专题6.3平面向量的应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题6.3 平面向量的应用 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 新课程考试要求 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）等. （1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三 角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． （2）正弦定理或余弦定理独立命题； （3）正弦定理与余弦定理综合命题； 考向预测 （4）与三角函数的变换结合命题； （5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦 定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积 有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查. 【知识清单】 知识点1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ( 或 xy － xy ＝ 0 ) ． 1 2 2 1 (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直 的条件： a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ( 或 xx ＋ yy ＝ 0 ) ． 1 2 1 2 (4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 co s θ ＝ ． (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量 用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量， 在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__． 知识点3．正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 知识点4．余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC b2 c2 a2 2accosA c2 a2 b2 2accosB 余弦定理： ， ， . 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【考点分类剖析】 考点一 ：平面向量在平面几何中的应用 【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 为（ ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知 ､ 为平面上的两个定点，且 ，该平面上 的动线段 的端点 ､ ，满足 ， ， ，则动线段 所形成图形的面 积为（ ） A．36 B．60 C．72 D．108 【典例3】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）设 为 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积为2，则 面积为_______________． 【总结提升】 1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直． 2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利 用向量的坐标运算求解． 3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使AB＝λCD成立，且AB与CD无公共点． 4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB＝λAC．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA与向量BC的夹角即可． 6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、 明了的解决． 【变式探究】 1．（2021·河北高一期中）已知 是边长为2的正三角形，点 为 所在平面内的一点，且 ，则 长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 2. （2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若 为 所在平面内任意一点，且满足 ，则 的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、 等腰直角三角形） 考点二：用向量方法探究存在性问题 【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线 段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM? 【规律总结】 本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用． 【变式探究】 ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接 DF，求证：∠ADB＝∠FDC． △ 考点三：平面向量在物理中的应用 【典例5】（2021·全国高一课时练习）空间作用在同一点的三个力 两两夹角为 ，大小分别为 ，设它们的合力为 ，则（ ） A． ，且与 夹角余弦为 B． ，且与 夹角余弦为C． ，且与 夹角余弦为 D． ，且与 夹角余弦为 【典例6】（2021·全国高一课时练习）如图，重为 的匀质球，半径 为 ，放在墙与均匀的 木板之间， 端锁定并能转动， 端用水平绳索 拉住，板长 ，与墙夹角为 ，如果不计 木板的重量，则 为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 【总结提升】 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解． 2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角． 由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积． 【变式探究】 1．【多选题】（2021·浙江高一期末）在水流速度为 的河水中，一艘船以 的实际航行 速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为2.（2021·云南昆明市·高三三模（理））两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则 与 大 小之比为___________． 考点四： 正弦定理 VABC 【典例7】（2019·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则B=___________. 【典例8】（2021·济南市·山东师范大学附中高一期中）已知 ， ， （1）求 与 的夹角 ； （2）在平面四边形 中，若 ， ， ， ，求 的面 积． 【总结提升】 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点， 应引起注意． 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 bsin A＜a 关系式 a＜bsin A a＝bsin A a≥b a＞b a≤b ＜b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【变式探究】3 1.（2019·北京高考模拟（理））在ΔABC中，已知BC=6，AC=4，sinA= ，则∠B=______． 4 1 2. （2018·北京高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB= – ． 7 （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 考点五 余弦定理 【典例9】（2020·全国高考真题（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若sinA+ sinC= ，求C. 【典例10】（2021·济南市·山东省实验中学高一期中）在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2 ，对角线 AC与BD交于点E；E是BD的中点，且 . （1）若 ，求cos∠AED的值； （2）若 ，求BD的长. 【规律方法】 应用余弦定理解答两类问题：【变式探究】 1. （2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）已知 的角 所对的边分别为 ，设向量 . （1）若 ，求证 为等腰三角形； （2）若 ， ， ，求 的面积. 1  2. （2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3， b–c2 ，cosB= 2 ． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值．【总结提升】 如(a、b、c） A、B ABC 180 C 已知三边 ，由余弦定理求 ，再由 求角 ，在有解时只有一解. 如(a、b、C） 已知两边和夹角 ，余弦定理求出对边. 考点六 正弦定理与余弦定理的综合运用 【典例11】（2020·江苏省高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a3,c 2,B45 ． sinC （1）求 的值； 4 （2）在边BC上取一点D，使得cosADC  ，求 的值． 5 tanDAC 【典例12】（2021·天津滨海新区·高一期末）在 中，已知内角 所对的边分别为 ， 向量 ，向量 ，且 ∥ . （1）求角 的大小； （2）若 求 的取值范围； （3）若 的内切圆的周长为 ，当 的值最小时，求 的面积. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个 定理更方便、简捷就用哪一个定理． 【变式探究】 1.（2020·天津高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2√2,b=5,c=√13． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sin A的值； （Ⅲ）求 ( π)的值． sin 2A+ 4 VABC 2．（2019·全国高考真题（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 (sinBsinC)2 sin2 AsinBsinC ． （1）求A； 2ab2c （2）若 ，求sinC．