第10讲 二项分布与超几何分布
复习要点 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.2.理解两点分布和超几何分布
的意义，并能进行简单地应用．
一 二项分布
1．伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；我们将一个伯努利试验独立地重
复进行n次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 ．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表
示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ，k＝0,1,2，…，n.如果随机
变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) ．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) ．
二 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不
放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，
m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，
M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
常/用/结/论
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽
取问题对应超几何分布．当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可
视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝·.
1．判断下列结论是否正确．
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(√)
(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(√)
(3)有放回抽取时对应的是超几何分布．()
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝
p，b＝1－p.()
2．甲、乙两羽毛球运动员要进行三场比赛，且这三场比赛可看作三次伯努利试验，若
甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为( )
A． B．C． D．
解析：设甲取胜为事件A，每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～
B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.
答案：C
3．(2024·山东历城二中模拟)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回抽取3次，
每次抽取1件．设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1
C．3 D．4
解析：ξ的可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.故选C．
答案：C
4．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，要使敌机一旦进入这个区
域后有0.9以上的概率被击中，至少需要布置________门高炮？(用数字作答，lg 2≈0.301
0，lg 3≈0.477 1)
解析：设需要布置n门高炮．
由题意可得，1－(1－0.2)n>0.9，解得n>，又≈10.3，n∈N*，∴至少需要布置11门高
炮．
答案：11
题型 n重伯努利试验
典例1(1)(2024·河北保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，
乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目
标 1 次 的概率为________．
分三类
(2)一袋中装有5个白球，3个红球，则从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜
色，然后放回， 直到红球出现 10 次停止，用 X 表示取球的次数，则 P ( X ＝ 12) ＝________
则X＝12时表示前11次中9次取红球，第12次取红球．
(填表达式)．
解析：(1)事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击
中 2 次乙击中 1 次”“甲击中 3 次乙击中 2 次”三种情形，其概率 P＝C××2×C×3＋
C×2××C××2＋C×3×C×2×＝.故答案为.(2)每一次取球取到红球的概率为，取到白球的概率为，前11次取球是11次独立重复
试验，“取到红球”的事件发生9次，其概率是C×9×2.第12次取到红球的概率是，由相互
独立事件同时发生的概率乘法公式，得P(X＝12)＝C×9×2×＝C×2×10.
故答案为C2×10.
在n重伯努利试验中，事件恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.计算时，要
先确定好n，p和k的值，再准确利用公式求概率.\s\up7( )
对点练1(2024·江西重点中学协作体联考)我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为
“弹棋”的游戏，其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，
使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜．现有甲、乙两人对弈，其中甲、
乙击中对方并射入对方圆洞的概率分别为，.甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率
是( )
A． B． C． D．
解析：因为甲执先手，双方共击9次后游戏结束，所以一定甲获胜，且最后1次甲击
中，前8次甲击中3次，乙至多击中3次，故所求概率P＝C×3×××＝.故选C．
答案：C
题型 二项分布
典例2(2024·湖南长沙一中等校测试)甲、乙两家公司招聘高级软件工程师，应聘程序
都是应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过项数越多，聘用可能性越大，程
序员小明准备应聘这两家公司．已知小明应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为
小明应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0<m<1.各项专业技能
测试是否通过相互独立．
(1)若m＝，分别求小明应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，小明只能应聘其中一家，则当 m的取值
在什么范围内时，小明应选择应聘乙公司？
解：(1)设A为“小明应聘甲公司恰好通过两项专业技能测试”，B为“小明应聘乙公
司恰好通过两项专业技能测试”，
根据题意可得P(A)＝C×2×＝，P(B)＝×C××＋××＝.
(2)设小明应聘甲公司通过测试的项数为X，应聘乙公司通过测试的项数为Y，
根据题意可知， X ～ B ，则 E(X)＝3×＝2.【会读懂】结合题意可知小明应聘甲公司，通
过测试的项数服从二项分布，计算期望时，直接应用二项分布的期望计算公式即可．
Y的所有可能取值为0,1,2,3，
P(Y＝0)＝××(1－m)＝－m，
P(Y＝1)＝××(1－m)＋××(1－m)＋××m＝－m，
P(Y＝2)＝××(1－m)＋××m＋××m＝－m，
P(Y＝3)＝××m＝m，
则随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2 3P －m －m －m m
E(Y)＝×0＋×1＋×2＋m×3＝＋m.
若 E ( Y )> E ( X ) ，则＋m>2，故<m<1，
【读懂题意】专业技能测试通过的项数越多，被聘用的可能性越大，也就是说，通过
项数的期望越大，被聘用的可能性越大．因此，小明应该比较两家公司专业技能测试的通
过项数的期望，选取期望较大的公司去应聘．
故当m的取值范围是时，小明应选择应聘乙公司．
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：①在每一次试验中，事件发生的概率相
同；②各次试验中的事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发
生与不发生.\s\up7( )
对点练2(2024·四川凉山州诊断)某市为了更好地了解全市中小学生感染甲流后的情况，
以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了 100名抗原检测为阳性的中小学生
监测其健康状况，100名中小学生感染后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下表格.
疼痛
X≤10 10<X<90 X≥90
指数X
人数 10 81 9
名称 无症状感染者 轻症感染者 重症感染者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者．
(1)统计学中常用L＝表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随
机抽取1名学生，记事件A为该学生为有症状感染者，事件B为该学生为重症感染者，求
似然比L的值．
(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似的服从正态分布N(50，
σ2)，且P(X≥90)＝.从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生
中轻症感染者人数为Y，求Y的分布列及数学期望．
解：(1)由题意得P(A)＝＝，
P(B)＝，则P()＝，P(AB)＝，P(A)＝，
∴P(B|A)＝＝＝，
P(|A)＝＝＝，
∴L＝＝＝.
(2)∵P(X≤10)＝P(X≥90)＝，
∴P(10<X<90)＝1－2×＝，
则Y～B，
Y可能的取值为0,1,2,3，
P(Y＝0)＝C×3＝；
P(Y＝1)＝C××2＝；
P(Y＝2)＝C×2×＝；
P(Y＝3)＝C×3＝.∴Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴数学期望E(Y)＝3×＝.
题型 超几何分布
典例3(2024·广东梅州模拟)某校高三1 000名学生的开学考试数学成绩频率分布直方图
如图所示，其中成绩分组区间是[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]
(单位：分)．
(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计这1 000名学生数学成绩的平均分(同一组中的数据用该
组区间的中点值代表)；
(3)从数学成绩位于 [90,110) ， [110,130) 内
人数之比为3∶1.
的学生中采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记这2人
中成绩 在区间 [90,110) 内的人数为 X ，求X
X服从超几何分布．
的分布列及数学期望．
解：(1)由频率分布直方图可知，(0.002 5＋2a＋0.007 5＋2×0.015 0)×20＝1，所以a＝
0.005 0.
(2)所求数学成绩的平均分约为40×0.05＋60×
每组组中值×频率，再求和．
0．15＋80×0.3＋100×0.3＋120×0.1＋140×0.1＝91(分)．
(3)由(1)知，a＝0.005 0，所以数学成绩在区间[90,110)与[110,130)内的人数之比为
3∶1，所以采用分层随机抽样的方法抽取的8人中有6人的数学成绩在区间[90,110)内，有
2人的数学成绩在区间[110,130)内，X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以 E ( X ) ＝ 0× ＋ 1× ＋ 2× ＝ .
【另解】由题意知X～H(2,6,8)，所以E(X)＝＝，这是利用了超几何分布的性质——随机变量X服从超几何分布H(n，M，N)(n，N，M∈N*，M≤N，n≤N)，则E(X)＝.
1．超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题．
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的概率计算公式
从古典概型的角度加以理解更容易记忆：P(X＝k)＝(k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中
n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，即恰取了k件次品
的概率
P＝.
3．超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球
与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题.
对点练3(2024·皖云吉黑四省适应考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200
尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出 500尾鱼，
X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1)若N＝5 000，求X的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N
的值作为N的估计值)．
解：(1)依题意知X服从超几何分布，且N＝5 000，M＝200，n＝500，
故E(X)＝n×＝500×＝20.
(2)当N<685时，P(X＝15)＝0，
当N≥685时，P(X＝15)＝，
记a(N)＝，则
＝
＝
＝
＝.
由N2－698N＋499×199>N2－683N－684，
解得N<≈6 665.7，
则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)>a(N)；
当N≥6 666时，a(N＋1)<a(N)，
故当N＝6 666时，a(N)最大，所以N的估计值为6 666.
题型 二项分布与超几何分布的辨别
典例4写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从
超几何分布的是哪些？
(1)X 表示 n 次重复抛掷 1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；
1
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次，抽出的次品件数为X；
2
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方
超几何分布．
法抽取n件，出现次品的件数为X(N－M>n>0，M≥n)．
3
解：(1)X 的分布列为
1
X 0 1
1
P C0n C1n－1
X 2 … n
1
P C2n－2 … Cn
X 服从二项分布，即X～B.
1 1
(2)X 的分布列为
2
X 0 1 2 … n
2
C· C2·
P n … n
n－1 n－2
X 服从二项分布，即X～B.
2 2
(3)X 的分布列为
3
X 0 1 … k … n
3
P … …
X 服从超几何分布．
3
超几何分布与二项分布的区别
二项分布和超几何分布都是重要的离散型随机变量的分布形式，它们的表述也往往都
是这样的形式：从数量为N的总体中抽取M个个体，满足限制条件的个体n的数量X的期
望．如何区分呢？
从本质上看，两种分布是完全不一样的，最明显的区别是二项分布是“放回抽样检
查”，而超几何分布的最明显特点是“一次性抽取”，可以看作“不放回抽样”．也就是
说，二项分布中，每一次抽取都是独立的，超几何分布中，前一次抽取会影响后一次抽取
的各种情况的概率，是相互关联的．
抓住“独立”这个字眼去判断，就很好分辨二项分布与超几何分布了．(特别地，对于
不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可
以用二项分布近似
对点练4 某学校举行“百科知识”竞赛．分两轮进行，第一轮需要从给定的5道题
中选3道进行回答，答对一道得3分，答错一道扣1分，第二轮需要回答3道问题，答对
一道得5分，答错不得分．选手甲在第一轮的5道题中只能答对其中2道，第二轮的3道
题中答对任意一道的概率均为.假设选手甲两轮比赛的答题结果是相互独立的．
(1)求选手甲两轮比赛的得分相等的概率；
(2)记选手甲两轮比赛的得分分别为X和Y，试比较X，Y的数学期望的大小．解：(1)选手甲第一轮比赛所选的3道题答对的道数可能为0,1,2，得分分别为－3,1,5.
选手甲第二轮比赛需要回答的 3 道题中答对的道数可能为 0,1,2,3，得分分别为
0,5,10,15.
选手甲两轮比赛的得分相等即甲在第一轮比赛答对2道且在第二轮比赛答对1道，其
概率为×C××2＝.
(2)选手甲第一轮比赛的得分X的可能取值为－3,1,5，
P(X＝－3)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝5)＝＝，
所以E(X)＝(－3)×＋1×＋5×＝.
由题意知选手甲第二轮比赛答对题的数量Z服从二项分布B，则E(Y)＝E(5Z)＝5E(Z)＝
5×3×＝6，因此E(Y)>E(X)．
