直线 对称，
直线 与直线 的交点即为点M，
时， ，
；
（3）解：①若 ，如图，作 轴于点Q，
，
，
，
，得: ；
②若 ，
与x轴所夹锐角为 ，
，得: ;
③若 ，设 ，
则 ， ， ，
，
解得: ， ，，
综上 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，勾股定理，
直角三角形的存在性问题等知识．
36．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 、
两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
(1)求 的值；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所
有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)9
(2)存在， 或 或 或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）求出 、 的坐标，将点 、 的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 的坐标分别代入抛物线表达式得：，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
则点 坐标为 ，顶点 的坐标为 ，
∴ ；
（2）设 ，
当 时，如图，
则 点纵坐标与 中点的纵坐标相同，
，
，
解得： ，
故此时 点坐标为 ；
②当 时，如图，，
，
故此时点 的坐标为 或 ；
③当 时，如图，
,
,
解得： ，
故此时点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ；
压轴满分题十、二次函数中的角度关系
37．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线
分别交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为第四象限抛物线上一点，连接 、 ，设点 的横坐标为 ， 的面积为S，求S
与 的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时， 为抛物线第三象限上一点，连接 、 、 ，若
，求点 的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意设点 ，根据 列出关系式即可；
（3）先求出点P的坐标，证明 是直角三角形， ， ，则 ，
过点A作 交 延长线于点D，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，证明
，得到点D的坐标，求出直线 的解析式，联立二次函是解析式，即可求解．
【详解】（1）解：将点 、 代入抛物线 ，则 ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）解： 、 ，点 为第四象限抛物线上一点，
设 ，
， ，
，
；
（3）解：当 时，
则 ，即 ，
解得： 或 ，
，
，
，
，
，
是直角三角形，且 ，，
，
如图，过点A作 交 延长线于点D，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，则 ，
整理得： ，
，
或 ，
，
点横坐标为 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．38．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查二次函数与特殊角度，求二次函数解析式；
（1）把 、 代入 计算即可；
（2）以 为对角线作正方形 ，则 所在直线与抛物线的另一个交点即为点 ，然后利用全
等三角形求 坐标，再求出直线 解析式，最后求与抛物线交点即可．
【详解】（1） 抛物线 与 轴交于 两点，且点 坐标为 ，点 坐标为 ，
此抛物线的函数解析式为 ；
（2）点 的坐标为 或 ．如解图，以 为对角线作正方形 ，
，
所在直线与抛物线的另一个交点即为点 ，
如解图，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 于点 ，则 ，
，
，
，
，
，
， ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
解得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
联立
解得 或
，
同理可得 ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或
，
综上，点 的坐标为 或 ．
39．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）如图1，已知抛物线 与x轴交于点 和点
B，与y轴交于点C，连接 ，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)如图1，将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若
不存在，请说明理由．
(3)点P在抛物线上，且 请直接写出直线 的表达式．
【答案】(1)
(2)存在，点D的坐标为
(3)存在点P在抛物线上，且 ，直线 的表达式为 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，由平移的性质得出直线 的解析式为
，设 ，作 轴，交 于点 ，作 于 ，设直线 交
轴于 ，则 ， ，证明 是等腰直角三角形，得出
，再根据二次函数的性质即可得解；
（3）分两种情况：当 在 的下方时，在 轴正半轴上取点 ，连接 交抛物线于点 ；当
在 的上方时，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，直线 交抛物线于 ，
分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于点 ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，当 时， ，
解得： ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
如图，作 轴，交 于点 ，作 于 ，设直线 交 轴于 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值 ，此时点D的坐标为 ；
（3）解：当 在 的下方时，在 轴正半轴上取点 ，连接 交抛物线于点 ，
，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，联立 ，
解得： （舍去）， ，
∴ ；
当 在 的上方时，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，直线 交抛物线于 ，
，
由对称得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得：直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
综上所述，存在点P在抛物线上，且 ，直线 的表达式为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的
平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．40．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ，点 的坐标为(2,0)，连
接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 和动点 同时出发，点 从点 以每秒2个单位长度的速度沿 运动到点 ，点 从点 以每
秒1个单位长度的速度沿 运动到点 ，连接 ，当点 到达点 时，点 停止运动，求 的最大
值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点 ，使得
，请写出所有符合条件的点 的坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点 的坐标为
(3) 或
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键
（1）利用对称性求出点A的坐标，利用待定系数法解答即可；
（2）求出 ，得到 ，得到 ， ，即可得到，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）求出平移后的解析式为 ，得到抛物线的对称轴为直线 ，分两种情况：当点G
在直线 下方时，当点G在直线 上方时，分别画图进行解答即可．
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，点 的坐标为(2,0)，
∴
将点A和点B的坐标代入 得到
解得
∴
（2）当 时，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵点 从点 以每秒2个单位长度的速度沿 运动到点 ，
∴
∴ ，
∵点 从点 以每秒1个单位长度的速度沿 运动到点 ，
∴∴
∴ ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时点 的坐标为
（3）∵原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，
∴抛物线向x轴负方向平移2个单位，向y轴负方向平移2个单位，
∴平移后的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线
当点G在直线 下方时，如图1，
设 与x轴交于点E，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
设直线 的解析式为
∴
∴∴直线 的解析式为
当 时，
∴G点坐标为
当点G在直线 上方时，如图2，
设 与x轴交于点F，
∵ ，
∴
∴
∴ ，
同理可得直线 为
当 时，
∴点G的坐标为 ，
综上可知，点G的坐标为 或
压轴满分题十一、二次函数的面积关系41．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线 交 轴正半轴于点A，过点
作直线 轴于点 ，交抛物线于点 ，记点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，连结 ，
．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)连结 ，当 为何值时， ？
(3)过点 作 于点 ，交 延长线于点 ．
①当 时，判断点 是否落在抛物线上，并说明理由；
②延长 交 于点 ，在 上取一点 ，连结 ，若 ，且 与 的面积相等，
则 的值是______．
【答案】(1) ；
3
(2) 为 ；
2
(3)①在，理由见解析；② ．
【分析】 先确定 和抛物线的对称轴，利用对称性得到 ，即可用 表示 的
长；
解方程 得 ，再利用两点间的距离公式得到 ，
， ，根据勾股定理的逆定理得到
，再解方程即可得到 的值；
当 时，抛物线的解析式为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，则可得到 ，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可
判断点 是否在抛物线上；②作 于 ，利用等腰三角形的性质得 ，根据 ，
， 得到 ，得到四边形 是正方形，根据 ，推出 ，
根据 ，推出 ，根据 ， 求出直线 的解析式为
，当 时，求出 ，求出 ，得到 ，
即 的值为 ．
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
，
；
（2）当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
，，
当 ， 为直角三角形， ，
即 ，
整理得 ，
解得 ， 舍去），
即当 为 时， ；
（3）①在．理由如下：
当 时，抛物线的解析式为 ，
∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵ 时， ，点 在抛物线上；
②过点C作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，设边长为z，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，
得 ，
解得， ，∴ ，
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
即 的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，勾股定理的逆
定理判定直角三角形，等腰三角形的性质，正方形判定和性质，全等三角形判定和性质，待定系数法求函
数解析式，两点之间的距离公式，是解决问题的关键．
42．（2022·湖南邵阳·模拟预测）如图，点 在 的图象上．已知 的横坐标分别为 ，直
线AB与 轴交于点 ，连接 ．(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求 的面积；
(3)若函数 的图象上存在点 ，使 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有 个．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）将 的横坐标分别代入 求出 值，得到 点坐标，再利用待定系数法求出直
线AB的解析式即可；
（ ）求出 的长，根据 求解即可；
（ ）分点 在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可；
此题考查了运用待定系数法求直线解析式，二次函数与图形面积，运用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 在 的图象上， 的横坐标分别为 ，
∴ ， ，
设直线AB的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ；（2）解：在 中，令x=0，则 ，
∴ 的坐标为(0,2)，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过 的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点 ，此时 的面积和 的面积等
于 的面积的一半；
作直线 关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点 ，此时 的面积和 的面积等于
的面积的一半；
∴这样的点 共有 个，
故答案为： ．
43．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，抛物线顶点坐标为点 ，交x轴于点A(3，0)，交y轴
于点B．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结 ， ，当P点运动到顶点C时，求 的铅垂高 及 ；
(3)是否存在一点P，使 ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数与几何图形综合题，要会利用数形结合的思想把
代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问
题．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当 时，分别代入 和 得 ， ，得到 ，进而求解；
（3）假设存在符合条件的点 ，设点 的横坐标是 ， 的铅垂高 ，则
，由 即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线顶点坐标为点 ，且经过点 ，
设抛物线的解析式为： ，
把 代入解析式 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
抛物线与 轴的交点坐标 ，
设直线AB的表达式为 ，
则有： ，解得：
∴直线 的表达式为： ；
（2）解： 点 ，点 在抛物线上，点 在直线上，
当 时，分别代入 和 得 ， ，
，
；
（3）解：假设存在符合条件的点 ，设点 的横坐标是 ， 的铅垂高 ，
则 ，
由 得： ，
化简得 ，
解得 ，
将 代入 得 ，
符合条件的点 的坐标为 ．
44．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线 与 轴正半
轴交于点 ，与 轴于点 ，且过点 ，连接 ．(1)求 的面积；
(2)若点 是抛物线对称轴上一点，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（ ）先求出点 坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点 坐标，最后
利用 即可求解；
（ ）由 可得抛物线的对称轴为直线 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为
，设直线 与抛物线对称轴相交于点 ，点 坐标为 ，可得 ，进而得
，再根据三角形的面积可得 ，据此即可求解；
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的
图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
解得 ， ，
∴ ，
把x=0代入 得， ，
∴ ，
设直线AB的解析式为 ，直线AB与 轴相交于点 ，
把 、 代入 得，，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
把x=0代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由 可得抛物线的对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为y=mx+n，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，设直线 与抛物线对称轴相交于点 ，点 坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
压轴满分题十二、二次函数中的含参应用
45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本 （单位：元）与销售件数 （单位：
件）成正比例．同时每天的销售件数 与销售价格 （单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了
该专卖店某4天销售A产品的数据．
销售价格 （单位：元/件） 25 30 32 38
销售件数 （单位：件） 35 30 28 22
销售成本 （单位：元） 210 180 168 132
(1)直接写出 与 之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为 ，当销售价格 为多少时， 最大？最大值是多少？
(3)该专卖店以每件返现 元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当 元/件时，一天可获得的
利润为600元，求 的值．
【答案】(1)
(2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元
(3)4
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利
润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键．
（1）设y=kx+b(k≠0)，将 代入，求解即可；
（2）设 ，将 代入，求得 ，得到 ，求得 ，即
可求得w的最大值；
（3）根据得出w关于x的二次函数 ，把 代入，可解得a的值．
【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系，
∴设其解析式为y=kx+b(k≠0)，
将 代入，
得 ，
解得： ，∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例，
∴设其解析式为 ，
将 代入，
得 ，
解得 ，
∴ ，
∴
，
∴当 时，
w最大，最大值为729．
∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元；
（3）解：由题意得：
，
把 代入，
得 ，
解得 ．
答：a的值是4．
46．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，
销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y
（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
15
每天销售量y（件） … 240 180 …
0
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（ ）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单
价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，
掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为 ，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质
求解即可；
（3）设 表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在 范围内， 随x的增大
而增大，进而求解即可．
【详解】（1）解：设 ，
由题意得：当 时， ，当 时， ，
∴ ，
解之得 ，
∴ ；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
，又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴当 时， ，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设 表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在 （x为整数）范围内， 随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
47．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销
售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售
出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售
量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为
6000元时，求m的值．
【答案】(1)
(2)该商品的销售单价为25元
(3)m的值为5
【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价 元，则销量减少 件，由此可得y与x之间的关系式为 ，整理即可．
（2）根据总利润=每件利润 销售量，可得方程 ，求出方程的解，再根据题意
选择合适的x的值即可．
（3）根据总利润=（售价 进价 m） 销售量，得 ，求出其对称轴，再根据二
次函数的性质及增减性可得当 时， ，由此得 ，求出m的值
即可．
【详解】（1）由题意得： ，
整理得： ．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴ ．
（2）由题意，得： ，
解之得： ， ，
∵ ，
∴ ．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为： ．
∵ 在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当 时， ．
∴ ，
解得 ．
答：m的值为5．【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题
意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
48．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个 元，经过一段
时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于 个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大
利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于 元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（
），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润 元
(2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是 元，最大利润为 元
(3)
【分析】（1）设 ，由题意知，图象过 ， 两点，待定系数法求得解析式为
，当 时， ，解得 ，根据利润为： ，计算求解即可；
（2）由题意得， ，即 ，设每天的销售利润为W（元），依题意得，
，然后根据二次函数的图象与性质求
解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，
，则抛物线的对称轴为直线 ，由
，可知当 时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得 ，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：设 ，
由题意知，图象过 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ，
利润为： （元），
∴当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润 元；
（2）解：由题意得， ，
解得 ，
设每天的销售利润为W（元），
依题意得， ，
∵ ，
∴当 时，W取最大值，最大值为 ，
∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是 元，最大利润为 元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴当 时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于 元，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次
不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
压轴满分题十三、旋转
49．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，已知点 为正方形 内的一点，连接 ．将线段
绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接， ， ．
(1)如图1，线段 与 的关系是_________；
(2)如图2，点 为正方形 外的一点，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ， ，探
究线段 与 的关系，并说明理由；
(3)如图3，在 中， ， ，点 为 外一点，且 ，点 为 的
中点，连接 ， ， ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2) ， ，理由见解析
(3)14
【分析】（1）根据 证明 ，得出 ， ，然后根据三角形外角的性
质可得出 ，即可得出结论；
（2）类似（1），根据 证明 ，得出 ， ，然后根据三角形外角的性质
可得出 ，即可得出结论；
（3）过B作 交 于E．连接 ，取 中点H，连接 ，根据三角形中位线定理得出
， ，证明 是等腰直角三角形，得出 ， ，证明，得出 ，则可求 ，在 中，根据勾股定理可求出 ，
即可求解．
【详解】（1）解： ，
理由：∵正方形 ，
∴ ， ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
延长 交 于H ，交 于G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
理由：∵正方形 ，
∴ ， ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 交 于H， 与 相交于G，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）解：过B作 交 于E．连接 ，取 中点H，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵H为 中点，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
50．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形
中，点O为对角线 和 的交点，过点O作 的平行线，交 于点E．
猜想证明：
（1）“笃学”小组发现 ，请你证明这一结论；
操作探究：
（2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形 下方作菱形 ，其中 ，连接 ，
，判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）若图2中 ， ，将菱形 绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点
分别为 ， ， ），当 ， 所在直线与 所在直线互相垂直时，请直接写出点 到 的距离．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析；（3） 或【分析】（1）在菱形 中， ，由 ，得到 ，等量代
换 ，则 ；
（2）在菱形 和菱形 中，得到 ， ，故可得四边形
是平行四边形，再证明出 ，则四边形 为矩形；
（3）当 ， 所在直线与 所在直线互相垂直时，垂足记为 ，①点 在 上时，连接 ，连接
，交于点 ，可知旋转后 ，得到旋转角 ，求出
，在菱形 中 ，继而判断出点 落在 上，显然
，则在 中由勾股定理得： ，而 ，故 ，
在 中， ；②点 在 延长线上时，同上可得： ，则
，那么 ，仍然可得点 在 延长线上，此时
，在 中， ．
【详解】（1）证明：在菱形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 为矩形，理由如下：
证明：在菱形 和菱形 中，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（3）解：当 ， 所在直线与 所在直线互相垂直时，垂足记为 ，①点 在 上时，连接 ，连接 ，交于点 ,
∵四边形 是菱形，
∴ ，
则旋转后 ，
∵ ，
∴ ，
∴旋转角 ，
∵ ，
∴
∵菱形 ， ，
∴ ，
∴点 落在 上，
∴
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
在 中由勾股定理得： ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ；
②点 在 延长线上时，
同上可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 延长线上，
此时 ，
∴在 中， ，
综上所述：点 在 延长线上时，当 ， 所在直线与 所在直线互相垂直时，点 到 的距离为
或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性
质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解．
51．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）正方形 和正方形 的边长分别为6和2，将正方形
绕点A逆时针旋转．(1)当旋转至图1位置时，连接 ， ，线段 和 有何关系？请说明理由；
(2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段 的长．
(3)在图1中，连接 ， ， ，请直接写出在旋转过程中 的面积最大值；
【答案】(1) ， ，理由见解析
(2) 或
(3)30
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．
（1）如图1中，证明 ，可得结论；
（2）分两种情形：如图 中，当 ， ， 共线时，连接 交 于 ．如图 中，当 ， ，
共线时，连接 交 于 ，利用勾股定理求出 ，可得结论；
（3）连接 ， ， ， ， ， 交 于点 ，连接 ，过 作 交于 ，则，由
可得当 ， 最大，最后根据 求
解即可．
【详解】（1）结论： ， ，理由如下：
如图1中，设 交 于点 ，交 于点 ，
四边形 ，四边形 都是正方形，
， ， ，，
在 和 中，
，
∴ ，
， ，
，
，
；
（2）解：如图 中，当 ， ， 共线时，连接 交 于 ．
四边形 是正方形，
，
，
，
，
如图 中，当 ， ， 共线时，连接 交 于 ．
同法可得 ，可得 ，
综上所述，满足条件的 的长为 或 ；（3）解：如图1中，连接 ， ， ， ， ， 交 于点 ，连接 ，过 作 交
于 ，则 ，
四边形 ，四边形 都是正方形，
， ， ， ，
， ，
，
，当 ， ， 三点共线时 最大，
此时由 ，即 ，此时 与 重合， 最大，
∵
∴当 时 最大，最大值为 ．
52．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ；
②连接 ，此时 ______°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边 中，点 在内部，且 ， ， ，求 的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 绕点 按顺时针方向旋转
，得到 ，连接 ，寻找 、 、 三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该
问题的解答过程；【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角 中， ， 为 内一点，且 ， ，
，求 ；
【思维拓展】
（4）如图4，若点 是正方形 外一点， ， ， ，求 的度数．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）5；见解析；（3）3；（4） ．
【分析】（1）①根据题意在网格上作出图形即可，②由①可知 是等腰直角三角形，则可以求出
；
（2）将 绕点 按逆时针方向旋转 ，可得 是等边三角形，再用勾股定理求得 ；
（3）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 可得 是等腰直角三角形，再用勾股定理
求得 ；
（4）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，得到 是等腰直角三角形，继而用勾
股定理及其逆定理求解即可．
【详解】解：（1）①如图所示， 即为所求；
② ， ，
；
（2）如图，∵将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，如图：
则 ， ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
（4）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定
理，二次根式的乘法运算，本题难度较大，正确的添加常用辅助线是解题的关键．
压轴满分题十四、垂径定理
53．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，
“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为 ．
(1)观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
(2)联想：
如图2，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，则 _______；(3)迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知
识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
【分析】（1）根据图1中的数据可确定小圆和大圆的半径，即可得出答案；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得 ，根据角平分线的定义可得 ，再根
据等角对等边和 角的直角三角形可得 ， ，可得出答案；
（3）作直线 交圆于点 ， ，作 的垂直平分线 交圆于点 ， ，作 的垂直平分线 交
圆于点 ， ，交 于点 ，过点 作 ，以点 为圆心， 为半径画弧交圆于点 ，连接
并延长交 于点 ，作 的平分线 交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画圆，根据垂径定
理的推论和垂直平分线的性质可确定点 为大圆的圆心，证明 为等边三角形，得到 ，从
而得到 ，再结合（2）的结论可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，小圆半径是： ，大圆半径是： ，
∴小圆与大圆的半径之比是： ，
故答案为： ；
（2）∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ；
（3）作直线 交圆于点 ， ，作 的垂直平分线 交圆于点 ， ，作 的垂直平分线 交
圆于点 ， ，交 于点 ，过点 作 ，以点 为圆心， 为半径画弧交圆于点 ，连接
并延长交 于点 ，作 的平分线 交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画圆，
∵ 垂直平分 ， 是圆的弦，
∴线段 为圆的直径，∵ 垂直平分 于点 ，
∴点 为大圆的圆心， ，
∵以点 为圆心， 为半径画弧交圆于点 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
由（2）知： ， ，
则小 即为所作．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了利用尺规作垂直平分线、过一点作垂线、作一个角的角
平分线、作一条线段等于已知线段，垂径定理的推论，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直
角三角形两锐角互余， 角的直角三角形，等角对等边等知识点．解题的关键是理解题意，利用数形结
合思想解决问题．
54．（2023·广东深圳·模拟预测）[问题提出]
（1）如图①，在等腰直角 中， ， 为等边三角形， ，则线段 的长为 ．
[问题解决]
（2）如图②，在等腰直角 中， ， ，以 为直径作半圆O，点D为 上一动
点，求点 之间的最大距离；
[问题探究]
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由
直角 以及弓形 组成，其中 ，点E为 的中点， ，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到 的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，
你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到 的最大距离．
【答案】（1） ；（2）点 之间的最大距离为 ；（3）小明的说法正确；点A到 的最大
距离为
【分析】（1）连接 ，交 于点E，根据题意 是 的垂直平分线，通过解直角三角形解出 与
的长，两者相加即可解题；
（2）结合图形，可知 三点共线时， 有最大值，根据解直角三角形解出 的长，加上半圆的
半径，即可解答；
（3）作辅助线如图，证明 ，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在 上，当通过勾股定
理求出半径的长度，再算出 的长，即可解答．
【详解】解：（1）如图，连接 ，交 于点E，
是等腰直角三角形， 为等边三角形，
，
，
，
， ，根据三线合一，可得 垂直平分 ，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ；
（2）如图②，连接 并延长交 于点D，则此时 最大．在 上取一点异于点D的点 ，连接
、 ，
在 中， ，
，
，即 ，
此时 最大，
在等腰直角 中，O为 的中点，
，
，
∴点 之间的最大距离为 ；
（3）解：小明的说法正确，
如图③，过点A作 的平行线 ，延长 交 于点F．
∵点E为 中点， ，
所在的圆的圆心O在直线 上，
设圆O半径为r，连接 ，
在 中， ， ， 且 ，
，解得 ，
连接 并延长交 于点 ，则 为最大距离，
在 中， ，且 ， ，
∴小明的说法正确，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
在 中， ，
，
点A到 的最大距离为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
55．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 的弦 与 相交于点E，已知 ，
，且(1)如图1，若 过圆心O，求 的半径；
(2)如图2，若 ，请直接写出点 的半径
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理得到 ，结合勾股定理求解即可得到答案；
（2）连接 ， ， ，过 作 于 ，根据垂径定理得到 ， ，结合勾股定
理求解即可得到答案
【详解】（1）解：∵ ， 过圆心O， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，
∴ ，
解得： ；
（2）解：连接 ， ， ，过 作 于 ，∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ， ，即： ，
在 中，由勾股定理得到， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得到，
，
解得： ；
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
56．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 的直径 与弦 交于点E，
，求 的长．
【答案】【分析】如图，过O作 ，交 于点F，连接 ；由垂径定理可得 ，再根据题意求得
圆的直径 ，则半径 ，进而求得 ；然后根据直角三角形的性质可得 ,再根
据勾股定理可求得 ，最后结合 即可解答．
【详解】解：如图，过O作 ，交 于点F，连接 ，
∴F为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，则 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键．
压轴满分题十五、圆周角与圆心角
57．（北京市十一学校龙樾学校2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试题）在 中，
， ，点P为 内一点．(1)请你按照要求利用尺规作图作出 ，保留作图痕迹；
(2)说明 的理由；
(3)在（1）的基础上过点C作 ，垂足为D．用等式表示线段 与CD之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分别以 为边作正方形 ，得到 ，根据圆周角定理得到
，
（2）由作图得到 ，由等腰直角三角形性质得到 ， ，
由圆周角定理得到 ；
（3）过点B作 ，交 延长线于点E， 交直线 于点F，根据 ，
， ，得到 ，得到 ，证明 ，
，当点P在 左侧时， ， ,得到 ；当点P在 上时，得
到 ；当点P在 右侧时， , ， 得到 ；综合得到
．
【详解】（1）解：分别以点A为圆心， 为半径画弧，以B为圆心， 为半径画弧，两弧相交于点
O，
以O为圆心 长为半径画 ，
在 的劣弧 （不包括端点）上任取一点P，
连接 ，
即为所求作；（2）理由：
在 的优弧 （不包括端点）上取点D，连接 ，
由作图知， ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，证明：
过点B作 ，交 延长线于点E， 交直线 于点F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点P在 左侧时， ， ,
∴ ，
∴ ；
当点P在 上时， ， ，
∴ ；
当点P在 右侧时， ， ，
∴ ，
∴ ．
综上， ．
【点睛】本题考查了尺规作图综合．熟练掌握基本作图——作一条线段等于已知线段，正方形判定和性质，
圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，是解决问题的关
键．
58．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段 ，使用作图工具作 ，尝试操作后思考；
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C
除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决：
①该弧所在圆的半径长为______；② 面积的最大值为______；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记
为 ，请你利用图1证明 ；
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，在如图2所示的矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点
P满足； ，且 （要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹）；
(4)如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点 在第一象限，A、C两点分别在坐标轴
上，若点P是线段AB上一动点（点P可以与点A、B重合），发现使得 的位置有两个，则m
的取值范围为______．
【答案】(1)2；
(2)见详解
(3)见详解
(4)
【分析】（1）连接 ，只要证明 是等边三角形即可；
（2）延长 ，交圆于点D，连接 ，点D在圆上，根据同弧所对的圆周角相等得 ，根
据三角形的外角 ，进而可证明 ；
（3）如图2，作 的垂直平分线，交 于点O；以O为圆心， 为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求；
（4）如图3，在x轴上方作 ，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，作 于E，当
时，以K为圆心， 为半径的圆与 相切，此时 ，在 上只有一个
点P满足 ，
当 时，在 上恰好有两个点P满足 ，此时 ，由此不难得出结
论．
【详解】（1）解：令圆的圆心为O，连接 ，
是等边三角形，
，
过点A作 于点D，
当 过圆心O时， 最大，则此时 面积有最大值，在 中， ，
，
，
故答案为：2；
（2）如图，延长 ，交圆于点D，连接 ，
点D在圆上，
，
，
，
，
即
（3）如图2，作 的垂直平分线，交 于点O；以O为圆心， 为半径作圆，交垂直平分线于点P，
则点P为所求；
（4）如图3，在x轴上方作 ，使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，作 于E，当 时，以K为圆心， 为半径的圆与 相切，此时 ，在 上只有一
个点P满足 ，
当 时，在 上恰好有两个点P满足 ，此时 ，
综上所述：满足条件的m的值的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、作图——复杂作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质
等知识，解题的关键是灵活运用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思
考问题．
59．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1， 是 的弦， ，点 是圆上不与
重合的点，则 ____；
（2）如图2，已知线段 ，点 在 所在直线的下方，且 ，用尺规作图的方法作出满足
条件的点 所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）（3）如图3，已知 中， ，且 ，求 的最大值．
【答案】（1） 或 ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形， ，得到 ，或
；
（2）根据等边三角形性质和圆周角定理可得 ,根据圆内接四边形性质得到 ；
（3）以 为边向上作等边 ，延长 交于点D，可得 ，得到 ，得
到 ，点D在以 为圆周角的圆上运动，设圆心为O，得到 ，得到
为等边三角形，根据 ， ，得到 最大值为 ，即得 的
最大值为 ．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ， ，
故答案为： 或 ；（2）以 为边作等边 ，
以O为圆心， 长为半径作 ，
在劣弧 上任取点C（不包含端点），连接 ，
即为所求作；
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）以 为边向上作等边 ，延长 交于点D，
则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点D在以 为圆周角的圆上运动，
设圆心为O，连接 ，
则 ， ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴当 过点O时，
取得最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握勾股定理的逆定理，圆周角定理，圆内接四边形性质，
等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形判定和性质，是解决问题的关键．
60．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，
可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 中， ， ，D是 外一点，且 ，求 的度数．
若以点A为圆心， 长为半径作辅助圆 ，则C、D两点必在 上， 是 的圆心角，
是 的圆周角．则 ______．
[初步运用]
（2）如图2，在四边形 中， ， ，则 ______°；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段 和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得 （不写作法保
留作图痕迹）；[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形 ， ， ，M为边 上的点，若满足 的点M恰
好有两个，则m的取值范围为______．
②如图4②，在 中， ， 是 边上的高，且 ， ．求 的长．
【答案】（1） ；（2）25；（3）见解析；（4）① ；②
【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取 的中点 ，连接 、 ．由直角三角形的性质证明点 、 、 、 共圆，由圆的性质得
出 ，则可得出答案；
（3）作出等边三角形 ，再以O为圆心， 为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线 的交点即为点
P；
（4）①在 上截取 ，连接 ，以 为直径 ，由图形可知 ，由勾股定理
求出 和 的长，则可得出答案；
②作 的外接圆，过圆心 作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、 ．由圆周角
定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1） 是 的圆心角， 是 的圆周角， ，
；
故答案为： ；（2）如图2，取 的中点 ，连接 、 ．
，
， ，
，
点 、 、 、 共圆，
，
，
．
故答案为：25；
（3）作图如下：
由图知， ；同理 ．
（4）① ．理由如下：
在 上截取 ，连接 ，以 为直径作 ， 交 于 ，交 于 ，连接 ，过圆
心 作 于 且交圆 于 ，过 作 的切线 交 于 交 于 ，如图所示：，
，
的半径为 ，即 ，
∵ ，
，
，
，
，
，即 ，
故答案为： ；
②如图，作 的外接圆，过圆心 作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、 ，则
四边形 是矩形，
∴ ．
，
．
在 中， ，
．
， 为圆心，，
．
在 中， ， ，
．
在 中， ， ，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三
角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
压轴满分题十六、直线与圆的位置关系（切线长定理）
61．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿
边以 的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿 以 的速
度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，几秒后， 的面积等于 ？
(2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、 为半径的 与 相切，求t值；
(3)若以Q为圆心， 为半径作⊙Q．如图3，若 与四边形 的边有三个公共点，则t的取值范围
为 ．（直接写出结果，不需说理）
【答案】(1)2秒或4秒
(2)
(3)【分析】（1）由题意可知 ， ，从而得到 ， ，然后根据 的面积为
列方程求解即可；
（2）如图1所示：连接 ．依据勾股定理可求得 的长，然后依据切线长定理可知 ，从而
可求得 的长，由圆的半径相等可知 ，然后在 中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）先求得 与四边形 有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，则 ，
∵
∴ ，
解得 或 ，
故当运动时间为2秒或4秒时， 的面积为 ；
（2）解：如图1，设切点为 ，连接 ．
∵ ，
∴ 与 相切，
∴ 分别与 ， 相切，
∴ ．
∵ 与 相切，
∴ ，
在 中，依据勾股定理可得 ．
∴ ．
∵ ，∴ ， ．
在 中，依据勾股定理可得， ，
解得 ；
（3）解：（Ⅰ）当 时，如图4所示：
与四边形 有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：
当 经过点D时， 与四边形 有两个公共点，则 ，
得方程 ，
解得： （舍）， ，
∴当 ， 与四边形 有三个公共点．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长
定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键．
62．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】
（教材P74第10题）如图①，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ． 和 相等
吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）【逆向思考】
(1)如图（1）， 为 内一点， 的延长线交 的外接圆于点 ．若 ，求证： 为
的内心；
【拓展提高】
(2)如图（2）， 的半径长为5，弦 ，动点 在优弧 上（不与 、 重合）， 是 的内
心．
①点 到 上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
② 的最大值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接 ，由 ，可知 ，得到 ，从而推出 平分
，然后由 ，可知 ，通过三角形的外角可推出 平分 ，得证．
（2）①作 的延长线交 于点 ，连接 ， ，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，
可推出 ，再由三角形外角的可推出 ，结合 ，
从而推出 ，即 ，可得点 为所求；②由①可知 ，从而推出当 为 的直径时， 取得最大值，设 交 于点 ，连接
，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得 ， ，然后利用勾股定理先求
得 ，即可得到 ，从而求得 的最大值．
【详解】（1）证明：连接 ，如图
平分
是 的一个外角
，
平分
为 的内心
（2）解：①作 的延长线交 于点 ，连接 ， ，如图
是 的内心，
， 点为 中点
又 和 为 所对的圆周角
是 的一个外角
是一个定值
故延长 交 于点 ，点 即为所求，如图：
②如①图， ，
当 取最大值时， 取得最大值
当 为 的直径时， 取得最大值，如下图所示，
设 交 于点 ，连接
是 的内心是 的直径
，
的半径长为5，
， ，
的最大值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的
判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键．
63．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】
如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好
圆”，矩形是圆的“友好矩形”．
【理解】
（1）如图①，四边形 是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知 ，则它有
___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）；
【思考】
（2）如图③，矩形 中， ， ， 是矩形 中经过点C、B的“友好圆”，求
的半径．
【探究】
（3）如图④，已知矩形 ，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤）
【答案】（1）4；无数个；（2） （3）见解析
【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平
行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义
矩形有无数个；
（2）设 与 切点为E，连接 并延长交 于F，连接 ，设 ，则 ，
，由勾股定理，得 解答即可．
（3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可．
【详解】解：（1）四边形 是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”；
已知 ，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”，
故答案为：4，无数．
（2）解：如图， ， ，矩形 ，
则 ， ， ，设 与 切点为E，连接 并延长交 于F，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，设 ，
则 ， ，
根据勾股定理，得 ，
故 ，
解得
（3）解：作线段 的垂直平分线 ，交 于点F，交 于点E，
连接 ，作线段 的垂直平分线 ，交 于点Q，
以点Q为圆心，以 为半径作 ，则 即为所求．
证明：作线段 的垂直平分线 ，交 于点F，交 于点E，
连接 ，作线段 的垂直平分线 ，交 于点Q，
则 ， ， ，
故 ， ，
故点B，C都在 上，且 是 的切线，
故 是过点B、C的“友好圆”．
【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直
平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键．
64．（2024·江西南昌·模拟预测）定理证明：
（1）如图1， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： ；
定理应用：
（2）如图2， 是⊙ 的内接等腰三角形， ， ， 是 的切线，若
，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由切线的性质得到 ，再由等边对等角得到 ，则可证明
，进而证明 ．
（2）先证明 ，由切线的性质得到 ，则 ，由
圆周角定理得到 ，则 ，由平行线的性质得到 ，则可证明
，得到 ，进而可证明 是等边三角形， 是等边三角形，则四边形是菱形，作 于点 ，则 ， ，求出 ，则
．
【详解】（1）证明：如图1，连接 、 、 ，
， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，连接 、 ，则 ，
，
，
，
与 相切于点 ，
，
，，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
四边形 是菱形，
作 于点 ，则 ， ，
，
，
四边形 的面积是 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股
定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键.
压轴满分题十七、弧长、扇形与圆锥相关的计算
65．（2024·广东惠州·三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，
弦 于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．(1)填空： °；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2) 与 相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ， ，根据全等三角形的性质得到
，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理得到 ，连接 ，根据三角
形中位线定理得到 ， ，求得 ，得到 ，根据三
角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 弦 于 ， 是 的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解： 与 相切，
理由如下：
连接 ，如图所示：弦 于 ， 是 的直径，
， ，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（3）解： 是 的直径，
，
， ，
，
，
连接 ，如图所示：
点 是 的中点，
，
，
是 的中位线，
， ，，
，
，
图中阴影部分的面积 的面积 扇形 的面积 的面积
．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定
理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
66．（2024·贵州黔东南·一模）如图， 为 的弦， 为 的直径， 与 相交于点 ，连接
， ， ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理求出 ， ，根据直角三角形的性
质求出 ，则 ，再根据角的和差即可得证；
（2）根据圆周角、弧的关系求出 ，再根据垂径定理推理即可得证；
（3）结合（2）求出 ， ，由勾股定理得到 ，再根据图中阴影部分的面积
求解即可．
【详解】（1）证明： 为 的直径，
，，
，
，
，即 ，
，
；
（2）证明： ，
，
为 的直径，
；
（3）解：连接 ，如图所示：
由（2）知， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
图中阴影部分的面积 ．
【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、
垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
67．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为 的圆形滤纸片按图1所示的
步骤进行折叠，并围成圆锥形．(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 长为 ，开口圆的直径为 ．当滤纸
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 ，开口圆的直径为 ，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)能，见解析
(2)
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
（2）求出扇形弧长为 ，则圆心角为 ，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最
外层侧面展开图的圆心角也应为 ，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧
面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥
侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为 圆，则围成的圆锥形的侧面积 ．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为 度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为： ，
该侧面展开图的圆心角为 ．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
（2）如果抽象地将母线长为 ，开口圆直径为 的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形
弧长为 ，
圆心角为 ，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为 ，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积 ．
68．（2024·山东临沂·二模）如图， 是直角三角形， ，利用直尺和圆规按下列要求作图，
并在图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）①作 的平分线，交 于点 ；②以 为圆心， 为半径作圆．
【综合运用】
在你所作的图中，
（2） 与 的位置关系并加以证明．
（3）若 ， ，求 的半径．
（4）在（3）的条件下，求以 为轴把 旋转一周得到的圆锥的侧面积和全面积．
3
【答案】（1）见解析；（2）相切，见解析；（3） ；（4）圆锥的侧面积和全面积分别为 和 ．
2
【分析】本题考查圆的综合题和尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图、切线的判定定理、圆锥的侧面积公式和勾股定理．
（1）先作基本图形（作一个角的平分线）得到点O，然后作 ；
（2）过点O作 于E，根据角平分线性质可得 ，则可根据切线的判定定理即可证明；
（3）设 的半径为r，则 ，先利用勾股定理计算出 ，再利用三角形面积公式得到
，代入，然后解方程即可；
（4）根据圆锥的侧面积公式及全面积即可得结论．
【详解】解：（1）如图1所示：
（2）直线AB与 相切，理由如下：
过点O作 于E，
∵ 平分 ，
而 ， ，
∴ ，
∴AB为 的切线；
（3）设 的半径为r，则 ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
3
即⊙O的半径为 ；
2
（4）底面圆的周长为： ，
侧面积为： ，
底面积为： ，
全面积为： ，
圆锥的侧面积和全面积分别为 和 ．
