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第六节 抛物线
核心素养立意下的命题导向
1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．
2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直
观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F
叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px x2＝－2py
y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0)
标准方程 (p＞0) (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x 轴 y 轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
|PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
P(x，y))
0 0
3．抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)xx＝，yy＝－p2；
1 2 1 2
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x＋x＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
1 2
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：
S ＝＝|AB||d|＝|OF|·|y－y|；
△AOB 1 2(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(抛物线的标准方程)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛
物线C的方程是( )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D 由已知知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所
以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
2．(抛物线的定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B．
C. D．0
解析：选B M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋
＝1，∴y＝.
3．(抛物线的性质)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
二、易错点练清
1．(忽视抛物线的标准形式)抛物线y＝－2x2的准线方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．y＝ D．y＝
解析：选D 抛物线方程为x2＝－y，所以p＝，准线方程为y＝.
2．(忽视抛物线的开口方向)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y
解析：选A 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所
以y2＝－x或x2＝y.故选A.
3．(忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为
______________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物
线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距
离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值
为________，此时点P的坐标为________．
[解析] (1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y
轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
因为＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|(运用定义进行转化)，
当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，
|PA|＋|PQ|最小(两点之间，线段最短)，
最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求
点P的坐标为(2,2)．
[答案] (1)C (2) (2,2)
[方法技巧]
1．利用抛物线的定义可解决的常见问题
轨迹
用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线
问题
距离 涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利
问题 用两者之间的相互转化
2．抛物线定义的应用规律[提醒] 建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域．
[针对训练]
1．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动
点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．8 B．2
C．2＋ D．
解析：选D 由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝
x ＋＝x ＋1＝5，∴x ＝4，代入抛物线方程，得y＝16，不妨取点A为
A A A
(4,4)．如图，设点F关于x＝－1的对称点为E，则E(－3,0)，∴|PA|＋|
PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝＝.
2．如图，圆锥底面半径为，体积为π，AB，CD是底面圆O的两条互相
垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点
的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________．
解析：由V＝πr2h＝π×()2×PO＝π，得PO＝，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝.
以E为坐标原点，OE为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的
平面直角坐标系，则C(－1，)．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
∴()2＝－2p×(－1)，解得p＝1，
故焦点到其准线的距离等于1.
答案：1
考点二 抛物线的标准方程
[典例] (1)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程
为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝3x D．y2＝5x
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点
A(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析] (1)由题得点M到准线的距离为2，
所以1＋＝2，解得a＝4.
所以该抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x，y)，
0 0则AF―→＝，AM―→＝.
由已知得，AF―→·AM―→＝0，即y－8y＋16＝0，
0
因而y＝4，M.
0
由|MF|＝5，得 ＝5.
又p>0，解得p＝2或p＝8.
故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
抛物线的标准方程的求法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物
线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定
关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方
程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝
2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；
若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝
my(m≠0)．
[针对训练]
1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交
其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：选C 如图，过点A，B分别作准线的垂线，交 准线于点E，D，设|
BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD| ＝a，故∠BCD＝
30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，| AC|＝3＋3a，2|AE|
＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，
所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为 y2＝ 3x，故选C.
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，
若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设
P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
考点三 抛物线的几何性质[典例] (1)(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E
两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A. B.
C．(1,0) D．(2,0)
(2)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN
的中点，则|FN|＝________.
[解析] (1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2， －2)．
由OD⊥OE，可得OD―→·OE―→＝4－4p＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.
(2)依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，
M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
[答案] (1)B (2)6
[方法技巧]
抛物线几何性质的应用技巧
(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对
称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方
程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与
交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．
[针对训练]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则
△AOB的面积为( )
A. B．
C. D．2
解析：选C 由题意设A(x，y)，B(x，y)(y>0，y<0)，如图所示，
1 1 2 2 1 2
|AF|＝x＋1＝3，所以x＝2，
1 1
y＝2.
1
设AB的方程为x－1＝ty，
由
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以yy＝－4，所以y＝－，x＝，
1 2 2 2
所以S ＝×1×|y－y|＝，故选C.
△AOB 1 2
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接QF并延长交抛物线的准线于
点P，且点P的纵坐标为负数．若|PQ|＝2|QF|，则直线PF的方程为( )
A.x－y－＝0
B.x＋y－＝0C.x－y－＝0或x＋y－＝0
D．x－y－1＝0
解析：选D 由于点P的纵坐标为负数，所以直线PF斜率大于零，设直
线PF的倾斜角为θ.作出抛物线y2＝4x和准线x＝－1的图象如图所示．
作QA⊥PA，交准线x＝－1于点A.根据抛物线的定义可知|QF|＝|QA|，
且∠QFx＝∠AQP＝θ.
因为|PQ|＝2|QF|，所以在直角三角形PQA中，
cos θ＝＝＝，
所以θ＝.
故直线PF的斜率为tan＝，
所以直线PF的方程为y－0＝(x－1)，
化简得x－y－1＝0.故选D.
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
解析：选BCD 因为抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，
所以p＝，
所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F.
对于A，|PF|＝1＋＝，故A错误．
对于B，k ＝，所以l ：y＝，与y2＝x联立得：4y2－3y－1＝0，
PF PF
所以y＋y＝，yy＝－，
1 2 1 2
所以S ＝|OF|·|y－y|＝××＝，故B正确．
△OPQ 1 2
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得：ky2－y＋1－k＝0，
Δ＝1－4k(1－k)＝0,4k2－4k＋1＝0，解得k＝，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确．
对于D，依题意斜率存在，设l ：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得：ky2－y＋1－k＝0，
PM
所以y ＋1＝，即y ＝－1，则x ＝2，
M M M
所以点M，
同理N，
所以k ＝＝＝－，故D正确．故选B、C、D.
MN
创新思维角度——融会贯通学妙法解决与抛物线有关的最值问题的方法
与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般
需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无
策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．
方法(一) 定义转换法
[例1] 已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|
＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
[解析] 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|.当点M(20,40)位于抛物线内时，
根据点M与抛物线的位置分类讨论．
如图(1)，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图(2)，当点P，M，F共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得 ＝41，解得p＝22或58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故
舍去．综上，p＝42或22.
[答案] 42或22
[名师微点]
定义是解决问题的基础和灵魂，运用定义转化，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，
借助平面几何知识求解．
方法(二) 平移直线法
[例2] 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
[解析] 法一：设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝
0，切线方程与抛物线方程联立消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝
－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最
小值是这两条平行线间的距离d＝＝.
法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行
且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，－m2)，则
切线斜率k＝y′| ＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线
x＝m
4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线
4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
[答案][名师微点]
通过转化，利用平行线之间距离最短平移直线与抛物线相切，再求两直线的距离．
方法(三) 函数法
[例3] 若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
[解析] 由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，
当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x，y)，则y＝
0 0
x，|PA|＝＝
0
＝ ，当且仅当x＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.
0
[答案] －1
[名师微点]
本题可通过巧设点的坐标，将距离表示为关于y(参数)的二次函数形式，配方后求最值．
0
方法(四) 数形结合法
[例4] 已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则点
M到y轴的最短距离为________．
[解析] 如图，抛物线y2＝2x的准线方程为l：x＝－，
过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，
B′，M′.
由抛物线的定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，又M是AB的中点，
所以由梯形的中位线定理，
得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝(当且仅当AB过抛物线的焦点时
取“＝”)．所以点M到y轴的最短距离为1.
[答案] 1
[名师微点]
本题通过抛物线定义、平面几何知识、数形结合将问题化难为易．
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距
离大，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，
根据抛物线的定义可得＝，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(，0) B．(0，)
C．(2，0) D．(0,2)
解析：选A 抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离是，即＝，则抛物线的焦点坐标为(，0)．故选A.
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，
若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D 依题意，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于OF的垂直平
分线x＝上，圆心到准线x＝－的距离为6，即＋＝6，解得p＝8，故选D.
4．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线
AB的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x得点A的横坐标
为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的
距离为2－1＝1，故选A.
5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|
PE|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的投影
为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，
故点P到x＝－2的距离等于|PF|，
所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B.
6．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的
焦点坐标为________．
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
0
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：选C ∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－.
∵点P(2，y)到其准线的距离为4，∴＝4.
0
∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x，y)是C上一点，|AF|＝x，则x＝( )
0 0 0 0
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x，根据抛物线的定义可得x＋＝|
0 0
AF|＝x，解得x＝1.故选A.
0 0
3．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值
为( )
A. B．
C. D．
解析：选A ∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴＝2，∴m＝，∴n
＝，∴mn＝.
4．已知点A(0,2)，抛物线C ：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其
1
准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值为( )
A. B．
C．1 D．4
解析：选D 依题意，点F的坐标为，如图，设点M在准线上的射影为
K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶，则|KN|∶|KM|＝
2∶1.∵k ＝＝－，k ＝－＝－2，∴＝2，解得a＝4.
FN FN
5．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物
线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(
)
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
解析：选B 连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线
段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若
△AOB的面积为4，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：选D 设A，B，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S ＝|OF|·|AB|＝2，不成立，所以＝
△AOB
⇒yy＝－4.由△AOB的面积为4，得|y－y|×1＝4，所以y＋y＝56，因此|AB|＝x＋x＋p＝
1 2 1 2 1 2
＋2＝16.
7．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是
圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0解析：选B 把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，
又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，
易得AB方程为y－2＝(x－2)，
AC方程为y－2＝－(x－2)，
联立AB方程和抛物线方程得B，
同理：C，
由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.
8．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为
半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是(
)
A．△ABF是等边三角形
B．|BF|＝3
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
解析：选ACD ∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的
定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.
∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物
线的方程为y2＝6x.
9．(2021·海口调研)若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______.
解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，
又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，
所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝.
答案：
10．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝
0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．
解析：由题得A，B，
∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点M，
∴ AM＝，BM＝.
又∠AMB＝90°，
∴AM·BM＝·＋2＝0，
即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，
即1502－4×25×(625－4p2)≥0，
解得p≥10，或p≤－10，
又p>0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．
答案：[10，＋∞)
11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)(x0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，
且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1，
∵F，∴l的方程为y＝x－.
由得x2－3px＋＝0.
设M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝3p，
1 1 2 2 1 2
∴|MN|＝x＋x＋p＝4p＝16，p＝4，
1 2
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)假设满足题意的点P存在．
设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则x＋x＝，xx＝4.
1 2 1 2
Δ＝[－(4k2＋8)]2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴k ＋k ＝0，
PM PN
又k ＝，k ＝，
PM PN
∴k(x－2)(x－a)＋k(x－2)(x－a)＝k[2x x －(a＋2)(x ＋x )＋4a]＝－＝0，
1 2 2 1 1 2 1 2
∴a＝－2，此时P(－2,0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦
点F不重合即可．
综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．
三、自选练——练高考区分度
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称
轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝
4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经
过抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A.＋ B．9＋
C.＋ D．9＋
解析：选D 对于y2＝4x，令y＝1，得x＝，即A，结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得，k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得
x x ＝1，∴x ＝＝4.
A B B
∴|AB|＝x ＋x ＋p＝.
A B
将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
∴|MB|＝＝.
∴△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝＋＋＝9＋.故选D.
2．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为
坐标原点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB的面积的最小值是2
解析：选ACD F(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．
(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|
OA|＝2，S ＝×4×1＝2，显然B错误；
△OAB
(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，
显然k≠0，
联立方程组消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝＝2＋，∴|AB|
1 1 2 2 1 2
＝x＋x＋2＝4＋>4，原点O到直线l的距离d＝，∴S ＝×|AB|×d＝××＝2>2.
1 2 △OAB
综上，|AB|≥4，S ≥2，故A正确，D正确．过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|
△OAB
＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故
C正确．故选A、C、D.
3．(多选)已知过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x＝0于
M，N两点，其中P, M位于第一象限，则＋的值可能为( )A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选BCD 如图所示，可设＝m，＝n，则＝m－1，＝n－1，∵y2＝
4x，∴p＝2，根据抛物线的常用结论，有＋＝＝1，∴＝1，则m＋n＝
mn，
∴＋＝＋＝＝4m＋n－5，
又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝9，得4m＋n≥9，
∴4m＋n－5≥4，则＋的值不可能为3.
