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专题 11 数列的通项公式、数列求和与综合应用策略
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等差、等比数列的基本量问题............................................................................................2
题型二：证明等差等比数列................................................................................................................2
题型三：等差等比数列的交汇问题....................................................................................................3
题型四：数列的通项公式....................................................................................................................4
题型五：数列求和................................................................................................................................5
题型六：数列性质的综合问题............................................................................................................6
题型七：实际应用中的数列问题........................................................................................................7
题型八：以数列为载体的情境题........................................................................................................8
题型九：数列的递推问题....................................................................................................................9
重难点突破：数列新定义..................................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................12题型一：等差、等比数列的基本量问题
1．等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
2．等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．27 B．24 C．21 D．18
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 等于（ ）
A．3 B．303 C． D．
题型二：证明等差等比数列
4．记 为数列 的前 项和. 已知 .
(1)证明: 是等差数列；
(2)若 为 和 的等比中项，求 的最大值.
5．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知数列 满足 ， ，
(1)记 ，写出 ， ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(2)求 的前20项和．
6．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列 满足 ，且 ．
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式．
题型三：等差等比数列的交汇问题
7．已知递增数列 和 分别为等差数列和等比数列，且 ， ， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列 为等差数列， 为正整数，其前n项和为 ，数列 为等比数
列，且 ，数列 是公比为64的等比数列， ．(1)求 ；
(2)求证： ．
9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是递增的等比数列，其公比为 ，且 中的项均是 中的项， ，当 取最小值时，
若 ，请用 表示 .
题型四：数列的通项公式
10．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 .
11．数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
12．（2024·高三·山西·期中）知正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ），
．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 的表达式．
13．（2024·高三·山东青岛·开学考试）记关于 的不等式 （ ）的整数解的个数为
，数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，试求实数 的取值范围．
题型五：数列求和
14．已知数列 的前 项和为 ， 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
15．已知数列 的前 项和 ， .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
16．已知数列 满足 ，
(1)记 ，求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和 .
17．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前 项和．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前 项和 ．题型六：数列性质的综合问题
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和，满足 ，设
，数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．使得 成立的最大的 值为4045
C． D．当 时， 取得最小值
19．（多选题）（2024·高三·江西·期中）已知 是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为 ，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．任意的 ，
C．存在 ，使得
D．数列 有最大值，无最小值
20．（多选题）设 是各项为正数的等比数列，q是其公比， 是其前n项的积，且 ，
，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值题型七：实际应用中的数列问题
21．（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发
现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度
约为 ），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于
是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直
线繁殖到 ，然后分叉向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在
直线对称， ….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养
皿的半径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
22．（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年 月份生产 万个，产品合格率为 .为提
高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年 月份的产量在去年 月的基础上提高 ，产品合格率比去年
月增加 ，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品
数达到最大是今年的（ ）
A． 月份 B． 月份
C． 月份 D． 月份
23．小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计算，并从借款后次年年初开
始归还，分10次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．题型八：以数列为载体的情境题
24．若数列 满足 （ 且 ），则称数列 为“幂 数列”．已知正项数列 是
“幂2数列”且 ，设 的前 项积为 ，则 （ ）
A．1024 B．1023 C． D．
25．（2024·上海长宁·一模）数列 为严格增数列，且对任意的正整数n，都有 ，则称数列
满足“性质Ω”．
①存在等差数列 满足“性质Ω”；
②任意等比数列 ，若首项 ，则 满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题．
26．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： …，即 ，
，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列
被 除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 项的和为（ ）
A． B． C． D．
27．如果数列 对任意的 ，则称 为“速增数列”，若数列 为“速增
数列”，且任意项 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65题型九：数列的递推问题
28．在x轴的正方向上，从左向右依次取点列{Aj}，j=1，2，…， 以及在第一象限内的抛物线 上
从左向右依次取点列{Bk}，k=1，2，…， 使 （k=1，2，…） 都是等边三角形，其中A 是坐标
0
原点，则第2021个等边三角形的边长为 ．
29．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新
学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照
的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当 时，第 行空心圆点个数 与第 行及第
行空心圆点个数 的关系式为 ；第12行的实心圆点的个数是 ．
30．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地 万平方千米，其中
是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 改造为绿洲，同时原有绿洲的
被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第 年绿洲面积为 万平方千米．
(1)求 与 的关系；
(2)判断 是不是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过 ？31．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考查其再生能力及捕捞强度
对鱼群总量的影响． 用 表示某鱼群在第n年年初的总量， ，且 ．不考虑其它因素，设在第n
年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
(1)求 与 的关系式；
(2)猜测：当且仅当x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）；
1
(3)设 ，为保证对任意 ，都有 ，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明
你的结论．
重难点突破：数列新定义
32．若数列 共 项， ，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数，
则称数列 为“广义和谐01数列”．若“广义和谐01数列” 中， ，其中有 项为0，
有 项为1，则称数列 为“和谐01数列”．
(1)当 时，写出一个“和谐01数列” ．
(2)用 表示 个0， 个1构成的“广义和谐01数列”的个数．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）当 时，求 （用含 的式子表示）．33．已知二次函数 同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定
义域内存在 ，使得不等式 成立．设数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数．若
，求数列 的变号数．
34．已知数列 的前n项和为 ，若 满足：① 项数有限为N；② ；③ ，则称数
列 为“N阶 型数列”．
(1)若 ，请判断数列 是否为“N阶 型数列”？若是，请求出N的值；若不是，请
说明理由；
(2)若等比数列 为“6阶 型数列”，求 的通项公式；
(3)若等差数列 为“2m阶 型数列”，且 ，证明：数列 中不存在两项
之和仍在该数列中．1．已知 为等差数列 的前n项和， ， ，则数列 的公差 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知等差数列 和 的前 项和分别为 ，若 ，则 （ ）
14
A． B． C．28 D．
9
3．在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
4．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，设 ，将数列 中
的整数项组成新的数列 ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
5．设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．
既不充分也不必要条件
6．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学
习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答
案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差
为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数 ， 且该数列的第 项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码
是（ ）
A．87 B．94 C．101 D．108
8．（多选题）已知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
9．（多选题）如图，在四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于点 ，
且 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列，则（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 的前 项和为
C．数列 为递增数列
D．
10．（多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 .下列说法正确的是
（ ）
A．数列 为等差数列 B．若 ， ，则C．数列 为等比数列 D．若 ，则数列 的公比为2
11．已知数列 前 项和为 ，且 ，若存在两项 使得 ，当
时，则 最小值是 .
12．若 ，已知数列 中，首项 ， ， ，
则 .
13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为 的线段PQ，取
PQ的中点 ，以 为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为 ，再取 的中点 ，
以 为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则
.
14．已知数列 中，
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式；(3)令 ，证明: ．
15．在 个数码1，2，…， （ ， ）构成的一个排列 中，若一个较大的数码排在一个
较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个
数称为这个排列的逆序数，记为 ，例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ， ，求 的通项公式；
(3)设排列 （ ， ）满足 （ ）， （ ），
，求 ，
16．设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积 ，且 ．
(1)求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围．17．已知给定数列 ，从第二项起后项与前项作差，得到新数列 ，定义
这个新数列为数列 的 阶差数列，记为 ，继续上述操作，得到新数列
，称为 的 阶差数列，记为 ，一般地，对任意
，称数列 为数列 的 阶差数列．
(1)写出数列 的 阶差数列；
(2)若数列 的首项 阶差数列 ，求 的通项公式；
(3)若数列 的首项 ，且 ，求数列 的最小值．
18．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
19．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， ， 成等比数列．(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 前 项和为 ；
(3)设 求数列 的前项和 ．
