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专题 12 解三角形解答题分类练
一、利用正弦定理与余弦定理求角
1. （2024届广西玉林市高三上学期联考）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 的大小；
(2)若 ， ， 为 的中点，求 .
【解析】（1）解：因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：在 中，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 或
当 时， ，则 为钝角，不符合题意，
当 时， ，则 为锐角，合乎题意，故 ，
因为 为 的中点，则 ，
所以，
，故 .
2.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ．
(1)求角B；
(2)求 边上中线长 的最大值．
【解析】（1）由 ，可得： ，
即 ，
所以 ，而 ，所以 ；
（2）根据余弦定理可得， ，即 ，
，即 ，当且仅当 时， 等号成立.
是 边上中线， ，
，
，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 .
3．（2024届广东省揭阳市普宁市第二中学高三上学期月考）在 中，设A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且满足 ．
(1)求角B；
(2)若 ， 的内切圆半径 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ．
又 ，所以
（2）由余弦定理得： ，则 ，
由三角形面积公式， ，即 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
二、利用正弦定理与余弦定理求边
4. （2023届新疆伊犁州霍尔果斯市高三上学期第一次月考）已知 、 、 分别为 三个内角 、 、
的对边， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 、 .
【解析】（1）根据正弦定理，
变为 ，即 ，
也即 ，
所以 ．
整理，得 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ．
（2）由 ， ，得 ．
由余弦定理，得 ，则 ，所以 ．则 ．
5.（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2）由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
6.（2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期联考）已知 的周长为 ，且
.
(1)求 的长：
(2)若 的面积为 .求 .
【解析】（1）解：设 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .因为 ，所以 .
因为 ，所以 ；
（2）因为 的面积为 ，且 ，
所以 .
由（1）可得 .
则 .
由余弦定理可得 .
因为 ，所以 .
三、利用正弦定理与余弦定理求三角形面积
7. （2024届江西省南昌市高三上学期摸底测试）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的周长.
【解析】（1）由已知，在 中有 ，故 ，
即 ，
即 ，而 ，所以 ，
又 ，故 的面积为 .
（2）由余弦定理，得 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的周长为3.
8.（2023届安徽省合肥市庐阳区高三上学期12月月考）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 成等差数列， ，求 的面积．
【解析】（1）由正弦定理得 ，即 ，
再由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 成等差数列，所以 ，
即 ，
由正弦定理、余弦定理可得
，
整理得 ①，
又 ， ，由余弦定理得 ②，
由①②可得 ，
所以 的面积为 .
9.（2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考） 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 的值；
(2)若 是 上一点， ，求 的面积.
【解析】（1）在 中，由余弦定理 得，所以 .
由正弦定理 ，得 .
（2）因为 ，所以 ，C为锐角，
由 ，得 .
在 中， ，得 ，
因为 ，所以 .
四、利用正弦定理与余弦定理求范围与最值问题
10. （2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
，且 .
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
【解析】（1）因为 ，注意到 且结合正弦定理
有 ，整理得 ，
所以由余弦定理可得 .
（2）由（1）可知 ，且注意到 ，所以有 ，
利用基本不等式得 ，即 有最大值16，当且仅当 时取到；
又由（1）可知 ，所以 ，
综上所述： ；即 面积的最大值为 .11．（2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期9月测试届）记 的内角 的对
边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 是 上的一点，且 ，求 的最小值．
【解析】（1） ，
又 ，则 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，又 ，不符合题意，舍去，
综上所述 .
（2）
①，又 ②，
①÷②得：
令 ，又 ，
，
令
令 ，令 ，
当 时 ，当 时 ，
由对勾函数性质可得当 时， 为减函数，故 ，
同理当 时 ，
所以当三角形 为等边三角形时 最小，最小值为
12.（2024届河南省洛阳市洛宁县高三上学期第二次月考）在 中，内角 所对的边分别是
且 ．
(1)求角A；
(2)若 ，求 周长的范围．
【解析】（1）∵ ， 由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ．∵ ，
∴ ；
（2）由（1）知 ，又已知 ，由正弦定理得：
∵ ，
∴ ， ，
，
由 ，于是 ，故 ，于是 ，
∴ 周长的范围是 .
13．（2024届河北省保定市重点高中高三上学期考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为 上一点， ， ，求 的最小值.
【解析】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，
，所以 ，
所以 是钝角，所以 .
（2） ，
，所以 ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
五、与三角形中线、角平分线、高有关的解三角形问题
14. （2024届四川省南充高中高三上学期第一次月考）已知 中，角 的对边分别为 ，
．
(1)若 ，求 的值；(2)若 的平分线交 于点D，且 ， ，求 的面积．
【解析】（1）由 以及正弦定理得
，
所以 .
（2）依题意， ，
由正弦定理得 ，
由于 ，所以 ，
所以 ， ，
由 ， ，
，
由余弦定理得 ，
即 ， ， ，
则由 得 ，
所以 .
15.（2024届广东省揭阳市普宁市高三上学期第一次月考）在 中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求角A；
(2)若 ，AD为BC边上的中线，求 .
【解析】（1）由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
即 ，又 ，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以由正弦定理得 ，
设 ，则 ，
因为AD为BC边上的中线，所以 ，
即 ，
即 ， ，
即 ，显然 ，所以 ，即 .
16.（2024届河北省秦皇岛市部分学校高三上学期开学检测）记 的内角 的对边分别为 ，
面积为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 边上的中线 ，求 周长的最小值.
【解析】（1）∵ 面积为 ，
，且 ，
得 ，
，
由正弦定理得： ，
，
，
，
， .
（2） 边上中线 ，
，
，得 ， ，
， ，
且 ，即 ，
，当且仅当 时，“=”成立.
又 ，由余弦定理得
，
，
，
设 ，
，
设 ，
，
在 单调递减，
又 ， ， ，
在 单调递减，
则 最小值为 ，
所以当 时， 的最小值为 ，
故 周长最小值为 .
17.（2024届广西南宁市第二中学、柳州铁一中学高三新高考摸底调研）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)设 是 边上的高，且 ， ，求 的值．
【解析】（1）解：在 中，
由正弦定理，可得 ，
即 ，即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ．
（2）解：由（1）及已知，可得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
由余弦定理 ，可得 ，
即 ，即 ，所以 .
六、四边形中的解三角形问题
18. （2024届海南省定安县定安中学高三上学期开学考）如图，已知平面四边形 存在外接圆（即对
角互补），且 ， ， ．(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的周长.
【解析】（1）因为平面四边形 存在外接圆，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 的面积 ．
（2）在 中，由余弦定理得
，
解得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 的周长为 ．
19.（2023届四川省仁寿高三下学期2月月考）在 中，角A， ， 的对边分别为 ， ， ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点（A， 在直线 两侧）， .设 ，求平面四边形
面积的最大值及对应的 的值.
【解析】（1）在 中， ，由正弦定理： ，
即 ，
所以 ，
又 ，∴ ；
（2）由余弦定理： .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
因此当 时，平面四边形 面积最大，
∴最大值为 ， .
七、解三角形应用题
20. （2024届浙江省百校起点高三上学期9月调研）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大
庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A
处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，
他遥控无人机从点B处移动到点D处（ 平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处
测得天门山的最高点C处的仰角为 （ ）.(1)设平面 过 且平行于地平面，点C到平面 的距离为h米，求 与 的长（用h表示）；
(2)已知 ，求天门山的海拔.
【解析】（1）如图，过C作 ，垂足为 ，则 米， ， ，
在 中， 米.
在 中， 米，
因为 ，所以 ，
所以 米.
（2）在 中，由余弦定理得 ，
由（1）得 ，整理得 ，即 ，
所以天门山的海拔为 米.
21. （2023届河北省衡水中学高三下学期五调）如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东偏北 角方向的 ，位于该市的某大学 与市中心 的距离 km，且 . 现要修
筑一条铁路 ， 在 上设一站 ，在 上设一站 ，铁路在 部分为直线段，且经过大学 ，其中
， ， km.
(1)求大学 与站 的距离 ；
(2)求铁路 段的长 .
【解析】（1）在 中， ， ，且 ， ，
由余弦定理，得
，
所以 ，所以大学 与站 的距离 为 km；
（2）因为 ，且 为锐角，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
解得 ，
由题意知 为锐角，所以 ，
所以 ，因为 ， ，且 为锐角，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以铁路 段的长 为 km .
八、解三角形开放题
22. （2024届贵州省贵阳市高三上学期8月摸底）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、
．
① ；② ；③ ．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角 ；
(2)已知 的面积为 ， 是 边上的中线，求 的最小值．
【解析】（1）解：若选①，因为 ，即 ，
则 ，即 ，所以， ，
因为 ，故 ；
若选②，原式等价于 ，即 ，
即 ，因为 、 ，则 ，所以， ，则 ，故 ；
若选③，原式等价于 ，
即
所以， ，即 ，即 ，
因为 ，故 .
（2）解：因为 ，所以， ，
因为 为 的中点，
则 ，
所以， ，
则
，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
因此， 长的最小值为 .
23. （2024届北京市第一六六中学高三上学期9月阶段性诊断）已知 的内角 的对边分别为 ，
， ，若 ，
(1)求 ；
(2)请指出 不满足下面的哪一个条件并说明理由，根据另外两个条件，求 的面积．
① ；② ；③ 的周长为9．【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
又 ，
即 ，
又 ，故 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ，故 ，
若选① ，则 ，故不合要求，所以 不存在，则 不存在，
故不能选①；
所以只有一种情况，选择②③，即 ， 的周长为9，
所以 ，由余弦定理 ，
即 ，即 ，故 ，解得 ，
故 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，此时三角形存在且唯一确定，
所以 ．
