文档内容
第 08 讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (精
讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：二项分布及其应用
题型二：超几何分布及其应用
题型三：正态分布及其应用
角度1：正态分布的概率计算
角度2：正态分布的实际应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：伯努利试验与二项分布
（1） 重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验.
（2）二项分布
一般地，在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ( )，用 表示事件
发生的次数，则 的分布列为 ， .
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 服从二项分布，记作 ．
知识点二：两点分布与二项分布的均值、方差
若随机变量 服从两点分布,则 , .
若 ,则 , .
知识点三：超几何分布
一般地，假设一批产品共有 件，其中有 件次品，从 件产品中随机抽取 件(不放回)，用表示抽取的 件产品中的次品数，则 的分布列为 ， .
其中 ， ， ， ， ．
如果随机变量 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 服从超几何分布．
知识点四：正态分布
（1）正态分布定义：
若随机变量 的概率密度函数为 ，( ,其中 ， 为参数)，称随机变
量 服从正态分布，记为 .
（2）正态曲线的特点
①曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 时达到峰值 ；
④当 时，曲线上升；当 时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，
以 轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与 轴之间的面积为1；
⑥ 决定曲线的位置和对称性；
当 一定时，曲线的对称轴位置由 确定；如下图所示，曲线随着 的变化而沿 轴平移。
⑦ 确定曲线的形状；
当 一定时，曲线的形状由 确定。 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线
越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
（3）正态分布的 原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设 ，可以证明：对给定的 是一
个只与 有关的定值.
特别地， ，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是 ，但在一次试验中， 的值几乎总是落在区间
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 中的值，这在统计学中称为 原则.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））设 个产品中有 个次品，任取产品
个，取到的次品可能有 个，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】由题意， 个
故选：A
2．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）随机变量 的概率分布密度函数 ，
其图象如图所示，设 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知 ，则 ，
故图中阴影部分的面积为 .
故选：C.
3．（2022·河北张家口·高二期末）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
4．（2022·重庆南开中学高二期末）若随机变量 ， ，则 _____．【答案】
【详解】解：因为随机变量 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
5．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知随机变量X服从二项分布 ，则
______.
【答案】 ##0.375
【详解】因为X服从二项分布 ，
所以 .
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项分布及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）从装有除颜色外完全相同的3个白球和 个黑球的布袋中随机摸取
一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，知 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故选：B.
例题2．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知随机变量 服从二项分布 ，且 （
），则 ___________.【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
例题3．（2022·全国·高二课时练习）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假
定两位同学每天到校情况相互独立．用 表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则
______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为
事件 ，则 ______．
【答案】
【详解】由题意知 ，它的分布列为 ，k＝0，1，2，3，4，5，
所以 ．
设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则 ，它的分布列为
，
且事件 ，
又事件 ， ， 之间互斥，且X与Y相互独立，
所以 ．
故答案为： ； .
例题4．（2022·全国·高二课时练习）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞
的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制
作合格的概率分别为 ， ， ，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次．
(1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率；(2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为 ，求 的分布列．
【答案】(1)
(2) 的分布列见解析
（1）由题意可知，1次制作成功的概率为 ，
所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率 ．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4， ，
它的分布列为
即
X 0 1 2 3 4
P
例题5．（2022·河南·高三阶段练习（理））3月30日，由中国教育国际交流协会主办的2022联合国国际
教育日—中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中
国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织
代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委
会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比
中，方案一获胜的概率为 （每项得分不考虑平局的情况）．
(1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率；
(2)设打分结束后方案一的得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析； .
（1）设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项，所以
；
（2）由题意可知 ， ； ；
； ； ；．则随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故 ．
同类题型归类练
1．（2022·广西河池·高二期末（理））在某独立重复实验中，事件 ， 相互独立，且在一次实验中，事
件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，其中 .若进行 次实验，记事件 发生的次数为
，事件 发生的次数为 ，事件 发生的次数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，所以 .故A错误；
因为 ， ， .故B错误；
因为 ， 独立，所以 ，所以 .故C正确；
因为 ， ，所以 .故D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出
现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，
出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得－150分）．设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？
(2)设每盘游戏出现音乐的次数为X，求 ．
(3)设每盘游戏获得的分数为Y，求Y的分布列．许多玩过这款游戏的人发现，玩的盘数越多，分数没有增
加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．
【答案】(1) (2) (3)答案见解析
（1）解：每盘游戏都需要抛硬币三次，每次抛硬币出现正面的概率为 ，且各次抛硬币出现正面相互独
立．所以玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是 ．
（2）解：依题意 ，则 的可能取值为 ， ， ， ．
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 ．
(3解：结合（2）可知 的分布列为
10 20 50 －150
所以 ，
所以玩的盘数越多，分数没有增加反面减少，接近 ．
3．（2022·全国·高二课时练习）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要
原材料的均码服装，A类服装为含棉90%的服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件
的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为
160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售
给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望．
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A，B两类服装的顾客
只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为 ．已知该店店庆
当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来
的总收益，求EY及当 时，n可取的最大值．
【答案】(1)B类服装单件收益的期望更高
(2)400（元），3（1）设A类服装、B类服装的单件收益分别为 元， 元，
则 ，
，
∵ ，∴B类服装单件收益的期望更高．
（2）由题意，知 ，
，
，
∴ （元）．
， ，
， ，
， ．
∴ ， ，
∴当 时，n可取的最大值为3．
4．（2022·全国·高二课时练习）为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规
则如下：每位选手可以选择在A区发球2次或者B区发球3次，球落到指定区域内才能得分．在A区发球
时，每得分一次计2分，不得分记0分，在B区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜
出．已知选手甲在A区和B区每次发球得分的概率分别为 ， ．
(1)如果选手甲从在A区和B区发球得分的期望值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
(2)如果选手甲从在A区和B区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
【答案】(1)选手甲应该选择在B区发球；
(2)选手甲应该选择在A区发球.
（1）解：设选手甲在A区发2次球得分的次数为X，则 ，
所以 ，
所以甲在A区发球得分的期望为 ．设选手甲在B区发3次球得分的次数为Y，则 ，所以 ，
所以甲在B区发球得分的期望为 ．
由于 ，所以选手甲应该选择在B区发球．
（2）解：因为 ， ，
所以 ， ，
由于 ，所以选手甲应该选择在A区发球．
5．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫
等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ．
(1)若 ，小虫爬行的方法有多少种？
(2) =2020时，小虫最有可能爬行到的位置，并说明理由；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；
(2)在原点处；理由见解析；
(3) .
(1)由题可知小虫爬行 次后，共向前爬行 次，
故 ，小虫爬行的方法有 种；
(2)设2020次爬行中有 次向前，
则 ~ ， ，
所以 ，
所以，当 时， 取到最大，
此时 ，即小虫最有可能爬行到的位置在原点处．
(3)设小虫 次爬行中有 次向前，则 ， ~ ，
∴ ，
所以 ， ，所以 ， ，
= .
题型二：超几何分布及其应用
典型例题
例题1．（2022·山东枣庄·高二期末）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进
行检测，记取到的正品数为 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴ ．
故选：A
例题2．（2022·北京房山·高二期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，
抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分 的均值 为___________．
【答案】
【详解】 的可能取值为 ，且
， ，
，
所以得分Y的均值 ，
故答案为：
例题3．（2022·江苏泰州·高二期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现
从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为 ，则 ＝________，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中
任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．【答案】 ； .
【详解】解：甲袋中有3个白球和4个红球，从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则随机变量X
服从超几何分布，
所以由超几何分布的数学期望得： ；
甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出的为2个白球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为： ；
甲袋取出的为1个白球、1个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：
；
甲袋取出的为2个红球时，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为：
从乙袋中取出的是2个红球的概率为： .
故答案为： ； .
例题4．（2022·江苏连云港·高二期中）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合
性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，
让学生了解更多的冬奥会知识，某学校举办了有关2022年北京冬奥会知识的宣传活动，其中有一项为抽卡
答题活动，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容
融”．卡片背面都有关于冬奥会的问题，答对则奖励与卡片对应的吉祥物玩偶．其中“冰墩墩”卡片有5
张，编号分别为1，2，3，4，5；“雪容融”卡片有4张，编号分别为1，2，3，4，从盒子中任取4张卡
片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为 ．求随机变量 的分布列．
【答案】(1)(2)详见解析.
(1)解：从盒子中任取4张卡片的基本事件的总数为 ，
取出的卡片中，含有编号为4的卡片的基本事件数位 ，
所以取出的4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率位 ；
(2)在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X ，
则X的可能取值为0，1，2，3，4，
则 ，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
例题5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）幸福农场生产的某批次20件产品中含有 件次品，从
中一次任取10件，其中次品恰有 件．
(1)若 ，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
(2)记 ，则当 为何值时， 取得最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则 .
因为 ， ，
所以 .
则取出的产品中次品不超过1件的概率是 .
(2)因为 ，则 .
若 ，解得∵ 则
故当 时， ；当 时， ；
所以当 时， 取得最大值.
同类题型归类练
1．（多选）（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，
其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为取出白球的个数，随机变量 为取出黑
球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取出4个球的总得分，则下列结
论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以 ，故B正确；
的取值为 ，
， ，
， ， ，可知A错；
的取值为 ，且 ， ， ， ，
，
则 ， ，所以 ，故C错；
的取值为 ，且 ， ， ， ，
，
所以 ，故D正确；
故选：BD.
2．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产
企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量
管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以
下五组： ， ， ， ， ，得到如下频率分布直方图．规定：口
罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于
130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一
级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望【答案】分布列见解析，
【详解】解：由频率直方图可知，二级口罩频率为 ，一级口罩的频率为
，
按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，
所以随机变量X的可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以期望为 ．
3．（2022·天津·高二期末）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一
个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中
随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【答案】分布列答案见解析，数学期望：
【详解】若选①，由题意，随机变量 的可能值为0，1，2，3
，
，
，；
所以 的分布列为
0 1 2 3
期望 ；
若选②，由题意，随机变量 的可能值为0，1，2，3，且 ，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
期望 .
4．（2022·全国·高二课时练习）北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东
风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，
神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机
械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，
进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道
题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每道题正确完成与否互不影响，
小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量 表示小宇正确完成题目的个数，求 的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参
加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.【答案】(1) ；
(2)分布列见解析；期望为3；
(3)小宇；理由见解析.
（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则 .
（2） 的可能取值为2，3，4. ， ，
， 的分布列为：
2 3 4
数学期望 .
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为 ；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则
；因为 ，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
5．（2022·湖北·高二阶段练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有
2名老师，18名学生.若从中随机抽取 名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人
数.
(1)若 ，求X的分布列与数学期望；
(2)当n为何值时， 的概率取得最大值?最大值是多少?
【答案】(1)分布列见解析，
(2) 时，取得最大值
(1)当 时，X的所有可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P.
(2) 的概率为 ， ，且 .
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 的概率 取最大值，最大值是 .
题型三：正态分布及其应用
角度1：正态分布的概率计算
典型例题
例题1．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分
布 ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参加考试的学生总数约为（ ）
（参考数据： ， ，
）
A．202 B．205 C．206 D．208
【答案】A
【详解】因化学考试的成绩 服从正态分布 ，显然期望 ，标准差 ，
于是得 ，
所以参加考试的学生总数约为 .
故选：A
例题2．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知随机变量 ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】AC
【详解】解：由题意，得 ， ，即 ， ，故A正确；
∵ ，∴ ，故B错误；
∵ ， ，∴ ，故C正确；
，故D错误．故选：AC
例题3．（多选）（2022·山东枣庄·高二期末）甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩
，乙地学生的成绩 ．下图分别是其正态分布的密度曲线，则
（ ）
（附：若随机变量 ，则 ，
， ）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的低 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C． D．若 ，则
【答案】AD
【详解】观察图像可以看出，甲的平均分为 ，小于乙的平均分 ，A选项正确；图像中还可以看出乙
地数据更加集中，故乙地方差更小，B错误；根据对称性，
，C选项错误； 时，根据题干数据，
，根据对称性， ，另有 ，根据
对称性， ，于是 ，D选项正确.
故选：AD.
例题4．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知随机变量 ，若 ，
则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【详解】解：因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 、 时取等号，所以 的最小值为 .故答案为： .
例题5．（多选）（2022·全国·高二课时练习）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地
铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥
堵，所需时间（单位：min）服从正态分布 ，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅
通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布 ，下地铁后从地铁站步行到公司
要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（ ）
参考数据：若 ，则 ， ，
．
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
【答案】CD
【详解】对于A，若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间 不大于43min才不会迟到，因为乘坐公交所需
时间（单位：min）服从正态分布 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确；
对于B，若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时间 不大于48min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间
（单位：min）服从正态分布 ，
所以 ，
所以 ，
所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9772，
若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间 不大于41min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：
min）服从正态分布 ，
所以 ，
所以 ，故二者的可能性一样，B不正确；
对于C，若8：06出门，若乘坐公交，则乘坐时间 不大于37min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间
（单位：min）服从正态分布 ，所以 ，
所以 ，
若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间 不大于44min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：
min）服从正态分布 ，
所以 ，C正确；
对于D，若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间 不大于38min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单
位：min）服从正态分布 ，
所以 ，
所以 ，
所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确．
故选：CD.
同类题型归类练
1．（2022·吉林·高二期末）设随机变量M服从正态分布，且函数 没有零点的概率为 ，
函数 有两个零点的概率为 ，若 ，则 （ ）
A．17 B．10 C．9 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：因为函数 没有零点，
所以 ，解得 ，
又因随机变量M服从正态分布，且 ，
所以正态曲线关于 对称，
因为函数 有两个零点，
所以 ，解得 ，则 ，
又 ，
所以 与 关于 对称，
所以 .
故选：A.
2．（多选）（2022·全国·高二课时练习）（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，
这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6826
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等
【答案】AC
【详解】由 ，知 ， ，由 ，
知 ， ．
对于A， ，故A正确；
对于B，由于 ，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B错误；
对于C， ，
，显然 ，
所以乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C正确；
对于D， ，
，
故D错误．
故选：AC.
3．（多选）（2022·辽宁丹东·高二期末）将二项分布 ）近似看成一个正态分布
，其中 ， .设 ，则 ，记 ，已知
， ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】AC
【详解】解：因为X~B（100，0.5），
所以 ，
所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，
因为Y~N（0，1），所以 ，
所以 ，故B错误；
若 ，则 ，
所以 ，故C正确；
，
为固定值，正态分布是连续型的，连续型随机变量取任何一个固定的值概率都是0，
所以 ，故D错误.
故选：AC.
4．（2022·福建·莆田一中高二期末）若随机变量 ，则 _______.（附：若随机变
量 ，则 ， ）
【答案】0.84135
【详解】因为 ，所以 .
故答案为：
5．（2022·陕西西安·高二期末（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产
线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直
径尺寸 服从正态分布 ，若x落在 内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中
直径x高于22的个数大约为___________.（附：若随机变量 服从正态分布 ，则
， ， .）
【答案】455
【详解】解：由正态分布 可知： ， ， ， ，
， ，
直径 高于 的个数大约为 .
故答案为：455
角度2：正态分布的实际应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的
“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽
取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）人数 2 4 22 40 28 4
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分 和方差 （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本
成绩平均分 ， 近似为样本成缋方差 ，若 ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；
若 ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若 ，则 ， ，
．
【答案】(1) ，
(2)①2456 ；②能
（1）100名居民本次竞赛成绩平均分 ，
100名居民本次竞赛成绩方差
，
（2）①由于 近似为样本成绩平均分 ， 近似为样本成绩方差 ，所以， ，可知，
，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布 ，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的
概率
估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为
2456；②当 时，即 时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居
民能获得“反诈先峰证书”．
例题2．（2022·全国·模拟预测）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组
成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利
“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的
台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一
项必检的身体指标 服从正态分布 ，航天员在此项指标中的要求为 ．某学校共有1000名
学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛
查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．
假设学生通过每个环节的概率均为 ，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为 ，请计算 的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终
通过学校选拔的人数 的期望值．
参考数值： ， ， ．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)估计符合该项指标的学生人数约有23人， 的期望值为
(1)易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，
； ；
； ，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以 ．
(2)因为 服从正态分布 ，
所以 ．
设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则 ，
所以 ，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，
且每位同学通过选拔的概率 ，则通过学校选拔的人数 ，
故 ．
例题3．（2022·山西临汾·高二期中）某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的600
家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家企业，统计其考核成绩（单位：分）并制成如图
所示的频率分布直方图．(1)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取3家考核成绩
不低于92分的企业代表发言，记抽到的企业中考核成绩在区间 的企业数为 ，求 的分布列与数
学期望；
(2)若该市食品生产企业的考核成绩 服从正态分布 ，其中 近似为这50家食品生产企业考核成
绩的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值代替）， 近似为样本方差 ，经计算，得
，利用该正态分布，估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于95.4分的有多少家？
（结果保留整数）
参考数据与公式： ，若 ，则 ，
， ．
【答案】(1)分布列见解析；期望为 .
(2) 家.
(1)解：这50家食品生产企业中考核成绩不低于92分的企业有 家，
其中考核成绩不低于96分的企业有2家，所以 的所有可能取值为0，1，2，
可得 ， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以期望为 .
(2)解：这50家食品生产企业的考核成绩的平均数为：由题意得考核成绩 服从正态分布 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
所以估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于 分的有 家.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数
据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
设这10个数据的平均值为 ，标准差为 ．
(1)求 与 ．
(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布 ．
①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求 ；（结果保留
5位有效数字）
②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108
（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．
参考数据：若 ，则 ， ，取
．
【答案】(1) ，
(2)①0.89121；②需要进一步调试，理由见解析
（1） ，
，
则 ．
（2）①∵Z服从正态分布 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ．
②∵Z服从正态分布 ，
∴ ，
∴5个零件的内径中恰有一个不在 内的概率为 ．
∵ ，∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在 内，出现的频率是0.01287的15倍多，
∴根据 原则，需要进一步调试．
例题5．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品
的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．
(1)求出这100件产品质量指标值的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)①该产品的该项质量指标值 服从正态分布 ，用样本平均数 作为 的估计值，利用该正态分
布，求 落在 内的概率：
②将频率视为概率，如果产品的质量指标值位于区间 ，企业每件产品可以获利10元；如果产品的
质量指标值位于区间 之外，企业每件产品要损失50元．从该企业一天生产的产品中随机抽取10件
产品，记 为抽取的10件产品所获得的总利润，求 ．
附： ， ．
【答案】(1)26.5
(2)①概率为0.47725；②40
(1)样本平均数
(2)①由（1）可知： ，从而
∴
所以Z落在 内的概率为0.47725
②设抽取的10件产品中，产品质量指标在 内的件数为Y，又任取一件质量指标在 内的频率
为 ，
∴ ，所以产品质量指标在 内的件数约为9件∴
例题6．（2022·浙江宁波·高二期中）某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生
中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
(1)求 的值，并求高一、高二全体学生中随机抽取1人，该人每天锻炼时间超过40分钟的概率；
(2)在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间小于30分钟的概率；
(3)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间
位于 的人数，求 的数学期望．
注：①计算得标准差 ；②若 ，则： ，
．
【答案】(1) ，概率为 ；(2)0.84；(3)17.065
(1) ，解得 ，
该人每天锻炼时间超过40分钟的概率为 ；
(2)设事件 在高一学生中随机抽取1人，锻炼时间小于30分钟，事件 在高二学生中随机抽取1人，锻
炼时间小于30分钟，
事件 在高一、高二学生中各随机抽取1人，至少有一人锻炼时间小于30分钟，则
，
，则 ；
(3) ，又 ，则
，
从而 ，则
，依题意知： ，则 .
同类题型归类练
1．（2022·山东临沂·高二期中）2022年4月23日至25日，以“阅读新时代·奋进新征程”为主题的首届全
民阅读大会在北京举行，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．为了解某市的市民一天的阅
读时间x（单位：分钟）的情况，随机抽取了600位市民，将其阅读时间（单位：分钟）按照 ，
， ， 分成4组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这600位市民的一天阅读时间的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若全市市民一天的阅读时间X近似地服从正态分布 ，其中以（1）中的 作为 的估计值，某
APP为了促进市民阅读，实行奖励积分制，市民每天在该APP的阅读时间X（单位：分钟）与获得奖励积
分Y的关系如下表：
X
Y 10 50 100
求随机变量Y的数学期望．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
．
【答案】(1)64
(2)44.7915
(1)依题意 ，
(2)由（1）知 ，∴ ，
∴ ，
，
，∴ ，
∴随机变量Y的数学期望为44.7915．
2．（2022·河北张家口·三模）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋
水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度
100千米/小时，限制速度为 千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布
直方图如图所示：
(1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间 （精确到0.1）
(2)以（1）中的平均时间 作为 ，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布 ，任意取通过
大桥的1000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目（精确到整数）.
附：若 ，则 ， .
【答案】(1)
(2)159
(1)解：由频率分布直方图可得
.
(2)解：由题知 ， ，
所以 ，故所用时间少于 分钟的大致车辆数目为 .
3．（2022·福建省永春第一中学高二阶段练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶
贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康，经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，
农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 年
位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中
点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入 服从正态分布 ，其中 近似为年平均收入
， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有 的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最
低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 位农民.若每位农民的年
收入互相独立，这 位农民中的年收入不少于 千元的人数为 ，求 .
附参考数据：① ，②若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
【答案】(1)
(2)① 千元；②
（1）解：由频率分布直方图可知， 位农民的年平均收入为
（千元）.
（2）解：由题意知 ，① ，所以
时，满足题意，即最低年收入大约为 千元；②由
，则 ，每个农民的年
收入不少于 千元的事件的概率为 ，则 ， .
4．（2022·广西桂林·模拟预测（理））W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布
，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表．
产品尺寸/ [76， (78.5， (79， (79.5，mm 78.5] 79] 79.5] 80.5]
件数 4 27 27 80
产品尺 (80.5， (81， (81.5，
寸/mm 81] 81.5] 83]
件数 36 20 6
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在 以外视为小概率事件．一旦小概率事
件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在 以内为正品，以外为次品．
， ， ．
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记
这3件产品检测费为随机变量 ，求 的数学期望及方差．
【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析
(2)数学期望是 （元）；方差是
（1）依题意，有 ，所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]．生产线正常工作，次品不能多
于 ，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作．
（2）依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为 ．记这3件产品中次品件数为 ，
则 服从二项分布 ， ，则 ，
，所以 的数学期望是 （元），方差是
．
5．（2022·江苏泰州·高二期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第
一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某
设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记 表
示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求 的分布列及数学期望 ；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 ，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，
若合格的零件数 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及 的方差；(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个
零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若 ，则 ， ，
， ．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ；(2)答案见解析(3)
(1)由题意，可知 可取 .则有
;
;
;
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3
因此 的数学期望
(2)由题意， 可取的值为 .则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率 .
因于 ，所以 的方差 .
(3)由 ，则可知 ，
由于 ，则 ,
所以 ，所以 ，
则 ，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件 .
则 .
6．（2022·河北沧州·高二期末）李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的
描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022
年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在 （单位：
克）上的有60份，重量在 （单位：克）上的有40份.
(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了
4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有 份，试以这100天的频率作为概率，求 的分布列
与数学期望；
(2)已知如下结论：若 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个数据的平均
值为 ，则随机变量 .记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为 克，试利用该结论来解
决下面的问题：
①求 ；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在 （单位：克）上，且每份水果重量的平均值
，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明
李师傅的举报是有道理的.
附：①随机变量 服从正态分布 ，则
②通常把发生概
率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.
【答案】(1)分布列见解析， (2)① ；②见解析
(1)X的所有取值为 ，因为重量不少于1000克的概率为 ，所以 ，
，则 的分布列为
0 1 2 3 4.
(2)①由题意知 ，因为 ，所以 ，因为 ，
又因为 ，所以 ，所以
.
②由①知 ，这100天收到的每份水果重量的平均值 ，
而 ，
所以概率为 的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生，因此，李师傅的举报是有道理的.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
____________．
【答案】 ## ．【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
