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第10讲 二项分布与超几何分布
复习要点 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.2.理解两点分布和超几何分布
的意义，并能进行简单地应用．
一 二项分布
1．伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；我们将一个伯努利试验独立地重
复进行n次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 ．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00.9，解得n>，又≈10.3，n∈N*，∴至少需要布置11门高
炮．
答案：11
题型 n重伯努利试验
典例1(1)(2024·河北保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，
乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目
标 1 次 的概率为________．
分三类
(2)一袋中装有5个白球，3个红球，则从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜
色，然后放回， 直到红球出现 10 次停止，用 X 表示取球的次数，则 P ( X ＝ 12) ＝________
则X＝12时表示前11次中9次取红球，第12次取红球．
(填表达式)．
解析：(1)事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击
中 2 次乙击中 1 次”“甲击中 3 次乙击中 2 次”三种情形，其概率 P＝C××2×C×3＋
C×2××C××2＋C×3×C×2×＝.故答案为.(2)每一次取球取到红球的概率为，取到白球的概率为，前11次取球是11次独立重复
试验，“取到红球”的事件发生9次，其概率是C×9×2.第12次取到红球的概率是，由相互
独立事件同时发生的概率乘法公式，得P(X＝12)＝C×9×2×＝C×2×10.
故答案为C2×10.
在n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.计算时，要
先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率.\s\up7( )
对点练1(2024·江西重点中学协作体联考)我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为
“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，
使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜．现有甲、乙两人对弈，其中甲、
乙击中对方并射入对方圆洞的概率分别为，.甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率
是( )
A． B． C． D．
解析：因为甲执先手，双方共击9次后游戏结束，所以一定甲获胜，且最后1次甲击
中，前8次甲击中3次，乙至多击中3次，故所求概率P＝C×3×××＝.故选C．
答案：C
题型 二项分布
典例2(2024·湖南长沙一中等校测试)甲、乙两家公司招聘高级软件工程师，应聘程序
都是应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过项数越多，聘用可能性越大，程
序员小明准备应聘这两家公司．已知小明应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为
小明应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0 E ( X ) ，则＋m>2，故N2－683N－684，
解得N<≈6 665.7，
则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)>a(N)；
当N≥6 666时，a(N＋1)M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次，抽出的次品件数为X；
2
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方
超几何分布．
法抽取n件，出现次品的件数为X(N－M>n>0，M≥n)．
3
解：(1)X 的分布列为
1
X 0 1
1
P C0n C1n－1
X 2 … n
1
P C2n－2 … Cn
X 服从二项分布，即X～B.
1 1
(2)X 的分布列为
2
X 0 1 2 … n
2
C· C2·
P n … n
n－1 n－2
X 服从二项分布，即X～B.
2 2
(3)X 的分布列为
3
X 0 1 … k … n
3
P … …
X 服从超几何分布．
3
超几何分布与二项分布的区别
二项分布和超几何分布都是重要的离散型随机变量的分布形式，它们的表述也往往都
是这样的形式：从数量为N的总体中抽取M个个体，满足限制条件的个体n的数量X的期
望．如何区分呢？
从本质上看，两种分布是完全不一样的，最明显的区别是二项分布是“放回抽样检
查”，而超几何分布的最明显特点是“一次性抽取”，可以看作“不放回抽样”．也就是
说，二项分布中，每一次抽取都是独立的，超几何分布中，前一次抽取会影响后一次抽取
的各种情况的概率，是相互关联的．
抓住“独立”这个字眼去判断，就很好分辨二项分布与超几何分布了．(特别地，对于
不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可
以用二项分布近似
对点练4 某学校举行“百科知识”竞赛．分两轮进行，第一轮需要从给定的5道题
中选3道进行回答，答对一道得3分，答错一道扣1分，第二轮需要回答3道问题，答对
一道得5分，答错不得分．选手甲在第一轮的5道题中只能答对其中2道，第二轮的3道
题中答对任意一道的概率均为.假设选手甲两轮比赛的答题结果是相互独立的．
(1)求选手甲两轮比赛的得分相等的概率；
(2)记选手甲两轮比赛的得分分别为X和Y，试比较X，Y的数学期望的大小．解：(1)选手甲第一轮比赛所选的3道题答对的道数可能为0,1,2，得分分别为－3,1,5.
选手甲第二轮比赛需要回答的 3 道题中答对的道数可能为 0,1,2,3，得分分别为
0,5,10,15.
选手甲两轮比赛的得分相等即甲在第一轮比赛答对2道且在第二轮比赛答对1道，其
概率为×C××2＝.
(2)选手甲第一轮比赛的得分X的可能取值为－3,1,5，
P(X＝－3)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝5)＝＝，
所以E(X)＝(－3)×＋1×＋5×＝.
由题意知选手甲第二轮比赛答对题的数量Z服从二项分布B，则E(Y)＝E(5Z)＝5E(Z)＝
5×3×＝6，因此E(Y)>E(X)．
