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第32讲 概率与统计综合问题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是
乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两
次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105 ，称重后计算得出这60条鱼质量(单位 )的平方和
为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66 .称重后计算得出这40条鱼质量(单位 )的平
方和为117.
附：（1）数据 ， ，… 的方差 ，（2）若随机变量 服从正态分布
，则 ； ；
.
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数 和方差 ；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量 服从正态分布 ，用 作为 的估计值，用 作
为 的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在 的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记 为捕捞的鱼儿质量在 的
条数，利用（2）的结果，求 的数学期望.
【答案】
（1） ，
（2）
（3）
【分析】（1）利用平均数及方差公式直接得解；
（2）由题知 ，结合参考数据即可得解；
（3）利用二项分布期望公式直接得解.
（1）
， .
（2）
该鱼塘鱼儿质量 ，其中 ， ，
所以 .（3）
由题意可知 ，
所以 的数学期望为 .
2．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过
两段路，若已知 路段共要过 个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红
灯的概率为 ，遇到绿灯的概率为 ，在 路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为 ，且上
一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为 ，遇到绿灯的概率为 ；若上一交通岗遇到绿灯，则
下一交通岗遇到红灯的概率为 ，遇到绿灯的概率为 ，记 段线路中第 个交通岗遇到红灯的概率为
.
（1）求该司机在 路段的行驶过程中遇到红灯次数 的分布列与期望；
（2）①求该司机在 路段行驶过程中第 个交通岗遇到红灯的概率 的通项公式；
②试判断在最后离开 路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于 ，还是小于 ，请用数据说明.
【答案】
（1）分布列见解析，
（2）① ；②小于 ，理由见解析
【分析】
（1）由题意 ，X的取值可能为 由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二
项分布的期望公式计算出期望；
（2）①由已知条件得出 的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与 的大小关系．
（1）
由题可知X的取值可能为 且易知 ，
且 ，所以
所以 的分布列为
1 2 3 4
；
（2）
①由题可知 ，即
又因为 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
②由①可知， ，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于 .
3．（2022·全国·模拟预测）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、
快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的
发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在， 的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持， 经济收入
在短期内逐月攀升，该创新公司在第 月份至6月份的 经济收入 (单位:百万元)关于月份 的数据如表:时间(月份) 1 2 3 4 5 6
收入(百万元)
根据以上数据绘制散点图，如图.
（1）根据散点图判断， 与 均为常数)哪一个适宜作为 经济收入 关于月份 的
回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程，并预测该公司8月份的 经济收入；
（3）从前6个月的收入中抽取 个﹐记月收入超过 百万的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
参考数据:
其中设
参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和
截距的最小二乘估计公式分别为: ，
【答案】
（1） ；（2） ， 百万元；
（3）分布列见解析，2.
【分析】
（1）根据散点图的分布即可得到答案；
（2）根据题意， ，然后根据参考数据求出方程，进而得到y关于x的回归方程，最后将代入方程即可得到答案；
（3）根据超几何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根据期望公式求出期望.
（1）
根据散点图判断， 适宜作为 经济收入 关于月份 的回归方程类型.
（2）
因为 ，所以两边同时取常用对数﹐得 ，
设 ，所以 ，又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，得 ，故预测该公司 月份的 经济收入为 百万元.
（3）
前 个月的收入中，月收入超过 百万的有 个，所以 的取值为 ，
， ， ，
所以 的分布列为
所以 .
4．（2022·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统
能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在
使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设
备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备
的可靠度均为 ，它们之间相互不影响.
（1）当 时，求能正常工作的设备数 的分布列和数学期望；（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 ，根据以往经验可知，计算机
网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 ，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 ，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角
度判断决策部门该如何决策？
【答案】
（1）分布列答案见解析，数学期望：
（2）从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2
【分析】
(1)由题意可知 ，即得；
(2)分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.
（1）
为正常工作的设备数，由题意可知 .
，
，
，
，
从而 的分布列为
0 1 2 3
由 ，则 ；
（2）
设方案1､方案2的总损失分别为 ，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 ，由（1）可知计算机网络断掉的概率为 ，
不断掉的概率为 ，
故 元；
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 ，可知计算机网络断掉的概率为
，
故因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.
5．（2022·全国·高三专题练习）某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了
么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋
∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配
送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x(单) 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y(单) 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
（1）设美团外卖配送员月工资为f (X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300，600]时，比较f
(X)与g(Y)的大小关系；
（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
【答案】
（1）答案见解析
（2）①16，14；②小王应选择做饿了么外卖配送员，理由见解析
【分析】
（1）根据题意分段讨论可求；
（2）①根据题中数据求出分布列，即可求出均值；
②求出平均工资比较可得.
（1）
因为X＝Y∈(300，600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300，400]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，
当X∈(400，600]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，
故当X∈(300，400]时，f (X)>g(Y)，故X∈(400，600]时，f (X)3 720元，
故小王应选择做饿了么外卖配送员．
6．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举
行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，
这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ， ， ， ， 的三组中抽取了11人，
再从这11人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 ， 的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在 ， 的为 等级，成绩在 ， 的为 等级，其它为 等级．以
样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得 等级的人
数设为 ，记 等级的人数为 的概率为 ，写出 的表达式，并求出当 为何值时，
最大？
【答案】
（1） ，68
（2）分布列见解析，
（3） ， ，1，3， ，40，40
【分析】
（1）利用频率之和为 列方程，化简求得 的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中
位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出 的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得 ，由此列不等式，解不等式来求得 的最大值时对应的 的
值.（1）
由频率分布直方图的性质可得， ，
解得 ，
设中位数为 ，
，解得 ．（2）
， ， ， ， ， 的三组频率之比为 ，
从 ， ， ， ， ， 中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3
故 ．
（3）
等级的概率为 ， 等级为 ，
， ，1，3， ，40，
令 ①， ②，
由①可得， ，解得 ，由②可得， ，解得 ，
故 时， 取得最大．
7．（2022·全国·高三专题练习）某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，
每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛．
（1）若n＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n为何值时，三次
比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值．
【答案】（1）分布列见解析，1
（2）n＝2【分析】
（1）由题可知X可能的取值为0，1，2，分别计算概率，即得分布列及期望；
（2）由题可求一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P，利用导数及独立重复事件的概率公式可得
时三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值，即求.
（1）
当n＝2时，X可能的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝ ，P(X＝1)＝ ，P(X＝2)＝ ，
则随机变量X的概率分布如下表：
X 0 1 2
P
∴E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝1.
（2）
一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P＝ ＝ .
三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为 ，
则 ，又 ，
∴ ，
∴当 时，f(P)取得极大值即最大值，所以 ，解得n＝2，
即n=2时，三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值．
8．（2022·全国·高三专题练习）女排精神是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．其具体表
现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀髙峰．甲、乙
两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结
束）．假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，各局比赛的结果相互独立．
（1）求乙队获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲队和乙队共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【分析】
小问1：分类讨论比赛三局、四局、五局乙队获胜的概率，即可求解结果；
小问2：随机变量X的所有可能取值为3，4，5，结合独立事件概率公式求解各情况概率，即可求解分布列
与数学期望．
（1）
由题意知，比赛三局且乙队获胜的概率为 ，
比赛四局且乙队获胜的概率为 ，
比赛五局且乙队获胜的概率为 ，
所以乙队获胜的概率为 ．
（2）
随机变量X的所有可能取值为3，4，5，则 ，
，
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5
P
所以 ．
9．（2022·全国·高三专题练习（理））1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日
本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行
对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的
概率为 ，乙发球甲赢的概率为 ，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲贏为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所
求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事
件的概率计算公式即可求得概率．
（1）
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知， ， ，∴ ，
∴ ，
∴该局打4个球甲赢的概率为 ．
（2）
设该局打5个球结束时甲贏为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
， ， ，
∴
，
，
∴ ，
∴该局打5个球结束的概率为 ．
10．（2022·全国·高三专题练习）某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试
和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部
分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为 ， ， ，在实验操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得
下一轮复试的可能性最大；
（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
【答案】
（1）甲： ，乙： ，丙： ；丙进入复试可能性大；
（2）
【分析】
（1）根据独立事件概率的乘法公式计算即可；
（2）根据题意分甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入三种情
况，再结合独立事件概率的乘法公式计算即可.
（1）
解：根据题意，甲进入复试的概率为 ，
乙进入复试的概率为 ，丙进入复试的概率为
由于 ，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
（2）
解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有
进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为 .
11．（2022·全国·高三专题练习）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互
不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该
蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同
时销售，以 （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量， （单位：元） 表示下个销售周期
两个市场的销售总利润．
（1）求变量 概率分布列；
（2）当 时，求 与 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断 与 应选用哪一个．
【答案】
（1）分布列见解析
（2） ，
（3）应选
【分析】
（1）根据题意，列出 所有可能的取值，结合频数图象求出相应的概率，即可求解；
（2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，即可求解；
（3）根据题意，分别列出 与 的分布列，求出相应的期望值，即可判断.
（1）
设甲市场需求量为 的概率为 ，乙市场需求量为 的概率为 ，则由题意得
， ， ；
， ， ．
设两个市场总需求量为 的概率为 ，则由题意得所有可能的取值为16，17，18，19，20，且
，
，，
，
．
所以 的分布列如下表．
16 17 18 19 20
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（2）由题意得，当 时， ，
当 时， ．
所以
设 “销售利润不少于8900元”，则
当 时， ，
当 时, ，解得 ．
由（1）中 的分布列可知， ．
（3）
由（1）知， ， .
当 时, 的分布列为：
0.06
所以 ；
当 时， 的分布列为：
0.06 0.71所以 .
因为 ，所以应选 .12．（2022·全国·高三专题练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5
人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.
（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；
（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求 .
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，
【分析】
（1）利用对立事件来求得“至多有3名是善用骑兵的将领的概率”.
（2）结合古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得 .
（1）
若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为 ，故从A军将领
中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为 .
（2）
由题意知 ，则：
，
，
， ，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P.
13．（2022·全国·高三专题练习）2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举
行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分
析发现，学生的模拟测试成绩 服从正态分布 （满分为750分）.已知 ，
.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.
（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间 内，2名学生的成绩落在区间
内的概率；
（2）用 表示抽取的4名同学的成绩落在区间 内的人数，求 的分布列和数学期望 .
【答案】
（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【分析】
（1）根据正态分布的性质求得 ， ，然后利用二项分布列概率公式
计算；
（2）根据题意判定 ，进而利用二项分布列公式计算分布，并求得期望值.
（1）
根据正态分布的特点可知，
，
.
用 表示事件“抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间 内,
2名学生的成绩落在区间 内”，
则 .
（2）
根据题意 ，则 ，
，
，
，
因此 的分布列为
0 1 2 3 40.1296 0.3456 0.3456 0.1536 0.0256
数学期望 .
14．（2022·全国·高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，
每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为
， ， 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
工种类别
赔付概率
对于 ， ， 三类工种，职工每人每年保费分别为 元､ 元､ 元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100
万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的 ，证明： .
（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自
行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；
方案二：单位与保险公司合作， ， ，单位负责职工保费的 ，职工个人负责 ，出险后
赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【答案】
（1）证明见解析
（2）建议单位选择方案二
【分析】
（1）求得 个工种对应职工的每份保单保险公司的收益的期望值，然后结合职工类别的频率以及“每年收益的期望不低于保费的 ”列不等式，由此证得 .（2）分别求得两种方案单位总支出的期望值，由此作出选择.
（1）
设工种 ， ， 对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量 ， ， （单位：元），则 ， ，
的分布列分别为
，
，
.
所以
，
整理得 .
（2）
方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为
（元）.
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为
（元）.因为 ，所以建议单位选择方案二.15．（2022·全国·高三专题练习）小 和小 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小
和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，
小 同学在甲盒子中取球，小 同学在乙盒子中取球.
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色
后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学
期望
【答案】
（1）
（2）分布列见解析，1
【分析】
（1）由相互独立事件的概率公式与互斥事件概率的加法公式求解即可；
（2）由题意可知： ，由二项分布的概率公式与期望公式求解即可
（1）
；
（2）
由题意可知： ， 的所有可能取值为0，1，2，3，
； ；
； ，
分布列为
0 1 2 3期望 .
16．（2022·全国·高三专题练习）某单位组织外出参加公差的12位职工在返回岗位前先让他们进行体检普
查某病毒，费用全部由单位承担，假定这12名职工的血液中每个人都不含有病毒（结果呈阴性）的概率都
为p，若对每一个人的血样都进行检查，则每一个人都要耗费比较高的一份化验费，经过合理的分析后，提
出一份改进方案：先将每一个人的血样各取出一部分，k个人为一组混合后再化验，如果结果都呈阴性，
则k个人同时通过，每个人平均化验了 次，如果呈阳性再将k个人的血样分别化验，以找出血样中含病毒
者，这样每个人化验（1+ ）次.
（1）当p= 时且采用改进方案时取k=2，求此时每位职工化验次数X的分布列
（2）当k=3时，求采用改进方案能达到节约化验费目的，且此时满足条件的p的取值范围
【答案】
（1）详见解析
（2）
【分析】
（1）由题意可知X的可能取值为 , ，分别求出对应的概率，即得；
（2）当k=3时，设采用改进方案检验次数为Y，则Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.
（1）
由题意可得，X的可能取值为 , ，则
，
故X的分布列为：
X
P
（2）当k=3时，采用改进方案进行检验，设检验的次数为Y,则Y的可能取值为1,4，
，
，
采用改进方案能达到节约化验费目的，则 ，解得 ，故p的取值范围为 .
17．（2008·全国·（理））已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液
化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐
个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(2) 表示依方案乙所需化验次数,求 的期望.
【答案】（1）0.72（2）2.4
【解析】
（1）设 、 分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则
1 2
方案甲中 1的概率分布为
1 2 3 4
P
方案乙中 的概率分布为
2
1 2 3
P 0
若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P( =1)×P( =1)+P( =2)×［P( =1)+P( =2)］+P( =3)×［P( =1)+P( =2)+P( =3)］+P( =4)
1 2 1 2 2 1 2 2 2 1
=0+ ×（0+ ）+ ×（0+ + ）+ =
=0.72.
(2)E( )=1×0+2× +3× = =2.4.18．（2022·全国·高三专题练习）某牛奶店每天以每盒 元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进 盒鲜牛奶，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：盒，
）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某 天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
日需求量
频数
以这 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进 盒鲜牛奶， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进 盒或 盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进 盒还是 盒？请说
明理由．
【答案】（1） ；（2）①分布列见解析，均值为 ；②每天购进 盒比较合
理，理由见解析．
【分析】
（1）分 、 两种情况分析，结合题意可得出 关于 的函数关系式；
（2）①分析可知随机变量 的可能取值有 、 、 ，结合表格计算出随机变量 在不同取值下的概
率，可得出随机变量 的分布列，进一步可求得 的值；
②设每天购进 盒时，该牛奶店所获利润的数学期望值，与 的值比较大小，即可得出结论.
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， .
所以，函数解析式为 ；（2）①由（1）可知，当 时， ，当 时， ，当 时， ．
所以，随机变量 的可能取值为 、 、 ，
， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：；
②由①知当购进 盒时， ，
当购进 盒时， ，
设 表示当天的利润，当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时，
，
， ， ， ，
所以， ，
因为 ，因此，每天购进 盒比较合理.
19．（2022·全国·高三专题练习）今年九月，九龙坡区创建全国文明城区活动正式启动，中央文明办对九
龙坡辖区内的市民进行了创建文明城区相关知识（文明城区宣传、建党100周年、社会主义核心价值观、
红色基因教育等）网络问卷调查，每一位市民只有一次答题机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的
1000人的得分（满分：100分）数据，绘制成如下的频率分布直方图
（1）求 的值；
（2）由频率分布表直方图可以认为，此次问卷调查的得分 近似服从正态分布 ， 近似为1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求 ；
（3）在（2）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下的奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费(单位：元) 20 40
概率
记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列和数学期望.
附： .若 ，则① ②
③
【答案】（1） ；（2） ；（3）分布列见解析， .
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求得 ，得到 ，结合正态分布曲线的对称
性，即可求解；
（3）根据题意得到随机变量 的所有可能取值为20，40，60，80，求得相应的概率，列出分布列，结合
期望的计算公式，即可求解.
【详解】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得：
，解得 .
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以得分 近似服从正态分布 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得
.
（3）由题意，随机变量 的所有可能取值为20，40，60，80(元)，可得 ，
所以随机变量 的分布列为20 40 60 80
所以数学期望为： .
20．（2021·四川·石室中学高三阶段练习（理））一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产
品中任取 件作检验，这 件产品中优质品的件数记为 ．如果 ，那么再从这批产品中任取 件作检验，
若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 ，那么再从这批产品中任取 件作检验，若为优质品，则
这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为 ，即取出的
产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用
记为 （单位：元），求 的分布列及均值（数学期望）．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 ．
【分析】
（1）将“产品通过检验”记为事件 ，分两种情况第一次一件通过检验，第一次两件通过检验，利用事件
的独立性，求解概率即可；
（2） 的可能取值为 ， ， ，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求期望即可.
【详解】
（1）将“产品通过检验”记为事件 ，
则 ．
即这批产品通过检验的概率为 ．
（2）由题意， 的可能取值为 ， ， ．
， ， ，则 的分布列如下：因此， ．
