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周二
1.(2024·济南模拟)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P
( π π) ( π)
cos ，sin ，则cos α- 等于( )
3 3 6
1
A.0 B.
2
√2 √3
C. D.
2 2
2.(2024·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=|ex-1|，g(x)=[f(x)]2-tf(x)(t∈R)，若关于x的方程g(x)=3-t2有三个不同的实
数根，则实数t的取值范围是( )
A.(-2，2) B.(√3，2)
C.(-2，-√3) D.(2，+∞)
3.(多选)(2024·马鞍山质检)已知点P，A，B在抛物线y2=2px(p>0)上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，
M，N，线段MN的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则( )
A.点M，N不在x轴上
B.点E在x轴上
C.点D与点P的横坐标相等
D.点D与点P的纵坐标互为相反数
4.(2024·晋城模拟)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为
，该棱台各棱的长度之和的最小值为 .
5.(2024·南通调研)已知数列{a }的前n项和为S ，S =a -4a ，a =-1.
n n n n n+1 1
(1)证明：数列{2a -a }为等比数列；
n+1 n
a
(2)设b =
n+4
，求数列{b }的前n项和；
n n(n+1) n
(3)是否存在正整数p，q(p<6<q)，使得S ，S ，S 成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
p 6 q答案精析
1.D 2.B 3.ABD
4.6 42
解析 因为正n棱台的侧棱有n条，底面有2n条棱，所以正n棱台共有3n条棱，由3n>15，得n>5，所以
n的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.
5.(1)证明 S =a -4a ，n∈N*，
n n n+1
当n≥2时，S =a -4a ，
n-1 n-1 n
两式相减得
a =a -a -4a +4a ，
n n n-1 n+1 n
即4a =4a -a ，
n+1 n n-1
则有2(2a -a )=2a -a .
n+1 n n n-1
当n=1时，S =a -4a ，则a =0，即2a -a =1≠0，
1 1 2 2 2 1
1
所以数列{2a -a }是以1为首项， 为公比的等比数列.
n+1 n 2
1
(2)解 由(1)得2a -a = ，
n+1 n 2n-1
则2na -2n-1a =1，
n+1 n
所以数列{2n-1a }是等差数列，
n
n-2
于是2n-1a =n-2，解得a = .
n n 2n-1
n+2
则b =
n 2n+3n(n+1)
1[ 1 1 ]
-
= ，
8 2n-1n 2n (n+1)
1{( 1 ) ( 1 1 ) [ 1 1 ]}
1- + - +…+ -
所以数列{b }的前n项和T =
n n 8 2×2 2×2 22×3 2n-1n 2n (n+1)
1 1
= - .
8 2n+3 (n+1)
(3)解 由(2)知，
n-2 n-1 n
S = -4× =- ，
n 2n-1 2n 2n-1
由S ，S ，S 成等差数列，
p 6 q
12 p q
得- =- - ，
25 2p-1 2q-1p q 3
整理得 + = ，
2p 2q 16
p 3
则 < .
2p 16
又1≤p<6，p∈N*，
1 2 3 4 3 5 q 3
= > > > ，当p=5时不等式成立，因此 + = ，
2 22 23 24 16 32 2q 16
q 1 n
即 = .令d = ，
2q 32 n 2n
1-n
则d -d = ≤0，
n+1 n 2n+1
从而d =d >d >d >d >…，
1 2 3 4 5
1
显然d = ，即q=8，
8 32
所以存在p=5，q=8，使得S ，S ，S 成等差数列.
p 6 q
