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专题 23 图形的相似与位似【十四大题型】
【题型1 利用比例的性质求值】..............................................................................................................................4
【题型2 黄金分割】..................................................................................................................................................4
【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】.................................................................................................5
【题型4 平行线分线段成比例（A型）】..............................................................................................................6
【题型5 平行线分线段成比例（X型）】..............................................................................................................8
【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】.........................................................................................9
【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】...................................................................................10
【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】.......................................................................................11
【题型9 相似多边形的性质】................................................................................................................................12
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】........................................................................................14
【题型11 求位似图形的坐标】................................................................................................................................16
【题型12 求位似图形的线段长度】........................................................................................................................17
【题型13 求位似图形的周长】................................................................................................................................18
【题型14 求位似图形的面积】................................................................................................................................19
【知识点 图形的相似与位似】
1.比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的
a c
比相等，如 = （即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组
b d
成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
a b
【补充】当比的内项相等时，即 = 或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项.
b d
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线
段的比是否相等即可；
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a c
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成 = （即：
b d
第一条 第三条 a d
= ），而不能写成 = .
第二条 第四条 b c
比例的性质：
a c a b
1）基本性质： = ⇔ad=bc = ⇔b2=ac
b d b c
a b
{& = ，(交换内项)
c d
a c d c
2）变形： = ⇔ & = ，(交换外项) 核心内容：ad=bc
b d b a
d b
& = ．(同时交换内外项)
c a
a c a±b c±d
3）合、分比性质： = ⇔ =
b d b d
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和
b−a d−c
{& =
a c a c
差变化比例仍成立．如： = ⇒
b d a−b c−d
& =
a+b c+d
a c e m a+c+e+⋯+m
4）等比性质：如果 = = =⋯= =k， 那么 =k(b+d+f +⋯+n≠0).
b d f n b+d+f +⋯+n
a c a c a+c
【补充】根据等比的性质可推出，如果 = ，则 = = (b+d≠0).
b d b d b+d
AC BC
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 = ,那么线段AB被点C黄金分割，点C
AB AC
叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
√5−1 √5−1 长 短 √5−1
【注意】1）AC= AB≈0.648AB ( 叫做黄金分割值). 简记为： ＝ ＝
2 2 全 长 2
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
1
①经过点B作BD⊥AB，使BD= AB.
2
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②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC
①已知l∥l∥l, 可得 = 或 = 或 = 或 = 或 = 等
3 4 5
BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一 边的直线截其它两边（或
两边的延长线）所得的对应线段成比例．
2.相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
3.位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的
两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图
形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
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判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
【题型1 利用比例的性质求值】
【例1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习
内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应
填
2
【答案】
x x−y
【变式1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若 =2，则 = ．
y y
x y z
【变式1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知 = = ，且3x+4z−2y=40，则x的值为 ．
2 3 5
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若
▲ ●−◆ ◆
= = ，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
● ▲ ●+▲
A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4
【题型2 黄金分割】
【例2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长
1
为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧
2
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交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB=2，则CD的长为（ ）
A．√5−1 B．3−√5 C．√5+1 D．3+√5
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成
立的是（ ）
AB AP AB BP
A． = B． =
AP BP BP AP
AP √5−1 AB √5−1
C． = D． =
BP 2 AP 2
【变式2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐
器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为
．
【变式2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，
沿CB为折痕折叠B´C交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则sin∠BCM
的值为（ ）
√5−1 √5+1 √5−1 1
A． B． C． D．
2 2 4 2
【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】
【例3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，
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1
大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说
2
法错误的是（ ）
1
A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD= AB
2
1
C．DE= BC D．S :S =1:4
2 △ADE 四边形DBCE
【变式3-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，
连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）
AN 1 DN 2 AD 1 NE 1
A． = B． = C． = D． =
AF 2 DE 3 AC 2 FC 2
【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC
于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）.
AD AE AF DF AE AF DE AF
A． = B． = C． = D． =
BD EC AE BE EC FE BC FE
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F
分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错
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误的是（ ）
AE BE EH DH EG AE AG BG
A． = B． = C． = D． =
ED EH EB CD BG BC FG GH
【题型4 平行线分线段成比例（A型）】
【例4】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，
AE 2
EF∥AC交BC于点F， = ，BF=8，则DE的长为（ ）
BE 5
16 16
A． B． C．2 D．3
5 7
【变式4-1】（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，
DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）
A．1.5 B．√2 C．√3 D．2
【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角
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∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度
为 m（参考数据√3=1.732，结果精确到0.1）．
【变式4-3】（2023·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片
剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在
“小纸片①”中，较长直角边= cm．
【题型5 平行线分线段成比例（X型）】
【例5】（2023·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点
E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．2√2 B．3 C．√13 D．√5
【变式5-1】（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，
BE
OF=1，FD=2.则 的值为 ．
EC
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【变式5-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线
上，且DE∥BC．若AE=2,AC=4，AB=5，则AD的长为 ．
【变式5-3】（2023·重庆渝中·统考一模）已知 ▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别
相交于点G，F．求证：CF2=EF⋅GF．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】
【例6】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD= ．
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【变式6-1】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
【变式6-2】（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在
▱
ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F
是
▱
ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
5 3
A． B． C．3 D．2
2 2
【变式6-3】（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD
1
相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC
2
于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=4√2，则OG的长度为（ ）
4
A．1 B．2 C． D．√2
3
【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】
【例7】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，
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5
CE=2，CA=5，AD=4，BD= ，则sin∠DOB的值是 ．
2
【变式7-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，
BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，则线段FC的长为 ．
【变式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交
BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．
【变式7-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，
∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE= ．
【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】
【例8】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，
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BG 1
若 = ，EF=2√5，则菱形ABCD的边长是（ ）
CG 3
14
A．3√5 B． √5 C．5 D．6
5
【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，
3
AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC= ，N为BM的中点，G为AC的中点，若
4
BC=14，则线段NG的长为 ．
【变式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC
绕点C逆时针旋转α°(0°<α°<90°)，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，射线ED分别交
BC，AB于点F，M，当△MFB为等腰三角形时，AM的长为 ．
【变式8-3】（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，点P是△ABC内部一点，且PA=PB=PC，
∠ABC=45°，点D在AC上，连接DP并延长交BC于点E，若CD=3AD，∠APD=∠CBP，PE=√7
则线段PD的长为 ．
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【题型9 相似多边形的性质】
【例9】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已
知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形
BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S，S，S，S，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不
1 2 3 4
用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S﹣S B．S+S C．S﹣S D．S+S
1 2 1 3 4 2 3 4
【变式9-2】（2023·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形
相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则
新菱形与原菱形相似；
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对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【变式9-3】（2023·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩
形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个
最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【题型10 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】
【例10】（2023·安徽芜湖·统考一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标(−2，1)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△≝¿；
(2)点A的对应点D的坐标是 ；
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(3)S :S = ．
△ABO 四边形ABED
【变式10-1】（2023·广西防城港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个
单位长度，已知\△ABC的顶点坐标为A(−6，4)，B(−2，6)，C(−4，2)．
(1)画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△A B C ；
1 1 1
1
(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，请在位似中心同侧画出缩小后的△A B C ．
2 2 2 2
(3)直接写出线段C C 的长．
1 2
【变式10-2】（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．
(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C （其中A与A ，B与B ，C与
1 1 1 1 1
C 是对应点）；
1
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A B C （其中A与A ，B与B ，C与C 是对应
2 2 2 2 2 2
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点），且写出点A 的坐标．
2
【变式10-3】（2023·广西桂林·统考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为
A(−1,2)，B(−4,3)，C(−3,1)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位似比为3：1；
2 2 2 2 2 2
(3)直接写出点A ，C 的坐标．
1 2
【题型11 求位似图形的坐标】
【例11】（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐
标为(−2，0)，点C坐标为(−1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C．
若点A的对应点A'的坐标为(2,−3)，点B的对应点B'的坐标为(1，0)，则点A坐标为（ ）
( 3) ( 5 3) ( 5 )
A．(3,−2) B． −2, C． − , D． − ,2
2 2 2 2
【变式11-1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为
A(1,2),B(2,1),C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形
△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）
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A．(2,4) B．(4,2) C．(6,4) D．(5,4)
【变式11-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以
1
点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
3
【变式11-3】（2023·江苏盐城·统考二模）如图，以点C(0,1)为位似中心，将△ABC按相似比1:2缩小，
得到△DEC，则点A(2,−1)的对应点D的坐标为 ．
【题型12 求位似图形的线段长度】
【例12】（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△≝¿是以坐标原
点O为位似中心的位似图形，若A(−2，0)，D(3，0)，且AC=2√2，则线段DF的长度为（ ）．
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A．2√2 B．3√2 C．4√2 D．6√2
【变式12-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=2√3，以
1
点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的 ，得到△COD，则OC的长度是（ ）
2
A．2 B．3 C．2.5 D．3.5
【变式12-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2,2)，
B(4,2)，C(4,4)，以原点为位似中心，在原点的异侧画△≝¿，使△≝¿与△ABC成位似图形，且相似比为
1:2，则线段DF的长度为（ ）
A．√2 B．2 C．2√2 D．4
【变式12-3】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为
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1
O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似
3
图形△OCD，则边CD的长为 ．
【题型13 求位似图形的周长】
【例13】（2023·山东菏泽·统考三模）如图，△ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形．若
OA:AD=2:3，则△ABC与△≝¿的周长比是（ ）
A．4:9 B．2:3 C．2:5 D．4:25
【变式13-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△≝¿是以
点O为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△≝¿的周长为15，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【变式13-2】（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，
OE:OB=1:4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）
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A．1:3 B．1:4 C．1:9 D．1:16
【变式13-3】（2023·重庆荣昌·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别为
A(−3,2)，B(−3,−2)，C(3,−2)，D(3,2)，以原点为位似中心，在矩形ABCD的内部画矩形EFGH，
使矩形ABCD与矩形EFGH成位似图形，且相似比为2：1，则矩形EFGH的周长为（ ）
20
A．20 B．15 C．10 D．
3
【题型14 求位似图形的面积】
【例14】（2023·广东佛山·校联考三模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形
OA 1
A'B'C'D'，已知 = ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（ ）
OA' 3
A．3 B．6 C．9 D．18
【变式14-1】（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，以点A为位似中心，把△ABC按相似比3:1放
大得到△ADE，若△ABC的面积为6，则△CDE的面积为 ．
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【变式14-2】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似
中心的位似图形．则△EFG与△ABC的面积之比为（ ）
1 2 1 4
A． B． C． D．
3 3 9 9
【变式14-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC
位似，点C为位似中心，CD=3AC，若 ABC的面积是1，则 DEC的面积是（ ）
△ △
A．3 B．4 C．9 D．16
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