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3.1 从算式到方程
方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
注意：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
一元一次方程的有关概念 注意： “元”是指未知数，“次”是指
未知数的次数，一元一次方程满足条
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 件：
1，这样的方程叫做一元一次方程.
①首先是一个方程;②其次是必须只含
有一个未知数;③未知数的指数是1;④分
母中不含有未知数．
题型1：方程及一元一次方程的定义
1.下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；
⑦ ； ⑧ ．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．
①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也
可以是多个．
【变式1-1】下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．2x=3y B．7x+5=6(x−1)
1 1
C．x2+ (x−1)=1 D． −2=x
2 x【答案】B
【解析】【解答】解：A.2x=3 y，含有两个未知数，故不符合题意；
B. 7x+5=6(x−1) ，是一元一次方程，符合题意；
1
C. x2+ (x−1)=1 ，最高为2次，不是一元一次方程，故不符合题意；
2
1
D. −2=x，不是整式方程，故不符合题意，
x
故答案为：B.
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可。
y−1 y 5
【变式1-2】已知下列方程：① = +1；②x+y；③x＝0； ④x2+4x；⑤﹣3= ；⑥x（1﹣2x）
2 3 x
＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥
【答案】B
y−1 y
【解析】【解答】解：① = +1是一元一次方程；
2 3
②x+y不是方程；
③x＝0 是一元一次方程
④x2+4x不是方程；
5
⑤﹣3= 不是一元一次方程；
x
⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1，不是一元一次方程
故①③是一元一次方程，
故答案为：B
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为 1且两边都为整式的等式。 根
据一元一次方程的定义对每个方程一一判断即可。
x 3
已知下列方程① 3x＝6y；② 2x＝0；③ ＝4x+x﹣1；④3x＝1；⑤x2+2x﹣5＝0；⑥ ﹣2＝2．其中
3 x
一元一次方程的个数是 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：① 3x＝6y含有两个未知数，故①不是一元一次方程；
② 2x＝0，含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故②是一元一次方程；
x
③ ＝4x+x﹣1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故③是一元一次方
3
程；
④3x＝1含一个未知数，并且含未知数的项的次数为1，是一元一次方程，故④是一元一次方程；
⑤x2+2x﹣5＝0含一个未知数，并且含未知数的项的次数为2，故⑤不是一元一次方程；3
⑥ ﹣2＝2分母中有未知数，不是整式方程，故⑥不是一元一次方程．
x
故答案为：B．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 根据
一元一次方程的定义一一判断即可。
题型2：利用一元一次方程的定义求值
2.已知(m−2)x|m|−1+3=12是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A．m=1 B．m=2 C．m=−2 D．m=±2
【答案】C
【解析】【解答】解：根据一元一次方程的定义，可得：|m|−1=1，且m−2≠0，
可解得m=−2，
故答案为：C．
【分析】根据一元一次方程的定义可得|m|−1=1，且m−2≠0，再求出m的值即可。
【变式2-1】已知关于x的方程(m−2)x|m−1|=0是一元一次方程，则m的值是（ ）.
A．2 B．0 C．1 D．0或2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程(m−2)x|m−1|=0是一元一次方程，
∴|m-1|=1，
整理得：m-1=1或m-1=-1，
解得：m=2或0，
把m=2代入m-2得：2-2=0（不合题意，舍去），
把m=0代入m-2得：0-2=-2（符合题意），
即m的值是0，
故答案为：B．
【分析】根据一元一次方程的定义可得|m-1|=1，求出m的值，再根据m−2≠0可求出m=0。
【变式2-2】如果方程（m+1）x2|m|﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，那么m的值是（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2|m|-1+2＝0是关于x的一元一次方程，
{ m+1≠0
∴ ，
2|m|−1=1
∴m=1.
故答案为：D.
{ m+1≠0
【分析】根据一元一次方程的定义得出 ，得出m=1，即可得出答案.
2|m|−1=1题型3：一元一次方程的解
3.已知x＝﹣2是方程2x+m﹣4＝0的解，则m的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．0 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x＝﹣2是方程2x+m﹣4＝0的解，
∴2×(−2)+m−4=0 ，
解得： m=8 .
故答案为：A.
【分析】根据方程解的概念，将x=-2代入原方程中可得关于m的方程，求解即可.
【变式3-1】已知3是关于x的方程2x−a=1的解，则a的值是（ ）
A．−5 B．5 C．7 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：将x＝3代入方程2x﹣a＝1得：6﹣a＝1，
解得：a＝5．
故答案为：B．
【分析】将x＝3代入方程中即可求出a值.
【变式3-2】已知关于x的方程2x+a=1-x与方程2x-3=1的解相同，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．5 D．-5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵2x-3=1，
∴x=2，
∵方程2x+a=1-x与方程2x-3=1的解相同，
∴2×2+a=1-2，
∴a=-5.
故答案为：D.
【分析】先求出方程2x-3=1的解，再代入方程2x+a=1-x，得出关于a的方程，解方程即可得出a的
值.
题型4：根据题意列方程
4.设某数为x，根据下列条件列出方程：
1
（1）某数的 比它的3倍少7．
2
（2）某数比它的2倍多1．
（3）某数的3倍与2的和是它的一半．
3 1
（4）某数的 与6的差的绝对值是 ． ．
5 21 1 3 1
【答案】3x﹣ x=7；x﹣2x=1；3x+2= x；| x﹣6|=
2 2 5 2
1
【解析】【解答】解：（1）3x﹣ x=7；
2
（2）x﹣2x=1；
1
（3）3x+2= x；
2
3 1
（4）| x﹣6|= ．
5 2
【分析】设某数为x，根据其与其他数的关系列出方程即可．
【变式4-1】按照下面的程序计算，如果输入的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有
个．
【答案】3
【解析】【解答】解：当第一次输出的结果为94时，则有：3 y+1=94，解得：y=31，
当第二次输出的结果为94时，则有：3(3 y+1)+1=94，解得：y=10，
当第三次输出的结果为94时，则有：3[3(3 y+1)+1]+1=94，解得：y=3，
2
当第四次输出的结果为94时，则有：3 y+1=3，解得：y= ，
3
∵输入的值是正整数，
∴满足条件的y的值有3个；
故答案为：3．
【分析】当输出结果是94，代入3y+1，求出y，再把求得的这个y值作为输出结果代入3y+1，求得
y，一直下去，即可得出正整数y的值的个数。
【变式4-2】某校举行“为贫困地区孩子捐书”活动，七、八、九年级捐书的数量比为2：3：4，且这
次活动三个年级共捐书1890本，求三个年级各捐书的本数．若设七年级捐书2x本．
（1）根据题意可列方程为 ；
（2）九年级共捐书 本．
【答案】（1）2x+3x+4x=1890
（2）840
【解析】【解答】解：（1）设七年级捐书2x本，
∵七、八、九年级捐书的数量比为2：3：4，
∴八年级捐书3x本，九年级捐书4x本，又∵一共捐书1890本，
∴2x+3x+4x=1890，
故答案为：2x+3x+4x=1890；
（2）∵2x+3x+4x=1890，
∴x=210，
∴4x=840，
∴九年级捐书840本，
故答案为：840．
【分析】（1）设七年级捐书2x本，则八年级捐书3x本，九年级捐书4x本，根据等量关系即可列出
方程；
（2）解（1）中的方程求得x的值，则九年级共捐书4x本，代入求值即可。
等式的性质 注意：
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等
（1）根据等式的两条性质，对等式进行
式.
变形，等式两边必须同时进行完全相同
2．等式的性质：
的变形；
等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式
子），结果仍相等.即： (2) 等式性质1中，强调的是整
式，如果在等式两边同加的不是整
如果 ，那么 (c为一个数或一个式
式，那么变形后的等式不一定成立，
子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不
如x＝0中，两边加上 得x＋
为0的数，结果仍相等.即：
，这个等式不成立;
如果 ，那么 ；如果 ，那么
(3) 等式的性质2中等式两边都除以
同一个数时，这个除数不能为零．
.
题型5：利用等式的性质变形
5.下列变形正确的是（ ）
A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5
2 1
B． x－1＝ x+3变形得4x－6＝3x＋18
3 2
C．3（x－1）＝2（x＋3）变形得3x－1＝2x＋6
D．6x＝2变形得x＝3
【答案】B
【解析】【解答】解：A、4x-5=3x+2变形得：4x-3x=-2-5，不符合题意；
2 1
B、 x-1= x+3变形得：4x-6=3x+18，符合题意；
3 2
C、3（x-1）=2（x+3）变形得：3x-3=2x+6，不符合题意；
1
D、6x＝2变形得x＝ ，不符合题意．
3
故答案为：B．【分析】利用等式的性质逐项判定即可。
【变式5-1】下列等式变形中，变形的结果一定正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+3b＝5b B．如果a＝3，那么a﹣b＝3+b
C．如果m＝n，那么mc＝nc D．如果mc2＝nc2，那么m＝n
【答案】C
【解析】【解答】解：A、等式两边都加3b，得a+3b＝4b≠5b，故A不符合题意；
B、等式两边都减b，得a﹣b＝3-b≠3+b，故B不符合题意；
C、两边都乘以c，得mc＝nc，故C符合题意；
D、c＝0时，除数为0无意义，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据等式的性质逐项判断即可。
【变式5-2】下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x=5，得x=5+3．
7
（2）由7x=﹣4，得x=- ．
4
1
（3）由 y=0，得y=2．
2
（4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3．
【答案】解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，
∵方程左边减3，方程的右边加3，
∴变形不正确；
7
（2）由7x=﹣4，得x=- ，变形不正确，
4
7
∵左边除以7，右边乘 ，
16
∴变形不正确；
1
（3）由 y=0，得y=2，变形不正确，
2
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）由3=x﹣2，得x=﹣2﹣3，变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
【解析】【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；
7
（2）根据左边除以7，右边乘 ，可得变形不正确；
16（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；
（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．
【变式5-2】从2a+3=2b+3能否得到a=b，为什么？
【答案】解：能.2a+3-3=2b+3-3
2a÷2=2b÷2
a=b
【解析】【分析】能．首先根据等式的性质1，等式的两边同时减去3，然后利用等式的性质2，等式
的两边同时除以2，所得结果就是a=b
题型6：等式的性质的应用
6.如图，图①是一个平衡的天平，图②是由图①变化得到的仍保持平衡的天平.能描述这个变化过
程的等式性质是（ ）
a b
A．如果 a=b ，那么 ac=bc B．如果 a=b ，那么 = (c≠0)
c c
C．如果 a=b ，那么 a+c=b+c D．如果 a=b ，那么 a2=b2
【答案】C
【解析】【解答】解：图片可以理解为等式两边同时加上一个数，等式不变，
即如果 a=b ，那么 a+c=b+c .
故答案为：C.
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的
两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
【变式6-1】如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根
据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：因为第①个天平是平衡的，所以一个球的重量=两个圆柱的重量；
②中2个球的重量=4个圆柱的重量，根据等式1，即可得到①的结果；
③中，一个球的重量=两个圆柱的重量；
④中，一个球的重量=1个圆柱的重量；
综上所述，故选C．【分析】根据第①个天平可知，一个球的重量=两个圆柱的重量．根据等式的性质可得出答案．
【变式6-2】设“ ， ， ”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果
要使第三架天平也平衡，那么在右盘处应放“■”的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：根据图示可得，
2×○=△+□（1），
○+□=△（2），
由（1），（2）可得，
○=2□，△=3□，
∴○+△=2□+3□=5□，
故选D．
【分析】首先根据图示可知，2×○=△+□（1），○+□=△（2），据此判断出○、△与□的关系，然后
判断出结果．
从算式到方程
一、单选题
1．已知mx = my，下列结论错误的是（ ）
A．x = y B．a+mx=a+my C．mx－y=my－y D．amx=amy
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由mx=my变形为x=y，是在等式的两边除以了同一个整式m，根据等式的
性质2，m≠0才成立，而这里没有强调m≠0，故错误，符合题意；
B、由mx=my变形为 a+mx=a+my ，根据等式的性质1，是在等式的两边加上了同一个整式a，故正
确，不符合题意；
C、由mx=my变形为 mx－y=my－y ，根据等式的性质1，是在等式的两边减了同一个整式y，故正
确，不符合题意；
D、由mx=my变形为 amx=amy ，根据等式的性质2，是在等式的两边乘以了同一个整式a，故正确，
不符合题意.故答案为：A.
【分析】根据等式的性质即可一一判断得出答案.
2．2010年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无
座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是（ ）
A．30x－8＝31x＋26 B．30x＋8＝31x＋26
C．30x－8＝31x－26 D．30x＋8＝31x－26
【答案】D
【解析】【分析】应根据实际人数不变可列方程，解出即可得出答案
【解答】由题意得：30x+8=31x-26，
故选D．
3．已知等式ax=ay，则下列变形不正确的是（ ）
ay ax
A．x=y B．ax﹣1=ay﹣1 C． = D．3﹣ax=3﹣ay
3 3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、当a=0时，x与y的大小不确定，故本选项错误；
B、∵ax=ay，∴ax﹣1=ay﹣1，故本选项正确；
ay ax
C、∵ax=ay，∴ = ，故本选项正确；
3 3
D、∵ax=ay，∴﹣ax=﹣ay，∴3﹣ax=3﹣ay，故本选项正确．
故选A．
【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
4．下列方程中，解是x=1的是（ ）
x
A．2x-3=1 B．2x+3=1 C．1.5=1+ D．-3x-4=-x
2
【答案】C
【解析】【分析】把x=1逐一代入各方程，若方程两边相等，则x=1即为此方程的解．
【解答】（1）把x=1代入得，左边=2×1-3=-1≠1，故不成立；
（2）把x=1代入得，左边=2×1+3=5≠1，左边≠右边，故不成立；
1
（3）把x=1代入得，右边=1+ =1.5=左边，故成立；
2
（4）把x=1代入得，左边=-3×1-4=-7≠右边=-1，故不成立；故选C．
【点评】此题比较简单，最直接的方法就是把x=1代入各方程进行逐一验证．
5．下列变形中属于移项的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】C
【解析】【解答】移项的概念是把左边的项移到右边或把右边的项移到左边，同时变号，C符合．
【分析】明确移项的概念，注意符号的变化．
6．一个教室有5盏灯，其中有40瓦和60瓦的两种，总的瓦数为260瓦，则40瓦和60瓦的灯泡个数
分别是（ ）
A．1，4 B．2，3 C．3，2 D． 4，1
【答案】B
【解析】【解答】设40瓦的灯泡有x个，则60瓦的灯泡有（5-x)个，根据总瓦数可以列出方程
40x+60(5-x)=260求解得x=2，5-x=3，故选B．
【分析】根据题意列出方程求解，是一个找到等量关系的过程，把握题目当中基本等式，列出方程是
解题的关键．
二、填空题
7．关于 x 的一元一次方程 2ax−x=4b−1 的解是 x=−2 ，则 a+b 的值是 .
3
【答案】
4
【解析】【解答】解：∵2ax−x=4b−1 的解是 x=−2 ，
∴2a×(−2)−(−2)=4b−1 ，
3
变形得： a+b= ，
4
3
故答案为： .
4
【分析】把x=-2代入原方程得出a与b的关系式，再根据等式的性质变形即可求值.8．已知关于x的方程(k﹣1)x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】【解答】解:根据题意得:|k=1,且k-1≠0,计算得出:k=-1,
因此, 本题符合题意答案是:-1.
【分析】根据一元一次方程定义可得:|k|= 1,且k﹣1≠0,再解即可.
9．若关于x的方程 ax−3=2x+b 的解为任意数，则 a+2b 的值为
【答案】-4
【解析】【解答】解：由 ax−3=2x+b 可得： (a−2)x=b+3 ，
∵关于x的方程 ax−3=2x+b 的解为任意数，
∴a−2=0,b+3=0 ，解得： a=2,b=−3 ，
∴a+2b=2+2×(−3)=−4 ；
故答案为：-4.
【分析】根据题意可得 a−2=0,b+3=0 ，然后求解a、b的值，最后代入求解即可.
10．在等式（a+1）x=2+3x中，若x是负整数，则整数a的取值是 ．
【答案】0或1
【解析】【解答】解：（a+1）x=2+3x
（a﹣2）x=2，
2
则x= ，
a−2
∵x是负整数，
∴x=﹣1，或x=﹣2，
则整数a的取值是：0或1．
故答案为：0或1．
【分析】直接利用将原式变形得出x的值的值，进而求出a的值．
11．将方程 5 y−x=2 变形成用含y的代数式表示x，则x＝ .
【答案】5y-2
【解析】【解答】∵5 y−x=2
∴x=5 y−2
故答案为：5y-2.
【分析】直接根据移项的方法进行解答.
三、解答题12．一个正方形花圃边长增加2cm，所得新正方形花圃的周长是28cm，则原正方形花圃的边长是多少？
（只列方程）
【答案】解：设原正方形的边长为xcm ，根据题意得：4（x+2）=28
【解析】【分析】设原正方形的边长为xcm ，则新正方形的边长为（x+2）cm，根据正方形的周长计
算方法即可列出方程。
3 5
13．晶晶看一本书，第一天看了总页数的 ，第二天看的是第一天的 ，剩下12页没有看完．这
5 8
本书有多少页？
3 5 3
【答案】解：设这本书有 x 页，根据题意可得方程： x+ × x+12=x ，
5 8 5
解得： x=480 ，
答：这本书有480页。
【解析】【分析】本题可以用方程作答，即设这本书有x页，可以存在的等量关系是：第一天看的页
数+第二天看的页数+还剩下的页数=这本书的总页数，据此列式作答即可。
14．用方程解答.
（1）x的 2 倍比 36 的一半多 9 ，求 x .
4 8 2
（2） 减 的差乘一个数，等于 ，这个数是多少？
5 15 7
1
【答案】（1）解： 2x−36× =9
2
27
x=
2
（2）解：设这个数为x，得：
4 8 2
（ − ）x=
5 15 7
15
x=
14
【解析】【分析】（1）根据题中的数量关系直接列出方程，然后求解即可.
4 8 2
（2）先求出 与 的差，再乘以x即等于 ，据此列出方程，然后求解即可.
5 15 7
(a+b)ℎ
15．已知梯形的面积公式为S=
2
（1）把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式（2）若a：b：S=2：3：4，求h的值．
【答案】（1）解：
(a+b)ℎ
∵S= ，
2
∴2S=（a+b）h，
2s
∴h= ；
a+b
（2）解：
∵a：b：S=2：3：4，
∴设a=2x，b=3x，S=4x，
2S 2×4x 8
∴h= = = ．
a+b 2x+3x 5
【解析】【分析】（1）利用等式的基本性质2，变形得出即可；
（2）利用a：b：S=2：3：4，设a=2x，b=3x，S=4x，进而代入求出即可．
