文档内容
专题 11 数列的通项公式、数列求和与综合应用策略
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等差、等比数列的基本量问题............................................................................................2
题型二：证明等差等比数列................................................................................................................3
题型三：等差等比数列的交汇问题....................................................................................................5
题型四：数列的通项公式....................................................................................................................7
题型五：数列求和..............................................................................................................................10
题型六：数列性质的综合问题..........................................................................................................13
题型七：实际应用中的数列问题......................................................................................................15
题型八：以数列为载体的情境题......................................................................................................17
题型九：数列的递推问题..................................................................................................................19
重难点突破：数列新定义..................................................................................................................23
02 重难创新练....................................................................................................................................29题型一：等差、等比数列的基本量问题
1．等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【解析】设数列公差为d，由 ， ，
可得 ，解得 ， ，
则 ．
故选：C
2．等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．27 B．24 C．21 D．18
【答案】C
【解析】在等比数列 中，其公比 ，所以 ，
所以 ，
故选：C．
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 等于（ ）
A．3 B．303 C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ，可得 ，故 ．
故选：A.
题型二：证明等差等比数列
4．记 为数列 的前 项和. 已知 .
(1)证明: 是等差数列；
(2)若 为 和 的等比中项，求 的最大值.
【解析】（1） ，
，
，
化简得: ，
， ，
是以公差为 的等差数列.
（2）由(1)得 ，
同理 ，
由题意 ，即 ，
解得 ，
，当 时， ，当 时， ，
.
5．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知数列 满足 ， ，
(1)记 ，写出 ， ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求 的前20项和．
【解析】（1）依题意， ， ，
显然 ，因此 ，
所以数列 是等差数列，其首项为1，公差为4，通项
（2）当n为奇数时， ，
所以 的前20项和为
6．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列 满足 ，且 ．
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，即 ，
又 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以
题型三：等差等比数列的交汇问题
7．已知递增数列 和 分别为等差数列和等比数列，且 ， ， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，其中 ，由题意得： ，所以 ，
所以 （舍）或 ，代入原方程后可得 ，
于是得到数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（2）由题可得 ，
由于 时， ，
则 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
则 （当且仅当 时取等号）.
所以 .
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）数列 为等差数列， 为正整数，其前n项和为 ，数列 为等比数
列，且 ，数列 是公比为64的等比数列， ．
(1)求 ；
(2)求证： ．
【解析】（1）设 的公差为d， 的公比为q，则d为正整数，依题意有 ①．
由 知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2） ，∴
∴
即证．
9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是递增的等比数列，其公比为 ，且 中的项均是 中的项， ，当 取最小值时，
若 ，请用 表示 .
【解析】（1）取 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ， ， .
（2）由 且 是递增的等比数列，得 ，
故 （ 且 ），
由于数列 是递增数列，则当 取最小值时， ，即 ，
，
若 ，则 ，所以 .
题型四：数列的通项公式
10．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 .
【答案】
【解析】数列 中， ，
当 时， ，
两式相减得 ，解得 ，而 ，即 满足上式，
所以 的通项公式为 .
故答案为：
11．数列 满足 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】【解析】数列 中，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，于是数列 是首项为3，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
12．（2024·高三·山西·期中）知正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ），
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 的表达式．
【解析】（1）正项数列 的前 项和为 ，满足 ，
所以 ，
整理得： ，
由于数列为正项数列，
所以 （常数），
所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
故 ，
所以当 时， ，当 时， 符合上式，
所以 ．
（2）由于 ，
所以 ，
所以
．
13．（2024·高三·山东青岛·开学考试）记关于 的不等式 （ ）的整数解的个数为
，数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，试求实数 的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 ，故 ，于是 .
所以 ，易知 ，即 .
当 时， ，
故 ， ，当 时，上式也成立，
所以 ， .（2） ，
所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
由于 ，若 为偶数时，则 ，
由于 ，所以 ，
若 为奇数时，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故 的取值范围为 ．
题型五：数列求和
14．已知数列 的前 项和为 ， 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
当 时， ，
当 时，上式不成立，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，
即 ，
，
两式相减得 ，
所以 .
15．已知数列 的前 项和 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
【解析】（1）当 时， ；
当 时， .
也满足 ，故数列 的通项公式为 .（2）由（1）知 ，故 ，记数列 的前 项和为 ，
则 .
记 ，
则 ，
.
故数列 的前 项和 .
16．已知数列 满足 ，
(1)记 ，求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求 的前n项和 .
【解析】（1）由题知 ， ，
又 ， ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以3为首项，2为公差的等差数列，
于是 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ①，
则 ②，则① ②得
，
所以 .
17．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前 项和．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）对 整理有： ，
等式两边同时除以 可得 ，
等式两边再同时减 得 ，即 ，
又由 ，可得 ，故 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 的通项公式为 ，
得 ，所以 ．（3）由（2）知 ，
所以
．
题型六：数列性质的综合问题
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和，满足 ，设
，数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．使得 成立的最大的 值为4045
C． D．当 时， 取得最小值
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，A正确；
同理 ， ， ，
则 ，所以 ，即 ，
所以 ，C正确；
因为 ，所以 ，
故使得 成立的最大的 值为4044， B错误；
又 ，故当 ， ，故 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故
当 时， ，故 ，
而 ，
故 ，故当 时 取得最小值，D正确.
故选：ACD.
19．（多选题）（2024·高三·江西·期中）已知 是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为 ，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．任意的 ，
C．存在 ，使得
D．数列 有最大值，无最小值
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，所以 ，
令 ，得 ，又 ，可得 ，A正确；
由 ， ，所以 ，C错误，由 ，且 ，B正确，
由 ，得 ，所以
，即 ，
所以 随 的增大而减小，故 为正项单调递减的无穷数列，且 ，
故数列 有最大值2，无最小值，D正确；
故选：ABD
20．（多选题）设 是各项为正数的等比数列，q是其公比， 是其前n项的积，且 ，
，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【答案】ABD
【解析】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积 也为正，公比 ，
又 ， ， ， ，B正确；
又 ，故 ，即 ，A正确；
C选项，由 得 ，所以 ，
而 ， ，因此 ，C错误；
D选项，由上知 ，先增后减， 与 均为 的最大值，D正确．
故选：ABD
题型七：实际应用中的数列问题
21．（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发
现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度
约为 ），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于
是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直
线繁殖到 ，然后分叉向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在
直线对称， ….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养
皿的半径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由题意可知， ，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在 方向上的距离的范围，
即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为：，
则 ，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即 ，
综合可得培养皿的半径r（ ，单位： ）至少为8cm，
故选：C
22．（2024·山西运城·一模）某工厂加工一种电子零件，去年 月份生产 万个，产品合格率为 .为提
高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年 月份的产量在去年 月的基础上提高 ，产品合格率比去年
月增加 ，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品
数达到最大是今年的（ ）
A． 月份 B． 月份
C． 月份 D． 月份
【答案】C
【解析】设从今年 月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、不合格率分别用 、 表示，月份用 表示，
则 ， ，其中 ， ，
则从今年 月份起，各月不合格产品数量为 ，单位：万台，
因为
，
当 时， ，即 ，此时，数列 单调递增，即 ；
当 且 时， ，即 ，此时，数列 单调递减，
即 ，
因此，当 时， 最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的 月份.
故选：C.
23．小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计算，并从借款后次年年初开
始归还，分10次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设每年应还 万元，则有 ，
得 ，
解得 ．
故选：B．
题型八：以数列为载体的情境题
24．若数列 满足 （ 且 ），则称数列 为“幂 数列”．已知正项数列 是
“幂2数列”且 ，设 的前 项积为 ，则 （ ）
A．1024 B．1023 C． D．
【答案】D
【解析】∵正项数列 是“幂2数列”，∴ ，又∵ ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∵ ，
∴ ，即 ，
又 ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
,
∴
∴
，
所以 ．
故选:D.
25．（2024·上海长宁·一模）数列 为严格增数列，且对任意的正整数n，都有 ，则称数列
满足“性质Ω”．
①存在等差数列 满足“性质Ω”；
②任意等比数列 ，若首项 ，则 满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题．
【答案】B
【解析】设等差数列的首项和公差分别为 ，若等差数列 满足“性质Ω”；
由 可得 ，故 ，即 ，故只需要 即可满
足“性质Ω”；故①是真命题，
设等比数列 的首项和公比分别为 ，若 ， ，则 显然不成
立，
因此存在等比数列 不满足“性质Ω”；故②是假命题
故选：B
26．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： …，即 ，
，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列
被 除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据斐波那契数列性质可得 中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，
因此新数列 即为按照 成周期出现的数列，周期为 ，
易知 ，一个周期内的三个数字之和为 ；
所以数列 的前 项的和为 .
故选：C
27．如果数列 对任意的 ，则称 为“速增数列”，若数列 为“速增
数列”，且任意项 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B【解析】当 时， ，
因为数列 为"速增数列"，
所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
故正整数 的最大值为63，
故选：B.
题型九：数列的递推问题
28．在x轴的正方向上，从左向右依次取点列{Aj}，j=1，2，…， 以及在第一象限内的抛物线 上
从左向右依次取点列{Bk}，k=1，2，…， 使 （k=1，2，…） 都是等边三角形，其中A 是坐标
0
原点，则第2021个等边三角形的边长为 ．
【答案】2021
【解析】设第 个等边三角形的边长为 ．则第 个等边三角形的在抛物线上的顶点 的坐标为
， ．
再从第 个等边三角形中，可得 的纵坐标为 ．
从而有 ，
即有 ．
由此可得 ①以及 ②
① ②即得 ．
变形可得 ．
由于 ，所以 ．
在①式中取 ，可得 ，而 ，故 ．所以
第2021个等边三角形的边长
故答案为：2021
29．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新
学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照
的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当 时，第 行空心圆点个数 与第 行及第
行空心圆点个数 的关系式为 ；第12行的实心圆点的个数是 ．
【答案】 ； 55
【解析】设第 行实心圆点个数为 ，则 ，
当 时，有 ，
所以当 时， ，所以 ；
由这个递推式得 依次为 ，所以 ．
故答案为： ；55.
30．“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地 万平方千米，其中
是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 改造为绿洲，同时原有绿洲的
被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第 年绿洲面积为 万平方千米．
(1)求 与 的关系；
(2)判断 是不是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过 ？
【解析】（1）由题意 时，
，
所以， .
（2）数列 是等比数列．理由如下：
由（1）得 ，
设 ，可得 ，所以， ，可得 ，
所以， ，且 ，
因此，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（3）由（2）可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， ，即 ．
令 ，得 ，
两边取常用对数，得 ，
所以，
，所以， ，
所以，至少经过 年，绿洲面积可超过 ．
31．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考查其再生能力及捕捞强度
对鱼群总量的影响． 用 表示某鱼群在第n年年初的总量， ，且 ．不考虑其它因素，设在第n
年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
(1)求 与 的关系式；
(2)猜测：当且仅当x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）；
1
(3)设 ，为保证对任意 ，都有 ，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明
你的结论．
【解析】（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为 ，被捕捞量为 ，死亡量为 ，
因此 ，即
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则 恒等于 ，从而由（*）式得 恒等于0，
，所以 ，即 ，因为 ，所以 ．
猜测：当且仅当 ，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变．
（3）若b的值使得 ，
由 ，知 ，特别地，有 ． 即 ．
而 ，所以 ，由此猜测b的最大允许值是1．
下证 当 ， 时，都有 ，
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即 ，
则当n=k+1时， ．
又因为 ，
所以 ，故当 时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的 ，都有 ．
综上所述，为保证对任意 ，都有 ， ，则捕捞强度b的最大允许值是1．
重难点突破：数列新定义
32．若数列 共 项， ，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数，
则称数列 为“广义和谐01数列”．若“广义和谐01数列” 中， ，其中有 项为0，
有 项为1，则称数列 为“和谐01数列”．(1)当 时，写出一个“和谐01数列” ．
(2)用 表示 个0， 个1构成的“广义和谐01数列”的个数．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）当 时，求 （用含 的式子表示）．
【解析】（1）0，1，0，1，0，1（答案不唯一）．
（2）（ⅰ）解法一（树状图法）
因此 ．
解法二（列表法）
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
因此 ．
解法三（插空法） 先排好三个“0”，于是产生如图所示三个空，分别标记为 ，
0 0 0
剩下三个“1”讨论如下：
①三个“1”连在一起形成“111”整体插空，只能放 位，有1种排法；②三个“1”构成“11”和“1”分别排在其中两个空，“11”占 位时，“1”排 位或 位，“11”占 位时，
“1”只能排 位，共有3种排法；
③三个“1”构成“1”“1”“1”各占一空，有1种排法．
所以共有 种排法，即 ．
解法四（递推法） 已知最后一位只能排“1”，因此 ，此时 或 ，
因此 ．
（ⅱ）
，（利用解法四可快速列
出 的表达式）
下面先求 ：
先将“0”排好，得 ，其中 个“0”， 个“ ”，
2个“1”有两种排法：①整体插入其中一个中“ ”，共有 种方式；
②在 个“ ”中任取两个，各插入一个“1”，共有 种方式．
因此 ．
所以
．
33．已知二次函数 同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 ，使得不等式 成立．设数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数．若
，求数列 的变号数．
【解析】（1） 的解集有且只有一个元素．
或 ．
当 时，函数 在 上单调递增，
故不存在 ，使得不等式 成立；
当 时，函数 在 上单调递减，
故存在 ，使得不等式 成立．
综上，得 ， ． ．
，
当 时， ，不满足要求.
（2）方法一：由题设得 ，
当 时， ，
当 时，数列 递增．，由 ，
可知 ．即当 时有且只有一个变号数．
又 ， ， ，
， ，
此处变号数有2个．
综上得，数列 共有3个变号数．
方法二：由题设 ，
当 时，
令 或 或 ．
又 ， ．
时也有 ．
综上得，数列 共有3个变号数．
34．已知数列 的前n项和为 ，若 满足：① 项数有限为N；② ；③ ，则称数
列 为“N阶 型数列”．
(1)若 ，请判断数列 是否为“N阶 型数列”？若是，请求出N的值；若不是，请
说明理由；
(2)若等比数列 为“6阶 型数列”，求 的通项公式；
(3)若等差数列 为“2m阶 型数列”，且 ，证明：数列 中不存在两项
之和仍在该数列中．【解析】（1）若数列 是“N阶 型数列”，则 ，
因为 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
解得 或 （舍去）．
此时满足条件①数列 项数有限为5，满足条件② ，
又 ，
满足条件③ ，
故数列 为“5阶 型数列”， ．
（2）若 ，则 ，解得 ，不满足 为等比数列；
若 ，则
，
解得 ，
而 ，解得 或 ，
故 或 ．
（3）设等差数列 ， ， ，…， 的公差为d，
因为 ，则 ，则 ，故 ，
由 ，得 ， ， ，而 ，
故 ， ，两式相减得 ，即 ，
又 ，得 ，
所以 （ ， ）．
任取数列 中的第s，t，r项，
不妨设 ，则 （ ， ），
， （ ， ），
所以
因为 ，所以 ，即 ，
因为s，t，r， ，所以 为偶数，
而1为奇数，所以上式不成立，即数列 中不存在两项之和仍在该数列中1．已知 为等差数列 的前n项和， ， ，则数列 的公差 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为d，由 及
得 解得 ．
故选：B
2．已知等差数列 和 的前 项和分别为 ，若 ，则 （ ）
14
A． B． C．28 D．
9
【答案】D
【解析】依题意， 和 是等差数列，
而 ，故可设 ，
其中 ，所以 ，
，
.
故选：D
3．在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）A． B． C．3 D．9
【答案】D
【解析】由 是方程 两根可得 ，
由等比数列性质可得 ，解得 或 （舍）；
所以 .
故选：D
4．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，设 ，将数列 中
的整数项组成新的数列 ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
【答案】D
【解析】令数列 的公比为 ， ，
因为 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，解得 （舍去 ），
所以 ，即 ，
因为数列 中的整数项组成新的数列 ，
所以 ，此时 ，即 ，
可得 .
故选：D.5．设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ；
当 时， ，此时 显然单调递增，
所以 可以推出 为递增数列；
当 为递增数列时，不妨取 ，此时 为递增数列，但 不满足，
所以 为递增数列不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.
6．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的公差为 ，因为 ， ，
可得 ，解得 ，所以 ，
可得 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D.
7．数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学
习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差
为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类
推，求满足如下条件的最小整数 ， 且该数列的第 项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码
是（ ）
A．87 B．94 C．101 D．108
【答案】B
【解析】由题意可知：
，
，
所以
所以当 时， ，此时后5项和 848构成公差为 的等差数列，
所以 ，不符合题意；
当 时， ，此时后5项和943构成公差为20的等差数列，所以 ，
符合题意，
当 时， ，此时后5项和1148构成公差为22的等差数列，所以
，不符合题意，
当 时， ，此时此时后5项和1258构成公差为23的等差数列，所以，不符合题意，
故选：B
8．（多选题）已知数列 是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
【答案】AD
【解析】对于A，由题意得 ，所以数列 是常数列，A正确；
对于B，数列的 通项公式为 ，则 ，
所以数列 是公比为3的等比数列，B错误；
对于C， ，所以数列 是公差为1的等差数列，C错误；
对于D， ，所以数列 是公比为9的等比数列，D正确，
故选：AD.
9．（多选题）如图，在四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于点 ，
且 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列，则（ ）
A．数列 为等比数列B．数列 的前 项和为
C．数列 为递增数列
D．
【答案】ABD
【解析】A选项，因为 为边 上的一列点，设 ，
即 ，所以
，
即 ，所以 ，
即 ，所以数列 为公比为2的等比数列，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ， ，
的前 项和为
，B正确；
CD选项， ，故 ，显然 ，则数列 不是递增数列，C错误，D正确.
故选：ABD
10．（多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 .下列说法正确的是
（ ）
A．数列 为等差数列 B．若 ， ，则
C．数列 为等比数列 D．若 ，则数列 的公比为2
【答案】ACD
【解析】对于A，令等差数列 公差为 ，则 ， ，
为常数，数列 为等差数列，A正确；
对于B，等差数列 中， 成等差数列，则 ，解得 ，B错误；
对于C，令等比数列 的公比为 ，则 ， 为常数，数列 为等比数列，C正确；
对于D，等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，
则 ，而 ，解得 ，D正确.
故选：ACD
11．已知数列 前 项和为 ，且 ，若存在两项 使得 ，当
时，则 最小值是 .
【答案】4
【解析】由 ，得 ，两式相减得，而 ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，即 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 最小值是 ，
故答案为： .
12．若 ，已知数列 中，首项 ， ， ，
则 .
【答案】158
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，整理得 ， ，
即 是常数数列，又 ，所以 ，即 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：158.
13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为 的线段PQ，取
PQ的中点 ，以 为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为 ，再取 的中点 ，
以 为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为 ，以此类推，则
.
【答案】 /
【解析】由题可得， ，
从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的 ，
故每个正三角形的面积可构成一个以 为首项， 为公比的等比数列，则 .
故答案为： .
14．已知数列 中，
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求 的通项公式；
(3)令 ，证明: ．
【解析】（1）由 得 ，
则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ,
解得： .（3）
令 ， ，
因为 在 上单调递增，则
所以数列 在 上单调递减，从而数列 在 上单调递增，且 ，
故得 .
15．在 个数码1，2，…， （ ， ）构成的一个排列 中，若一个较大的数码排在一个
较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个
数称为这个排列的逆序数，记为 ，例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ， ，求 的通项公式；
(3)设排列 （ ， ）满足 （ ）， （ ），
，求 ，
【解析】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以 .
（2）由（1）中的方法，同理可得 ，
又 ，所以 ，
设 ，得 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，
所以数列 是首项为1，公比为5的等比数列，
所以 ，则 .
（3）因为 （ ），
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．设正项数列 的前 项之和 ，数列 的前 项之积 ，且 ．
(1)求证： 为等差数列，并分别求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意知 ，且当 时， ，所以由 得 ，
所以 ，由 得 ，即 ，
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，即 ，所以 ；
当 时， ，
当 时， 也符合上式，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以
，
所以
，
所以数列 是单调递增数列，所以 ，
因为不等式 对任意正整数 恒成立，
所以 ，即 ，又 ，所以解得 ，所以 的取值范围为 .
17．已知给定数列 ，从第二项起后项与前项作差，得到新数列 ，定义
这个新数列为数列 的 阶差数列，记为 ，继续上述操作，得到新数列
，称为 的 阶差数列，记为 ，一般地，对任意
，称数列 为数列 的 阶差数列．
(1)写出数列 的 阶差数列；
(2)若数列 的首项 阶差数列 ，求 的通项公式；
(3)若数列 的首项 ，且 ，求数列 的最小值．
【解析】（1）由题意，得 ， ；
，所以2阶数列为 ．
（2）因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
累加得 ，即 ，
所以 ．
（3）因为 ，及 ，得 ，
又 ，所以 ，两边同除 ，得 ，
当 时，，
所以 ， 时 也满足，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增
而 ，所以 ，即 时， 取得最小值为 ．
18．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由 ，得 （ ， ），
， （ ， ）．
又 ， ， ，整理得 ．
数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ， ． ，
即 ， ，两式相减，得 ， ．
19．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 前 项和为 ；
(3)设 求数列 的前项和 ．
【解析】（1）根据题意，因为 ， ， ， 成等比数列，
所以 ，又 ，
解得 ， ，
故 ；
（2）因为
，
所以
；
（3）∵
∴ ①，
②，- 得
∴① ②
.
∴
