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第 31 讲 正弦定理、余弦定理的应用
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
1、（2023年高考真题新高考Ⅱ卷）记 的内角 的对边分别为a，b，c，已知 面积为
，若D为BC中点，且 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求b，c．1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测
量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距
离为____________．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
2、 已知△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为( )
A. 135° B. 45° C. 60° D. 120°
3、 一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为与，且最长的边为 m，则最短的边为(
)
A. m B. 2 m
C. m D. 5 m
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐
角，若 ＝ ，sin B＝ ，S ＝ ，则b的值为________．
ABC
△
考向一 利用正弦、余弦定理解决实际问题
例1、（2022年江苏省镇江市高三模拟试卷）云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑
形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，
高为12 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和
60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（ ， ，精确到1 ）A. 42 B. 45 C. 51 D. 57
变式1、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷） 如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离
地面7m.若从离地高4m的C处观赏它，若要视角 最大，则离墙的距离为（ ）
A. B. 3m C. 4m D.
变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段
笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的
交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为
45°，30°和60°．
(1) 求烟囱AB的高度；
(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若
有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
考向二 利用正弦、余弦定理解决范围问题
例2、（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） 在① ，②
，③ ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知锐角三角形 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且 ．
（1）求角C的值；
（2）求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
变式1、（2022年福建省福州四校联盟高三模拟试卷）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公
路， ，M，N为公路上的两个景点，测得 ， ，为了拓展旅游业务，
拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角 .现需要从观景
台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；
（2）求观光线路 长的取值范围.
变式2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷） 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 为边 的中点，求 的最小值．
变式3、（2022·江苏宿迁·高三期末）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在
中，内角 的对边分别为 ，且__________.
（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..
方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：
(1) 利用正弦定理转化成角的函数．
(2) 利用余弦定理转化成边的函数．
考向三 利用正弦、余弦定理解决多边形的问题
例3、（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形 中， ， ， ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）求 ．
变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷） 重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩
溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的 ， 两点间的距离，现在旁边取两
点 ， 测得 米， ， ， （假设 ， ，
四点在同一平面上，则 两点的距离为______米.变式2、（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝
－ ，CD＝ ．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四边形ABCD的面积．
变式3、（2022·湖北·高三期末）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
．（1）求角A；
（2）如图，若 ，点D是 外一点， ，设 ，求平面四边形 面积
的最大值及相应的 值．
1、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，则角 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的
正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得
杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A．20m B．10m C． m D． m
3、（2022年福建省龙岩市高三模拟试卷）如图， 中，角 的平分线 交边 于点 ，， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4、（2022年湖北省黄冈市高三模拟试卷）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的
对边，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5、（2022年福建省福州延安中学高三模拟试卷）给出以下三个条件：①
且 ；② ， ；
③ ；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
在锐角 ABC中， ，____．
△
（1）求角B；
（2）求 ABC的周长l的取值范围．
△
6、（2022年河北省荆州市高三模拟试卷） 在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）如图，若 ，点D是 外一点， ，设 ，求平面四边形
面积的最大值及相应的 值．
