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专题 11 数列的极限（典型题型归类训练）
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：概率统计中数列的极限...................................................1
题型二：分形中的极限问题...........................................................5
题型三：数列中其他极限问题.....................................................10
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）..............................15
一、典型题型
题型一：概率统计中数列的极限
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要
性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､
市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某
种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，两人约定其中一人比另一人
多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 .附：当
时， .求：
(1)当 时，甲赢得比赛的概率；
(2) 的数学期望.
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】（1）先计算比四局结束比赛的概率，再根据条件概率计算即可；
学科网（北京）股份有限公司（2）先根据题意得出 ，结合错位相减法计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3，
若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜，
所以比四局结束比赛的概率为： ；
其中甲赢得比赛的概率为 ，
故所求概率 .
（2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设 ，
当 时， ，此时
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
…，
.
所以 的期望
所以 ，
，
两式相减，得 ，
学科网（北京）股份有限公司因为当 时， ，
所以 ，则 ，
即 的数学期望是 .
【点睛】关键点睛：本题第二问解决的关键在于分析得比赛局数 对应的概率的特征，进
而利用错位相减法计算期望，由此得解.
2．（2023高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷 次不连续出现三
次下面向上的概率为 ，
(1)求 和 ；
(2)写出 的递推公式，并指出单调性；
(3) 是否存在？有何统计意义．
【答案】(1) ， ，
(2) ，单调递减
(3)存在，答案见解析
【详解】分析：观察本题，易发现关键在于发现 的递推关系，因此解题的方向即寻找
与 等项的关系，而自招考试递推阶数不限于一阶，因此思路中需要包含可能出现二阶
甚至三阶递推的准备．
解：（1）易知 ， ，而投掷四次时若出现连续三次反面向上，
即前三次或后三次或四次都是，故 ．
（2）当第 次不为反面向上时，只需前 次没出现；当第 次是下面向上时，若第
次不是下面向上，只需前 次没出现，若 次是下面向上，则 次比须不是下面向
上，只需前 次没出现．
综上， ；概率显然单调递减．
（3）存在为0，当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比
值趋近于0．
3．（2023·四川宜宾·模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传
学科网（北京）股份有限公司球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二
次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设
传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
(2)设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
（i）试证明数列 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
【分析】(1) 由题意知 的取值为 ，求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,根据
期望公式求得期望;
（2）（i）求得 ，根据 时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不
在甲手上并且第 次必传给甲的事件，可得 ，由此变形得
可证明结论；（ii）求出 ，当 时， ,即
可解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【详解】（1）由题意知 的取值为 ，
； ；
；
所以X的分布列为
0 1 2
所以 ；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则 ，
时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不在甲手上并且第 次必传给甲
的事件，
于是有 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当 时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数
.
4．（2002·上海·高考真题）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职
工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到
n排序，第1位职工得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐
一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
(1)设 为第k位职工所得奖金额，试求 ，并用 和 表示 （不必证
明）；
(2)证明 ，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为 ，对常数b，当n变化时，求 ．
【答案】(1) , ；
(2)证明见解析，实际意义：此分配方案体现了按照工作业绩的按劳分配原则
(3)
【分析】（1）根据题意建立关系式即可， 可以通过观察式子的特征求得；
（2）利用作差比较法可以证明，作差，化简证明结果为正；
（3）根据题意先求解出 结合极限公式可得结果.
【详解】（1） ；
（2）因为 ，
所以 此分配方案体现了按照工作业绩的按劳分配原则；
（3）设 表示发给第 位职工后所剩余额，则
，
发展基金 ，故 .
学科网（北京）股份有限公司题型二：分形中的极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，
长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；
第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．
设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：
(1)第三层及第四层的树形图的高度
(2)第n层的树形图的高度
(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是
“高大”还是“矮小”的？
【答案】(1)
(2)
(3)矮小，理由见解析
【分析】（1）设树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为 ，从而依次求出
，从而得到第三层和第四层树形图的高度；
（2） ，分 为奇数和 为偶数两种情况，结合等比数列求和公式求出答案；
（3）分 为奇数和 为偶数，根据极限得到 ，得到结论.
【详解】（1）设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为 ，
则 ， ， ， ，
所以第三层树形图的高度为 ；
第四层树形图的高度 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）易知 ，又 ， ，
所以第 层新生的树形图的高度为 ，
故当 时，
；
当 时，
故第 层的树形图的高度为 ；
（3）当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
故当 ．由定义知树形图为“矮小”的．
2．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，将一个边长为 的正三角形的每条边三等分，以
中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪
花曲线．将下面的图形依次记作
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的周长；
(2)求 所围成的面积；
(3)当 时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无
限增大而面积却有极限的图形．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据图形边长和边数的变化关系，结合等比数列通项公式可求得边长和边数
的通项 ，由所求周长为 可求得结果；
（2）根据图形关系可知 ，利用累加法可求得 ；
（3）利用极限的思想可验证极限值，从而证得结论.
【详解】（1）设第 个图形的边长为 ，边数为 ， 的周长为 ，
自第 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ；
自第 个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的 倍，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
，即 的周长为 .
（2）记 所围成的面积为 ，则 ，
当 且 时，
，
学科网（北京）股份有限公司，
经检验： 满足 ，
.
（3） ，
，
科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形.
3．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图， 是边长为 的等边三角形纸板，在 的左下端
剪去一个边长为 的等边三角形得到 ，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前
一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到 、 、 、 、 .
(1)设第 次被剪去等边三角形面积为 ，求 ；
(2)设 的面积为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得数列 为等比数列，根据首项和公比进而可得结果；
（2）根据等边三角形的性质求出 的面积，根据等比数列前 项和公式从而推导出 即可
求出答案
【详解】（1）解：由题意可得 ，
设第 次被剪去等边三角形的边长为 ，则 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）解：由已知得 的面积 ，
所以 的面积为 ，
所以 .
4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图， 是一块直径为2的半圆形纸板，在 的左下端
剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个
被剪掉半圆的半径）得到图形 ， ，…， ，…，记纸板 的面积和周长分别为 、
，求：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】由题意知纸板每剪掉半圆，面积依次减少 ，周
长依次增加 ，而 、 ，应用等比数列求和
公式可得到 、 ，再利用极限思想即可求 、 .
【详解】由题意： ，令各次剪掉的半圆面积为 ，
∴ ，
，令各次剪掉半圆周长变化为 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
（1） ，
（2） .
【点睛】结论点睛：
1、 .
2、 ，m为常数.
3、当 时， ；当 时， ；
题型三：数列中其他极限问题
1．（2024高三·全国·专题练习）著名的斐波那契数列满足 ， ，证
明 .
【答案】证明见解析
【详解】证明：令 ，则 ，此时 ， ，由
定理10，得 .
2．（2024高三·全国·专题练习）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：
；即3，5，第三行是： 即4，6，6，8； （即从第
二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
……………………………………
若第 行所有的项的和为 ．
(1)求 ；
(2)试求 与 的递推关系，并据此求出数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(3)设 ，求 和 的值．
【答案】(1)
(2) ；
(3) ；
【分析】（1）根据已给数据可计算 ，写出第5行后可计算 ；
（2）根据数表的形成过程，可得递推关系： ，化简后，构
造新数列 是等差数列，通项公式可求；
（3）计算 ，并裂项得 ，即用裂项相消法求得和 ，
然后可求得极限．
【详解】（1）由题意 ， ，
第 行数据是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．
∴ ．
（2）由题意，第 行共有 项，
于是有
等式两边同除 ，得 ，
即 为等差数列，公差为 ，首项为
∴ ，即 ．
（3）∵
∴
∴ ，
．
3．已知数列 ，其中 ．记数列 的前n项和为 ，
学科网（北京）股份有限公司数列 的前n项和为 ．
(1)求 ；
(2)设 （其中 为 的导函数），计算
．
【答案】(1) ；
(2)当 时， ，当 时， .
【分析】(1)由条件求出数列 的通项公式和前 项和，由此可得 ，再求数列
的前n项和为 ；
(2)由(1)求 ，结合导数公式求 ，再求 ，根据极限运算法则及性质求
.
【详解】（1）因为 ，所以数列 为等差数列，
设数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
所以
（2）由(1) ，所以 ，
，
，
当 或 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时， ，当 时， .
4．（23-24高二上·上海·期中）已知点 在直线 上， 为直线l与y轴的
交点，等差数列 的公差为1（ ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求 的值；
(3)若 ，且 ，求证：数列 为等比数列，并求 的通项
公式．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据题意可得出数列 的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）可得 ，利用裂项相消法即可求出；
（3）根据等比数列的定义即可证明，再求出通项公式即可.
【详解】（1）∵点 在直线 上， 为直线l与y轴的交点，
， ，
∵等差数列 的公差为1（ ），
， .
（2）由（1）可得 ， ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
.
（3）证明： 时， ，
，
∴数列 为等比数列，首项为 ，公比为2，
，∴ ．
5．已知定义在 上的函数 和数列 满足下列条件： ，
， ， ，其中
为常数， 为非零常数．
(1)令 ，证明数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)当 时，求 ．
【答案】(1)证明见解析.
(2)当 时， ；当 时， .
(3)
【分析】（1）由数学归纳法可得 ，再根据等比数列的定义证明即可；
（2）先求出等比数列 的通项公式，再利用等比数列前 项和和累加法求解即可；
（3）利用 时， 直接求解即可.
【详解】（1）由 得 ，
所以 ，
假设当 时 成立，
则当 时 仍成立，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由题设条件可得当 时， ，
所以数列 是以 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ， ，
所以当 时， ，即 ， ，
当 时，上式仍成立，故当 时， ；
当 时， ，即 ， ，
当 时，上式仍成立，故当 时， .
（3）因为当 时， ，
所以 .
二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练）
1．（23-24高二上·上海松江·期末）如图所示，设正三角形 边长为 是 的中点三角
形， 为 除去 后剩下三个三角形内切圆面积之和，求 .
【答案】 ．
【分析】第一个中点三角形 的边长为 ，对应的内切圆半径 ，
学科网（北京）股份有限公司从而求得 ，再根据相似的性质可得 ，依次类推，从而根据无穷小数列即可求解.
【详解】记第一个中点三角形为正三角形△ ，则△ 边长为 ，
内切圆半径为 ，
所以 ，
因为△ 与△ 相似，并且相似比是 ，
则面积的比是 ，所以 ，
因为正△ 与正△ 的面积的比也是 ，所以 ，
……
所以 ．
故答案为： .
2．（23-24高二上·上海徐汇）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片
以 为顶点，任意向上翻折，折痕与 交于点 ，然后复原，记 ；第二步，
将纸片以 为顶点向下翻折，使 与 重合，得到折痕 ，然后复原，记
；第三步，将纸片以 为顶点向上翻折，使 与 重合，得到折痕 ，
然后复原，记 ；按此折法从第二步起重复以上步骤 ，得到 ，
则 .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【分析】先分析出递推式，再求出 的通项，最后算出极限即可.
【详解】由第二步得 ；由第三步得 ，
依此类推 ，所以 ，
①若 ，则 ，此时 ；
②若 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
所以 .
综上， .
故答案为：
3．（22-23高二上·上海·期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的
正整数 都有 ,且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有
（ 为常数,且 ）,它的前 项和为 ,并且满足 ,令
,记数列 的“上渐近值”为 ,则 的值为
．
【答案】 /-0.5
【分析】先根据 求解数列 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出
,代入 得出 的表达式,最后即可得出上渐近值．
【详解】解:当 时, ,
当 时, ,
得到 ,
根据累乘法: ;满足n=1情况，
学科网（北京）股份有限公司故而数列 是首项为0,公差为 的等差数列,
,
,
,
,
,
.
故答案为:
4．（23-24高一下·上海浦东新）如图，在边长为1的正三角形ABC中， ，
， ，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 、…、正
三角形 ，记 ，则 ．
【答案】
【分析】先判断出 构成一个首项为 ，公比为 的等比数
学科网（北京）股份有限公司列，再求和，求极限.
【详解】因为正三角形ABC的边长为1，所以 .
在边长为1的正三角形ABC中， ， ， ，
所以 ，由余弦定理得：
同理可求： .
所以 ，相似比为 ,所以 .
同理可求： ,……， .
所以 构成一个首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
故答案为： .
5．（23-24高二上·上海虹口）我们用 表示内接内接于单位圆的正 边形的边长，那么对
于正 边形的边长 可通过图得到如下关系式 .例如：当 时，
， ， ， ，根据如上叙述以及极限的意义，计算
.
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【分析】分析得出 为正 边形的边长，利用极限的定义以及
圆的周长的意义可求得结果.
【详解】 ， ， ， ，可得
，
即 为正 边形的边长，
由极限的定义可知， 为正 边形的周长，
当 时，正 边形与圆重合，正 边形的周长为圆的周长，
即 ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列极限的计算，分析出 为正
边形的周长，并结合极限的意义求解是解本题的关键，同时在解本题时，要注意到当
时，正 边形与圆重合这一性质来求解.
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要
性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､
市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某
种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，两人约定其中一人比另一人
多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 .附：当
时， .求：
学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，甲赢得比赛的概率；
(2) 的数学期望.
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】（1）先计算比四局结束比赛的概率，再根据条件概率计算即可；
（2）先根据题意得出 ，结合错位相减法计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3，
若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜，
所以比四局结束比赛的概率为： ；
其中甲赢得比赛的概率为 ，
故所求概率 .
（2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设 ，
当 时， ，此时
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
…，
.
所以 的期望
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
两式相减，得 ，
因为当 时， ，
所以 ，则 ，
即 的数学期望是 .
【点睛】关键点睛：本题第二问解决的关键在于分析得比赛局数 对应的概率的特征，进
而利用错位相减法计算期望，由此得解.
7．（23-24高二·全国·课后作业）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为
竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的
，且与旧枝成 ，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原
来的 ，且与旧枝成 ，…，依次生长，直到永远．(参数数据： ，
)
(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度；
(2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）
(3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）
【答案】(1) ；
学科网（北京）股份有限公司(2)2.61；
(3) .
【分析】（1）根据示意图，计算出第 阶段、第 阶段生长的高度，即可求解出第 阶段
“黄金数学草”的高度；
（2）各阶段枝干的长度是首项为1，公比为 的等比数列，利用等比数列前n项和公
式求第 阶段“黄金数学草”的长度和.
（3）讨论奇偶项分别求出对应的高度和 ，根据等比数列的性质求最终高度的近似值.
【详解】（1）第1阶段生长的长度为 ，高度为1；
第 阶段生长的长度为 ，生长的高度为 ；
第 阶段生长的长度为 ，生长的高度为 ；
所有第 阶段“黄金数学草”的高度为： ；
（2）由题设知：各阶段枝干的长度是首项为1，公比为 的等比数列，
所以第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和 .
（3）设第 个阶段“黄金数学草”生长高度为 ，若 ，
对于所有奇数项，它们是首项为 ，公比为 的等比数列；
对于所有偶数项，它们是首项为 ，公比为 的等比数列；
所以 且 ，
综上，当 趋向于无穷大时， .
8．（2024高三·上海·专题练习）如图所示，有一列曲线 ．已知 所围成的图形
是面积为1的等边三角形， 是对 进行如下操作：将 的每条边三等分，以每边中间
学科网（北京）股份有限公司部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ ）．记
为曲线 所围成图形的面积．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】观察前两个图形， 在 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为 ,探
寻
每个图形的面积，寻找规律，猜想 ，然后用完全归纳法进行证
明.
（2）对数列求极限可得.
【详解】解（1） ，
，
．
猜测
．
证明 时，等式显然成立．
假设 时，有 ．则当 时，由于第 次操作后， 在 的每条
学科网（北京）股份有限公司边上增加了一个小等边三角形，其面积为 ，而 有 条边，故
综上，由数学归纳法知 成立．
（2） ．
【点睛】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤:
利用数学归纳法可以探索与正整数 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳
—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正
确性．
学科网（北京）股份有限公司
