文档内容
第34讲 圆的方程
【知识点总结】
一、基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
二、基本性质、定理与公式
1.圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为(a,b)，半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（ 3 ） 圆 的 直 径 式 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）.
注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为参
数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.
2.点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内.
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；② 点P在圆上；③ 点P在圆内.
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、 直线与圆的位置关系判断
1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
则 直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
则 直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
五、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
则 两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线 上，且与直线 相切于
点 ，则圆C方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设圆心为 ，则圆心与点 的连线与直线l垂直，即 ，则点 ，所以圆心为 ，半径 ，
所以方程为 ，
故选：C
例2．（2022·全国·高三专题练习）点 在圆 上，点 在圆 上，则（
）
A． 的最小值为
B．两圆公切线有两条
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】AC
【详解】
由圆的方程知：圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 ；
， 两圆外切；
对于A，若 重合，为两圆的切点，则 ，A正确；
对于B，两圆外切，则公切线有 条，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， 两圆相外切， 两个圆不存在相交弦，D错误.
故选：AC.
例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线 上，且过两圆 ，
交点的圆的方程．
【详解】
依题意可得，圆心在圆 和圆 公共弦的垂直平分线上．联立 ，解得 ，
则两圆交点为 ，
则其公共弦的垂直平分线为 ，即
所以圆心是直线 与直线 的交点，联立 ，解得 ．
则圆半径
所以圆方程为
例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆 的方程： .
（1）求 的取值范围；
（2）当圆 过A(1，1)时，求直线 被圆 所截得的弦 的长.
【详解】
解：（1）圆 的方程可化为
令 得
（2）∵圆 过A(1，1)代入得 ，圆 方程为
圆心 (1，2)，半径 ,
圆心 (1，2)到直线 的距离为
∴ .
例5．（2020·江苏·高三专题练习） 的三个顶点的坐标是 求它的外接圆的方
程．
【详解】
设所求圆的方程为： ，则圆经过 三点
，解之得 .
所以所求圆的方程为： .
例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 与圆 交于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【详解】
（1）直线 ： ，也即 ，故直线恒过定点 ，
又 ，故点 在圆 内，
此时直线 一定与圆 相交.
（2）设点 ，
当直线 斜率存在时， ，
又 ， ，
即 ，
化简可得： ；
当直线 斜率不存在时，显然中点 的坐标为 也满足上述方程.
故 点的轨迹方程为： .
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 ，点 在圆 上运
动.
（1）求过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程；
（2）求 的最值.
【详解】
(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点 且被圆 截得的弦长为 ,所以圆心到直线的距离为 ,设直线方
程为 ,即 ,所以 ,解得 或 所以直线方程为或 .
(2)设 点坐标为 则 .
因为 ,所以 ,即 的最大值为88,最小值为72.
例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C ：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C ：x2＋y2＋6y－28＝0.
1 2
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
【详解】
解：（1）设两圆交点为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则A，B两点坐标是方程组 的解，两式相减得x－y＋4＝0，
A，B两点坐标都满足此方程，
x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；
(2)解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
则 ＝ ，解得a＝ ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ＋ ＝ ，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆 切于点 ，且过点 的圆的方程.
【详解】
设与圆 切于点 的圆系方程为：
.
以点 代入，求得 .
，
化简即得所求圆的方程为 .
例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点 ，动点 满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；（2）求经过点 以及曲线 与 交点的圆的方程.
【详解】
(1)设 ,因为 , ,所以 ,整理得 ,
所以曲线 的方程为 .(2)设所求方程为 ,即 ,将 代入上式得
,解得 ,
所以所求圆的方程为 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则
圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20
【答案】D
【分析】
设圆心坐标为 ，由圆心到 距离相等求得 ，然后再求出半径后可得．
【详解】
由题意，设圆心坐标为 ，则 ，解得 ，
圆半径为 ．
所以圆方程为 ．
故选：D．
2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆 关于直线 对称的圆的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.
【详解】圆 的圆心 半径为 ，由 得 设对称点的坐标为 ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， ，化简得
，解得 所以对称圆的方程为 .
故选:C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆 的半径为 ，圆心在第一象限，且与直线 和 轴都
相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可设圆心坐标为 ，其中 ，利用圆心到直线 的距离等于圆的半径可求得正数 的
值，由此可得出圆 的方程.
【详解】
由题意可设圆心坐标为 ，其中 ，
因为圆 与直线 相切，则 ，因为 ，解得 ，
因此，圆 的方程为 .
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】
先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线 上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，
可得圆的方程．【详解】
因为过点 与 ，
所以线段AB的中点坐标为 ， ，
所以线段AB的中垂线的斜率为 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 ，
又因为圆心在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以圆心为 ，
所以圆的方程为 .
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点 到直线 的距离，
即 ，则所求圆的方程为 .
故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．内含 B．外离 C．相交 D．相切
【答案】D【分析】
根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系．【详解】
因为圆 与圆
所以两个圆的圆心距
两个圆的半径分别为
因为 ，所以两个圆相切.
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与圆 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线 的距离，令其等于半径即可求出 的值
【详解】
圆心坐标为 ，半径为 ，圆心到直线的距离 ，
因为 ，
所以 ，
所以
故选：A
8．（2022·全国·高三专题练习）直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，以线段 为直径的圆的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得 ， 的坐标，进而得圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，然后化为一般方程即可.【详解】
由直线截距式方程知： ， ，所以 中点坐标为 ，且 ，
所以以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
所以以线段 为直径的圆的方程为 ，
化为一般方程为 .
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习） 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】
判断出两圆的位置关系即可得到答案.
【详解】
由题意，两圆的标准式分别为 ， ，
则圆心和半径分别为 ， ，
所以 , ，则 ，故两圆相离，一共有4条公切线.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）圆 的圆心到直线 的距离为1，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
试题分析：由 配方得 ，所以圆心为 ，因为圆的圆心到直线 的距离为1，所以 ，解得 ，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几
何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，解不等式即可求解.
【详解】
由方程 表示圆，
则 ，
解得 .
所以实数m的取值范围为 .
故选：D
12．（2022·江苏·高三专题练习）若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于点 在圆 的外部，所以 ，从而可求出 的取值范围
【详解】
解：由题意得 ，解得 ，故选：C．
13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为
，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】设出圆的一般式 ，根据 求出 ，然后将点
带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 ，
又因为点 在圆上，所以 ，即 .
故选：C.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心在 轴上，且过点 的圆与 轴相切，则该圆的方程是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.
【详解】
解：设圆心坐标为 ，因为圆心在 轴上且圆与 轴相切，所以 即为半径,
则根据题意得： ，解得 ，
所以圆心坐标为： ，半径为5，该圆的方程是 ,展开得： .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，若圆 上存在两点 ，
关于直线 对称，则 的值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
根据圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，可得直线 过圆心，将圆心坐标代入直
线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆 ，
所以圆C的圆心坐标为 ，
又因为圆 上存在两点 ， 关于直线 对称，
所以直线 过圆心，
则 ，解得 .
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【分析】
求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】
解：直线 ，即 ，
由 得 ，所以直线恒过定点 ，
因为 ，所以定点 在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
17．（2022·全国·高三专题练习）若过点 有两条直线与圆 相切，则实数
的取值范围是A． B． C． D．
【答案】D【分析】
由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m的取值范围．
【详解】
圆的方程化为标准式为
因为点 有两条直线与圆 相切
所以点 在圆外
所以
解不等式组得
所以选D
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题．
18．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知点 在圆 上运动，点 在直线 上运
动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将 的最小值问题，转化为圆心到直线距离的最小值减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得
结果.
【详解】
点 在圆 上，点 在直线 上，
故 的最小值可以转化为圆心到直线 的距离减去半径，
又圆 的圆心为 ，半径为 ，则 .故选： .
19．（2021·全国·高三专题练习（理））已知圆 上的点到直线 的距离
的最大值是 ，最小值是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求得圆心 到直线 的距离d，再由圆上的点到该直线的距离的最大值为 ，最
小值为 求解.
【详解】
圆 即圆 ，
圆心 到直线 的距离 ，
圆上的点到该直线的距离的最大值 ，
最小值 ，
，
故选： ．
20．（2022·上海·高三专题练习） 为任意实数时，直线 被圆 截得的
弦长是
A．8 B．4 C．2 D．与 有关的值
【答案】B
【分析】
先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，根据直线方程可知，圆心在直线上，推断出直线被圆截得的弦长正
好为圆的直径，答案可得．
【详解】
解：根据圆的方程可知圆心为（1，1），半径为2，直线方程 ，所以直线过定点，即直线过圆的圆心，所以直线被圆截得的弦长正好为圆的直径4
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，解题的关键是推断直线过定点，属于基础题.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是
（ ）
A．x2+y2+2x-3=0 B．x2+y2-2x-3=0 C．x2+y2+2y-3=0 D．x2+y2-2y-3=0
【答案】A
【分析】
设出 点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可．
【详解】
解：设 ，点 的坐标是 ，点 满足 ，
可得： ，
即： ，
所以M点的轨迹方程是 .
故选：A．
22．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 ，点 ，动点 满足 （ 为坐标原
点），过 点的直线被动点 的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，根据 得到动点 的轨迹为圆，再由圆的性质求解.
【详解】
设 ，由 得动点 的轨迹方程为 ，即 ，则动点 的轨迹曲线为圆，圆心为 ．
又点 在圆内，所以 ，
所以最短弦所在直线的斜率为2，
所以所求直线方程为 ，即 ．
故选：A
23．（2022·全国·高三专题练习）圆 到直线 的距离为 的点有
（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】
先将圆方程化为标准方程，然后求出圆心到直线的距离，判断出直线与圆的位置关系，从而可判断出结论
【详解】
由 ，得 ，则圆心为 ，半径 ，
因为圆心 到直线 的距离为 ，且
，
所以圆 到直线 的距离为 的点有2个，
故选：B
24．（2022·全国·高三专题练习）直线 ： 与圆 ： 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】
由直线方程可得直线过定点 ，又点 在圆内，得到答案.【详解】
直线 ： 过定点 ，
因为 ，则点 在圆 的内部，∴直线 与圆相交，
故选：A.
25．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线l与圆 相切，则直线l的方程是（
）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】B
【分析】
先判断出 在圆上，求出切线斜率，即可得到切线方程.
【详解】
把圆 化为标准方程得： .
因为 在圆上，所以过P的切线有且只有一条.
显然过点 且斜率不存在的直线: 与圆相交，
所以过P的切线的斜率为k.
因为切线与过切点的半径垂直，所以 ，解得： ，
所以切线方程为： ，即 .
故选：B
26．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】
由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．
【详解】
圆 可化为 ，
所以点 与圆心连线所在直线的斜率为 ，则所求直线的斜率为 ，
由点斜式方程，可得 ，
整理得 .
故选：A.
27．（2022·全国·高三专题练习）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则直线PA的方程为 ，
直线PB的方程为 ，
点 均在两直线上，故 ，
直线AB的方程为3x+4y=4.
点 到直线AB的距离 ，
则 .
本题选择D选项.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，直线 ， 为 上一个动点，过点
作 的切线 ，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】求得圆 的圆心 ，半径 ，根据 ，得到 ，结合点到直线的距离公式，
求得 的最小值，进而求得 的最小值.
【详解】
如图所示，化简圆 的方程为 ，可得圆心 ，半径 ，因为 为圆 的切线且 为切点，所以 ，
由勾股定理可得 ，
所以当 最小时， 取得最小值，
因为 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：D.
29．（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为 ，过圆О外一点 作圆O的两条
切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面几何知识可知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，再将两圆的方程相减，
即可得到直线AB的方程．
【详解】由题意知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，易求该圆的方程为 ，AB为圆
与圆 的公共弦，将这两圆的方程相减，得 ，即AB的方程为
.
故选：B．30．（2022·全国·高三专题练习）过点 作直线 与圆 相切于 、 两点，
则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出 ，求出以点 为圆心、以 为半径的圆的方程，然后与圆 的方程作差可得出直线 的方程.
【详解】
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
由圆的切线的性质可得 ，则 ，
所以，以点 为圆心、以 为半径的圆 的方程为 ，
将圆 的方程与圆 的方程作差并化简可得 .
因此，直线 的方程为 .
故选：B.
31．（2021·江苏常州·一模）过圆 ： 外一点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】
本题首先可结合题意绘出图像，然后根据圆的方程得出 ，再然后根据两点间距离公式以及
勾股定理得出 、 ，最后通过等面积法即可得出结果.【详解】
如图，结合题意绘出图像：因为圆 ： ，直线 、 是圆 的切线，
所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
根据圆的对称性易知 ，则 ，
解得 ， ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆的切点弦长的求法，主要考查圆的切线的相关性质，考查两点间距离公式以及勾
股定理的应用，考查等面积法的应用，考查数形结合思想，是中档题.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切，则m的值为（ ）
A．3或 B．1或
C．0或4 D． 或0
【答案】A
【分析】
利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，因直线 与圆 相切，则点 到直线 的距离为 ，整理得 ，解得 或 ，
所以m的值为3或 .
故选：A33．（2022·河北张家口·高三期末）直线 与圆 交于 、 两点，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可求得 .
【详解】
圆心 到直线 的距离为 ，
圆 的半径为 ，
又 ，故 ，
故选：B.
34．（2022·全国·高三专题练习）若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用点差法求出直线 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.
【详解】
设 ，则 ， ，
两式做差可得 ，
即 ，又因为 是 的中点，则 ，
因此 ，即 ，
所以 ，
因此直线 的方程为 ，即 ，经检验，符合题意，故弦 所在直线的方程为 .
故选：B.
35．（2019·天津·耀华中学高三阶段练习）已知圆 ： 和直线 ： ；若直线
与圆 相交于 ， 两点， 的面积为2，则 值为（ ）
A．-1或3 B．1或5 C．-1或-5 D．2或6
【答案】C
【分析】
利用垂径定理表示 ,再由面积可得 ,利用点到直线距离列方程求解即可.
【详解】
圆 ： ，可得 ，半径 .
∴圆心 到直线 的距离 .
∵ 的面积为2， ，
∴ ，
解得 .
∴ ，解得 或-5.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系,利用垂径定理表示弦长是解题的关键,属于基础题.
36．（2022·全国·高三专题练习）圆C ：(x-2)2+(y-4)2＝9与圆C ：(x-5)2+y2＝16的公切线条数为（ ）
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，求出两圆的圆心，半径及圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．
【详解】根据题意，圆C ：(x-2)2+(y-4)2＝9，其圆心为(2，4)，半径R＝3，
1
圆C ：(x-5)2+y2＝16，其圆心为(5，0），半径r＝4，
2
圆心距|C C | 5，则有r-R＜|C C |＜r+R，所以两圆相交，
1 2 1 2所以两圆有2条共切线；
故选：B．
37．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3
＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由 解得两圆交点为 与
因为 ，所以线段 的垂直平分线斜率 ；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
38．（2022·全国·高三专题练习）若圆 与圆 外切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，圆 与圆可得 ， ，
因为两圆相外切，可得 ，解得 ．
故选：C.
39．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 公共弦所在直
线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将两圆的方程作差即可得到答案.
【详解】
将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为
故选：D.
40．（2022·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 交于 、 两点，则
（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
先求出两个圆的半径和圆心距，然后在 中，利用余弦定理求出 的值，从而可求出
，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】
圆 的半径 ，圆 的半径 ， ，故在 中， ，
故 ．
故选：D41．（2022·上海·高三专题练习）已知圆 上到直线 的距离等于1的点恰有3个，则
实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
【答案】D
【详解】
试题分析： 由圆 的方程 ，可得圆 的圆心为原点 ，半径为 ，若圆 上恰有 个点到
直线 的距离等于 ，因为半径为 ，则 到直线 ： 的距离 等于 ，直线 的一般方程为：
， ，解得 ，故选D.
考点:1、圆的几何性质；2、点到直线的距离公式.
42．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 上有且只有两个点到直线
的距离等于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由圆的方程求出圆心 和半径 ，求出圆心到直线的距离 ，由题意可得 ，解
不等式即可得实数 的取值范围.【详解】
由 可得 ，
则 即 ，所以圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
因为圆上有且只有两个点到直线 的距离等于 ，
所以 ，即 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：A.
43．（2022·全国·高三专题练习）若圆 ： 上有四个不同的点到直线 ：
的距离为2，则 的取值不可能是（ ）
A．-15 B．13 C．15 D．0
【答案】A
【分析】
根据圆 上有四个不同的点到直线 的距离为2，可得圆心到直线的距离小于3，列不等式求解即可.
【详解】
圆 ： 化为 ，
则圆心 ，半径 ，
若圆 ： 上有四个不同的点到直线 ： 的距离为2，
则圆心 到直线 的距离 ，如图.
即 ，
∴ .
故选：A44．（2022·全国·高三专题练习（文））若圆 上有且仅有两个点到直线
的距离等于2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求圆心到直线的距离，再求半径的范围.
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为3．
圆心到直线的距离为：
，
又圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于2，所以 ，
解得 或 ．
故选：D．二、多选题
45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 的一般方程为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为5
C．圆 被 轴截得的弦长为6 D．圆 被 轴截得的弦长为6【答案】BD
【分析】
首先得到圆的标准方程，从而得到圆心坐标和半径，即可判断A错误，B正确，再计算弦长即可判断C错
误，D正确.
【详解】
因为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，故A错误，B正确.
对选项C，圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 被 轴截得的弦长为 ，故C错误；
对选项D，圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 被 轴截得的弦长为 ，故D正确.
故选：BD
46．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，M为圆 上的动点，则线段 的长可能为
（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】ABC
【分析】
由圆的标准方程求得圆心 和半径，再根据两点的距离公式可求得 ，由此可得选项.
【详解】
解：因为圆 的圆心为 ，半径 ，又 ，所以 ，
因为M为上的动点，所以 ，即 ，所以线段 的长可能为3，5，7，
故选：ABC.
47．（2022·全国·高三专题练习）若P是圆 上任一点，则点P到直线 的距离可以
为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】AB【分析】
利用圆心到直线的距离，结合圆的半径即可求P到直线 的距离范围，结合各选项判断符合要求
的距离即可.
【详解】
由题设， 且半径为 ，
∴ 到 的距离 ，
∴点P到直线 的距离 ： ，即 ，
∴只有A、B符合要求.
故选：AB
48．（2022·全国·高三专题练习）圆 与圆 有且仅有两条公切线，实数
的值可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
由题可知两个圆相交，列出不等式可求得答案.
【详解】
因为圆 与圆 有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
因为 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 即 ，解得 ，
故选：AB
49．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，则下列是圆
与圆 的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABC【分析】
通过圆心距和半径关系，判断出两圆有四条公切线，再设切线，列等式解方程即可.
【详解】
, 半径 , 两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点 对称，则有两条切线过原点 ,
设切线 , 则圆心到直线的距离 , 解得 或 ,
另两条切线与直线 平行且相距为1, ,
设切线 , 则 ,解得 .
所以只有 项不正确（也可以不计算 ，通过斜率即可排除D）
故选：ABC
三、双空题
50．（2022·全国·高三专题练习）已知方程为 ，则圆心坐标为________，圆半径为
__________．
【答案】
【分析】
将圆一般方程化为标准方程即可求解.
【详解】
，
所以圆的圆心为 ，半径 .
故答案为： ；
四、填空题51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆心在第一象限的圆经过点 ，圆心在直线 上，
且半径为5，则此圆的标准方程为___________．【答案】
【分析】
由圆心在直线 上，可设圆心为 ，因为圆经过点 ，半径为 ，结合圆心在第一
象限，可求出 的值，从而写出圆的方程.
【详解】
解：因为圆心在直线 上，所以设圆心为 ，
又此圆经过点 ，半径为 ，
所以有
因为圆心在第一象限
所以 .
所以圆心为 .
故答案为： .
52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C和直线 相切于点 ，且经过点 ，则圆C
的方程为___________.
【答案】
【分析】
由已知可求得过点 的直径所在直线为 ，因为圆心在以 ， 两点为端点的线段的
中垂线 ，然后两直线方程联立方程组可求出圆心坐标，从而可求得圆的半径，进而可求得
圆的方程
【详解】
解：因为圆C和直线 相切于点 ，
所以过点 的直径所在直线的斜率为 ，其方程为 ，即 .又因为圆心在以 ， 两点为端点的线段的中垂线 ，即 上，
由 解得圆心为（3，5），所以半径为 ，故所求圆的方程为 .
故答案为：
53．（2022·全国·高三专题练习）圆 关于点 中心对称的圆的方程为
___________.
【答案】
【分析】
求出圆心的坐标，进而可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心 关于点 中心对称点的坐标为 ，
故所求圆的方程为 .
故答案为： .
54．（2022·全国·高三专题练习）已知三个点 ， ， ，则 的外接圆的圆心坐标是
___________.
【答案】(1，3)
【分析】
设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.
【详解】
设圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以圆方程为 ，即 ，
所以圆心坐标为 .故答案为： .
55．（2022·上海·高三专题练习）若圆 关于直线 对称，则该圆的
半径为__________
【答案】2【分析】
根据圆关于直线对称可知,直线经过圆心.将圆心坐标代入直线方程,结合圆的半径公式即可求得半径.
【详解】
将圆的一般方程转化为标准方程可得
所以圆心坐标为 ,
因为圆关于直线 对称,所以直线经过圆心
则 ,化简可得
所以
故答案为:2
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,直线过圆心的方程,属于基础题.
56．（2022·全国·高三专题练习）两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是
________．
【答案】2
【分析】
求出两圆的圆心距及半径，判断两圆的位置关系即可得出结论.
【详解】
解：将两圆分别化为标准方程：
， ，
所以两圆的圆心分别为 ，
半径分别为 ， ，
圆心距为 ，因为 ，
所以两圆相交，所以公切线的条数是2条.
故答案为：2.
57．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______________．
【答案】
【分析】
根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），分析
可得M在圆C内部，分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析
可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，
圆心C的坐标为（1，3），半径r＝2，
直线l：kx﹣y﹣2k+2＝0，即y﹣2＝k（x﹣2），恒过定点M（2，2），
又由圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，则点M（2，2）在圆内，
分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，
此时|CM|＝ ＝ ，
则|AB|的最小值为2 ＝ ；
故答案为： ．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 上一定点 ， 为圆上的动点，则线段 中点的
轨迹方程为______________．
【答案】
【分析】
设线段 中点 的坐标为 ，且点 ，结合中点公式求得 ，代入即可求解.
【详解】
设线段 中点 的坐标为 ，且点 ，
又由 ，可得 ，解得 ，又由 ，可得 ，即 .
故答案为： .59．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 ，则直线 和圆的位置关系为
___________.
【答案】相交
【分析】
根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论.
【详解】
解：由圆 得 ，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 和圆的位置关系为相交，
故答案为：相交.
60．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则 ，过点 作圆的切线，则切线的方程为
___________.
【答案】 或 .
【分析】
分斜率不存在与斜率存在两种情况，再利用点到直线的距离公式，求得斜率存在时的切线方程.
【详解】
由题意：当切线斜率不存在时，方程为： ，满足与圆相切，
当斜率存在时，设切线方程为： ，
则： ，解得 ，此时切线方程为： ，即 ，
故答案为： 或
61．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）已知点Q是直线 ： 上的动点，过点Q作圆 ：
的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【答案】(1，－1)
【分析】设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用 的关系，求得动直线 恒过的
定点坐标.
【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O： 的切线，切点分
别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋
ny＋4x－4＝0，则有 ，解得 ，则直线AB恒过定点(1，－1).
故答案为：(1，－1).
62．（2022·上海·高三专题练习）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，
则 ____________．
【答案】
【分析】
设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，求出 ，
利用勾股定理可求得 .
【详解】
设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
63．（2022·全国·高三专题练习）已知直线x－ y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝
__________.
【答案】6
【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长．
【详解】
圆心 到直线的距离为 ，圆半径为 ，
所以 ．故答案为：6．
64．（2022·全国·高三专题练习）若圆 被直线 所截得的弦长为 ，则实数
的值是______．
【答案】 或
【分析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆 被直线 所截弦长得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公
式列式求得 值．
【详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
又圆 被直线 所截得的弦长为 ，
所以，圆心 到直线 的距离 ．
则 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
65．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 与圆 相交于A､B两点，且
，则直线l的倾斜角为___________.
【答案】0或
【分析】
求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l
的倾斜角．
【详解】
直线 ，即 ，可得圆心到直线l的距离 ，
圆的半径r＝2，
所以弦长 ，由题意
整理可得： ，
解得 或
所以倾斜角为0或 ；
故答案为：0或 .
66．（2022·全国·高三专题练习）已知过点 且斜率为k的直线l，与圆C： 交于
M，N两点，若弦 的长是2，则k的值是________．
【答案】
【分析】
设直线l的方程为 ，先求得圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解.
【详解】
设直线l的方程为 ，即 ，
∵圆C： 的圆心坐标为 ，半径为 ，且弦 的长是2，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 截直线 所得弦长是 ，则 的值
为______．【答案】2
【分析】
化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线 的距离d，代入弦长公式，即可求得
答案.
【详解】圆 可变形为： ，
所以圆心为 ，半径 ，
所以圆心到直线 的距离 ，
根据弦长公式可得 ，
因为 ，解得 .
故答案为：2
68．（2021·河北秦皇岛·二模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，则
面积为___________.
【答案】2
【分析】
求得圆心到直线 的距离，求得弦长 ，由此求得三角形 的面积.
【详解】
圆心为 ，半径 ，
因为圆心C到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 面积为 .
故答案为：
五、解答题
69．（2021·山东·邹平市第一中学模拟预测）已知直线 经过两条直线 和 的交点，
且与直线 垂直．
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若圆 的圆心为点 ，直线 被该圆所截得的弦长为 ，求圆 的标准方程．【答案】
（1）
（2）【分析】
（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线 的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
（1）
解：由题意知 ，解得 ，
直线 和 的交点为 ；
设直线 的斜率为 ， 与直线 垂直， ；
直线 的方程为 ，化为一般形式为 ；
（2）
解：设圆 的半径为 ，则圆心为 到直线 的距离为
，由垂径定理得 ，
解得 ，
圆 的标准方程为 ．
70．（2020·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】
（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求
出面积．
【详解】
解：（1）圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以 ，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积 ．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
71．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆 和圆
.
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度.
【答案】
（1）相交
（2）
（3）
【分析】
（1）将两圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，然后算出圆心距，和半径之差的绝对值和半径之和
比较可得答案；
（2）将两圆的方程作差可得答案；（3）联立两个圆的方程，解出交点坐标，然后可得答案.
（1）将两圆方程化为标准方程为
， ,
则圆 的圆心为 ，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径 .
， ， ，
， 两圆相交.
（2）
将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 .
（3）
由 ,
解得 或 ,
两圆的交点坐标为 和 .
两圆的公共弦的长度为 .
