文档内容
专题 11 数列的通项公式、数列求和与综合应用策略
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................11
题型一：等差、等比数列的基本量问题 11
题型二：证明等差等比数列 12
题型三：等差等比数列的交汇问题 14
题型四：数列的通项公式 16
题型五：数列求和 18
题型六：数列性质的综合问题 21
题型七：实际应用中的数列问题 23
题型八：以数列为载体的情境题 25
题型九：数列的递推问题 26
重难点突破：数列新定义 29数列作为高考数学中的核心考察点，其命题形态丰富多变，涵盖了从基础到复杂的各个层次。在小题
部分，重点聚焦于等差数列、等比数列的基本概念、性质以及数列的递推关系，并且呈现出与其他数学知
识（尤其是函数、导数）相融合的趋势。至于解答题，其难度通常处于中等或稍难水平，随着文理合卷的
改革推进，数列与不等式相结合的难题（以往常作为压轴题）热度有所减退，难度趋于稳定，保持在中等
偏难的程度。这类题目往往在考察数列基本问题之后，进一步探讨数列求和，而求和之后又常与不等式、
函数、最值等问题相互交织。在考查等差数列、等比数列求和技巧的基础上，更深入地考察“裂项相消
法”、“错位相减法”等高级求和技巧，并且与不等式紧密结合，其中“放缩”思想及方法的应用显得尤
为重要。此外，数列与数学归纳法的结合问题也是一个值得关注的领域，应给予适当的重视。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第4题，5分
2024年I卷第19题，17分
2024年II卷第12题，5分
等差、等比数列 掌握定义公式应用 2023年甲卷第5、13题，10分
2022年乙卷第13题，5分
2025年高考数列考查
2021年II卷第17题，10分
将聚焦核心点是递推公式
2023年II卷第8题，5分
求通项公式，特别是利用
2023年乙卷第18题，12分
数列前n项和 与第n项
能熟练求解通项问 2023年II卷第18题，12分
数列通项 的关系进行推导，此部
题 2022年I卷第17题，10分 分题型多样，常作为选择
2022年上海卷第21题，18分 填空或最后一题数列新定
义压轴题，挑战考生的思
2024年甲卷第18题，12分 维深度与解题能力。
2023年甲卷第17题，12分
理解数列求和方
2022年甲卷第18题，12分
数列求和 法，能准确计算数
2021年I卷第16题，5分
列和
2021年乙卷第19题，12分
2021年I卷第17题，10分1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列 满足 （常数）（
， ）不能判断数列 为等差数列，需要补充证明 ；
2、数列 满足 ，则 是等差数列；
3、数列 满足 ， 为非零常数，且 ，则 为等比数列；
4、在处理含 ， 的式子时，一般情况下利用公式 ，消去 ，进而求
出 的通项公式；但是有些题目虽然要求 的通项公式，但是并不便于运用 ，这时可以考虑先消去
，得到关于 的递推公式，求出 后再求解 ．
5、遇到形如 的递推关系式，可利用累加法求 的通项公式，遇到形如 的
递推关系式，可利用累乘法求 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求
解该数列的通项公式：
（1）形如 （ ， ），可变形为 ，则 是以
为首项，以 为公比的等比数列，由此可以求出 ；
（2）形如 （ ， ），此类问题可两边同时除以 ，得 ，设，从而变成 ，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如 ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的形式，设 ，
则有 ，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为 进行讨论．
8 、 用 裂 项 相 消 法 求 和 时 ， 要 对 通 项 进 行 变 换 ， 如 ： ，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 的前 项和；
（2）通项公式为 ，其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
12、前 项和与积的性质
（1）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ．
① ， ， ，…也成等差数列，公差为 ．
② 也是等差数列，且 ，公差为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ．
若项数为奇数 ，则 ， ．
（2）设等比数列 的公比为 ，前 项和为
①当 时， ， ， ，…也成等比数列，公比为
②相邻 项积 ， ， ，…也成等比数列，公比为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列 和 均是等差数列，且等差数列 的公差为 ， ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等差数列，公差为 ．
②数列 ， 也是等差数列，而 是等比数列．（2）设数列 和 均是等比数列，且等比数列 的公比为 ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等比数列，公比为 ．
②数列 ， ， ， ， ，
也是等比数列，而 是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法 ：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为 ，解方程组 ，再与首项比较大小．1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年北京高考数学真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底
面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称
数列 是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
6．（2024年北京高考数学真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
9．（2024年天津高考数学真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．10．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
11．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
12．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
13．（2023年天津高考数学真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．题型一：等差、等比数列的基本量问题
【典例1-1】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】记 为数列 的前 项和，若 ， 为等比数列，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【变式1-1】已知各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【变式1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ，
则 （ ）
A． B．2 C． D．31．已知正项等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：证明等差等比数列
【典例2-1】已知数列 满足 ，公差不为0的等差数列 满足
成等比数列，
(1)证明：数列 是等比数列．
(2)求 和 的通项公式．
【典例2-2】已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，
证明另外一个成立.
①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于 的任意正整数：
①若 为一常数，则 为等差数列；
②若 为常数，则 为等比数列．
（2）通项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
（2）若 ，则 为等比数列．
（3）中项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
②若 ，则 为等比数列．
（4）前 项和法：若 的前 项和 满足：
① ，则 为等差数列．
② ，则 为等比数列．
【变式2-1】设数列 满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式．【变式2-2】[新考法]（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线 ，点 在 上.按如下方式构
造点 ：过点 作斜率为1的直线与 的左支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记点
的坐标为 .
(1)求点 的坐标；
(2)记 ，证明：数列 为等比数列；
1．[新考法]在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，证明：数列 为等比数列，且 ；
题型三：等差等比数列的交汇问题
【典例3-1】已知数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若数列 的前 项和为 ，证明：数列 中任意不同的三项都
不能构成等差数列.【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入n个数，使这 个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为 ，求数列
的前n项和 ．
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【变式3-1】已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，求
.
【变式3-2】已知数列 中， ， ， 对任意 都成立，数列 的前n项和为 ．
(1)若 是等差数列，求k的值；
(2)若 ， ，求 ；
(3)是否存在实数k，使数列 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项 ， ， 按某顺序排列
后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
1．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在不同
的3项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．题型四：数列的通项公式
【典例4-1】已知数列 满足： ，且 ，则数列 的通项公式是
【典例4-2】在数列 中，已知 ，且 ，则该数列的通项公式为 .
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如 的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如 的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．
【变式4-1】求通项公式
(1)已知数列 、 、 、 、 求通项公式；
(2)在数列 中， ，且点 在直线 上，求数列 的通项公式；
(3)数列 的首项为 ，且前 项和 满足 ，求数列 的通项公式；
(4)数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；【变式4-2】（1）已知数列 满足 （n为正整数），且 ．求数列 的通项公式．
（2）记 为数列 的前n项和．已知 ， ．求 的通项公式．
（3）已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式．
（4）设数列 满足 ，对于n为正整数，都有 ．求数列 的通项公式．
1．已知数列 的前 项和为 ，且 .
证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；题型五：数列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知 是等差数列，其前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式及 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列 的前 项和 .
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【典例5-2】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列 是等差数列，设 为数列 的前 项
和，数列 是等比数列， ，若 ， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和；
(3)若 ，求数列 的前 项和．求数列前 项和 的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前 项和公式求数列的前 项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项： ；
②根式裂项： ；
③对数式裂项 ；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【变式5-1】设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，求证： ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 .【变式5-2】（2024·山东潍坊·三模）在①数列 为等差数列，且 ；② ，
；③正项数列 满足 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给
出解答.
问题：已知数列 的前 项和为 ，且__________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1．已知等比数列 是递减数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等差数列， .数
列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求题型六：数列性质的综合问题
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，已知
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为 B．满足 的最小 值是14
C．满足 的最大 值是14 D．数列 的最小项为第8项
【典例6-2】（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列 满足： ，则
下列说法不正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B．存在 ，使得
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
解题时，首先要深刻理解等差、等比数列的基本概念和性质，并熟练掌握常用的方法和技能。对于复
杂的数列问题，要学会将大问题分解成小问题，运用函数与方程的数学思想处理数列问题。同时，要善于
运用猜想与归纳等数学思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理。此外，数列与不
等式、函数、解析几何等知识的交汇也是常考点，需要灵活运用相关知识和方法。总之，解决数列性质的
综合问题，需要综合运用多种数学思想和方法，加强解题反思，提高运用知识解决问题的能力。
【变式6-1】（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A．
B．
C．当 时， 取得最小值
D．记 ，则数列 的前 项和为
【变式6-2】（多选题）（2024·四川眉山·一模）已知数列 满足 ， ，且
，则（ ）
A． B．
C．当 时， D．
1．（多选题）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 或10时， 取得最大值 B．
C． 成立的n的最大值为20 D．题型七：实际应用中的数列问题
【典例7-1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达
到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公
司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参
考数据： ）
A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元
【典例7-2】刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来
分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，
贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．
B．
C．
D．
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【变式7-1】某医院购买一台大型医疗机器价格为 万元，实行分期付款，每期付款 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为 ，每月复利一次，则 ， 满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形
垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有
个小球，第三层有 个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由
“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长
方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角
三角形演化而成的.已知 为直角顶点，
设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项和，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．112．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，
次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今
有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，
第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多
少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）
A． B．7 C．13 D．26
题型八：以数列为载体的情境题
【典例8-1】（2024·福建宁德·二模）若数列 相邻两项的和依次构成等差数列，则称 是“邻和等差
数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列 是“邻和等差数列”， 是
其前 项和，且 ， ， ，则 （ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
【典例8-2】若数列 中不超过 的项数恰为 ，则称数列 是数列 的生成数列，称
相应的函数 是数列 生成 的控制函数.已知数列 满足 ，且 是数列 生
成 的控制函数，数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）
A．19 B．21 C．22 D．231、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【变式8-1】（2024·浙江温州·一模）已知数列 的通项公式 ，在其相邻两项 之间插入
个 ，得到新的数列 ，记 的前 项和为 ，则使 成立的 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式8-2】（2024·上海奉贤·一模）已知数列 不是常数列，前 项和为 ， ．若对任意正整数
，存在正整数 ，使得 ，则称 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 满足公差 ，则 是“可控数列”；
②若等比数列 是“可控数列”，则其公比 ．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
1．在数学上，斐波纳契数列 定义为： ， ， ，斐波纳契数列有种看起来很神
奇的巧合，如根据 可得 ，所以
，类比这一方法，可得
（ ）
A．714 B．1870 C．4895 D．4896题型九：数列的递推问题
【典例9-1】（2024·河北沧州·三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物
在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为 ，
在该生物个体的随机交配过程中，基因型为 的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲
代只有 基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
雌
雄
×
由上表可知，子1代中 ，子1代产生的配子中 占 ， 占 .以此类推，则子10代中 个
体所占比例为 .
【典例9-2】 4人互相传球，由 开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到 手
中，则不同的传球方式有多少种？若有 个人相互传球 次后又回到发球人 手中的不同传球方式有多少
种？利用构造或猜想，解决数列递推问题
【变式9-1】已知曲线 ： ，点 在 上， 在 处的切线为 ，直线 的斜率是直线 斜率
的2倍，经过点 的直线 与 的另一个交点为 ， 在 处的切线为 ，直线 的斜率是直线 斜率
的2倍，经过点 的直线 与 的另一个交点为 ，照如此方法构造点 ， .
(1)证明：直线 的方程为 .
(2)若 ，证明数列 为等比数列，并求出 的通项公式.
【变式9-2】将正整数数列 、 、 、 、 、 的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角
形数表：
(1)写出数表的第 行、第 行；
(2)写出数表中第 行的第 个数；
(3)设数表中每行的第 个数依次构成数列 ，数表中每行的最后一个数依次构成数列 ，试分别写出
数列 、 的递推公式，并求出它们的通项公式．1．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是
有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．
下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为 ，在线段 上取两个点 ， ，
使得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的
图形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一
系列图形：
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，则（1） ；（2）如果对 ，
恒成立，那么线段 的长度 的取值范围是 .
2．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C： 上的点 作曲线C的切线 与
曲线C交于 ，过点 作曲线C的切线 与曲线C交于点 ，依此类推，可得到点列：
， ， ，…， ，…，已知 ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)记点 到直线 （即直线 ）的距离为 ，求证： ；重难点突破：数列新定义
【典例10-1】设 为常数，若存在大于 1 的整数 ，使得无穷数列 满足
，则称数列 为 “ 数列”.
(1)设 ，若首项为 1 的数列 为“ (3)数列”，求 ；
(2)若数列 为“ 数列”，且 ，求出相应的 的值及 ；
(3)设 ，若首项为 1 的数列 为 “ 数列”，求数列 的前 项和
.
【典例10-2】一般地，对于无穷数列 ，我们称幂级数 即
为无穷数列 的母函数，例如：数列 的母函数为
.附公式： ，
其中 .(1)已知数列 ， ， ，求无穷数列 的母函数 ；
(2)已知无穷数列 的母函数为 ，记 ，请用 表示数列
的母函数 （注：不必考虑 的范围）；
(3)已知数列 ， ，记 ，求 .
1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和
加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂
和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的
能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、
套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．
2、解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问
题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的
要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．
【变式10-1】（2024·高三·河北·期末）已知有限数列 满足 ，若给定一个正整数k，在数列 中
存在一项或一些连续项的和为i，其中i的值可以取遍 中的所有元素，则称数列 为k级可分解
数列．
(1)数列3，1，2是否为4级可分解数列？是否为5级可分解数列？请说明理由；
(2)若有限数列 为8级可分解数列，则数列 的项数最少为多少？(3)若有限数列 为20级可分解数列，且 ，判断数列 的项数是否最少
为6项，请说明理由．
【变式10-2】给定数列 ，若对任意 且 是 中的项，则称 为“ 数列”；
若对任意 且 是 中的项，则称 为“ 数列”.
(1)设数列 的前 项和为 ，若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)设数列 既是等比数列又是“ 数列”，且 ，求公比 的所有可能取值；
(3)设等差数列 的前 项和为 ，对任意 是数列中的项，求证：数列 是“ 数列”.
1．已知项数为m（ ， ）的数列 为递增数列，且满足 ，若
，且 ，则称 为 的“伴随数列”.
(1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由；(2)若 为 的“伴随数列”，证明： ；
(3)已知数列 存在“伴随数列” ，且 ， ，求m的最大值.
