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第2课时 解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的
方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速
度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，
保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，本讲从以下5个方面探索减
轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．
技法一 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和
思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．
对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化
难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
[典例] 如图，F ，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B
1 2 1 2
分别是C ，C 在第二、四象限的公共点．若四边形AF BF 为矩形，则
1 2 1 2
C 的离心率是( )
2
A. B.
C. D．
[解题观摩] 由已知，得F (－，0)，F (，0)，设双曲线C 的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的
1 2 2
定义和已知，
可得
解得a2＝2，故a＝.
所以双曲线C 的离心率e＝＝.
2
[答案] D
[名师微点]
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF |，|AF |的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴
1 2
长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
[针对训练]
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F (－1,0)，F (1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．
1 2 2
若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为( )
2 2 1
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选B 法一：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF |＋|AB|＋|BF |
1 1
＝4a.
∵|AB|＝|BF |，|AF |＝2|F B|，
1 2 2
∴|AB|＝|BF |＝|AF |，
1 2∴|AF |＋3|AF |＝4a.
1 2
又∵|AF |＋|AF |＝2a，
1 2
∴|AF |＝|AF |＝a，
1 2
∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)，
由F (1,0)，AF2＝2F2B，得B.
2
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
法二：由题意设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F A，令|F B|＝m，则|AF |＝2m，|BF |＝
1 2 2 1
3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F A|＝a＝|F A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶
2 1
点．令∠OAF ＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF 中， cos 2θ＝＝，∴＝1
2 1
－22，解得a2＝3.又c2＝1，∴b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值
为________．
解析：设点P的坐标为(x ，y )，由抛物线的定义，
P P
知|PF|＝x ＋m，
P
又|PA|2＝(x ＋m)2＋y＝(x ＋m)2＋4mx ，
P P P
则2＝＝
≥＝(当且仅当x ＝m时取等号)，
P
所以≥，所以的最小值为.
答案：
技法二 设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义
上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，
通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．
[典例] (2021·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2
＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为( )
A. B．
C. D．
[解题观摩] 由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k，k，切点A(x，y)，B(x，y)，
1 2 1 1 2 2
设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，
联立，得x2－8kx＋8km－8n＝0，
因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，
所以k＋k＝，kk＝，
1 2 1 2
又由x2＝8y得y′＝，所以x＝4k，y＝＝2k，
1 1 1
x＝4k，y＝＝2k，
2 2 2
所以k ＝＝＝＝，
AB因为点P(m，n)满足2＋2＝1，
所以1≤m≤3，
因此≤≤，
即直线AB斜率的最大值为.故选B.
[答案] B
[名师微点]
(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用
PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简
洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而
设参的原则是宜少不宜多．
[针对训练]
3．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段
AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x＋x＝2，y＋y＝2，
1 2 1 2
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.即椭圆C的离心率e＝.
答案：
技法三 巧设参数，变换主元
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元
引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换
的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
[典例] 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O
为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.
[解题观摩] 法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x，y)．
0 0
联立消去y 并整理，得x＝.①
0
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y＝kx，
0 0
得(x＋a)2＋k2x＝a2，
0
整理得(1＋k2)x＋2ax＝0.而x≠0，于是x＝，
0 0 0
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞.
法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，
可设点P的坐标为(x，kx)．
0 0
由点P在椭圆上，得＋＝1.
因为a＞b＞0，kx≠0，所以＋＜1，
0
即(1＋k2)x＜a2.②
由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x＋a)2＋k2x＝a2，
0
整理得(1＋k2)x＋2ax＝0，于是x＝，
0 0
代入②，得(1＋k2)·＜a2，
解得k2＞3，所以|k|＞.
法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，
则线段OP的中点Q的坐标为.
|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔k ×k＝－1.
AQ
又A(－a,0)，所以k ＝，
AQ
即bsin θ－ak cos θ＝2ak .
AQ AQ
从而可得|2ak |≤ ＜a，
AQ
解得|k |＜，故|k|＝＞.
AQ
[名师微点]
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．
[针对训练]
4．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且
M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．
解：当t＝0时，若l与圆C相切，则M恰为AB中点，
∴当t≠0时，这样的直线应有2条．
不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，
则有Δ＝16t2＋16m＞0，y＋y＝4t，yy＝－4m，
1 2 1 2
那么x＋x＝(ty ＋m)＋(ty ＋m)＝4t2＋2m，
1 2 1 2
可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，
而由题意可得直线AB与直线MC垂直，
即k ·k ＝－1，可得·＝－1，
MC AB
整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，
把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，
可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，
又由于圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝2＝r，
而由0＜t2＜3可得2＜r＜4.
故r的取值范围为(2,4)．
技法四 妙借向量，无中生有
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典
范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．
妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)
的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭
圆的离心率是________．
[解题观摩] 把y＝代入椭圆＋＝1，
可得x＝±a，那么B，C，
而F(c,0)，
那么FB＝，FC＝，
又∠BFC＝90°，
故有FB·FC＝·＝c2－a2＋b2＝c2－a2＋(a2－c2)＝c2－a2＝0，
则有3c2＝2a2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
[答案]
[名师微点]
本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆
锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．
[针对训练]
5.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为
(2,0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求
证：以EF为直径的圆恒过坐标原点．
解：(1)圆B的圆心为B，半径r＝4，＝4.连接MC，由已知得＝，
∵＋＝＋＝＝r＝4>，
∴由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
即a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝4，
∴点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)证明：当直线EF的斜率不存在时，
直线EF的方程为x＝± ，
E，F的坐标分别为，或
，，OE·OF＝0.当直线EF斜率存在时，
设直线EF的方程为y＝kx＋b，
∵EF与圆O：x2＋y2＝相切，
∴＝ ，即3b2＝8k2＋8.
设E，F，
∴OE·OF＝xx＋yy
1 2 1 2
＝xx＋kb＋b2，
1 2
联立代入消元得x2＋4kbx＋2b2－8＝0，
∴x＋x＝－，xx＝，代入(*)式得
1 2 1 2
OE·OF＝·－＋b2＝，
又∵3b2＝8k2＋8，∴OE·OF＝0，
∴以EF为直径的圆恒过定点O.
技法五 巧用“韦达”，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；
但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两
根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
[典例] 已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N
两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并
求出该定点；若不过定点，请说明理由．
[解题观摩] (1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得
5x2＋16x＋12＝0.
解得x＝－2，x＝－，所以M.
1 2
(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，
联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则x ＋x ＝，
A M
x ＝－x －＝2－＝.
M A
同理，可得x ＝.
N
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
证明如下：
因为k ＝＝＝，
MP
同理可计算得k ＝.
PN
所以直线MN过x轴上的一定点P.
[名师微点]本例在第(2)问中应用了根与系数的关系求出x ＝，这体现了整体思想．这是解决解析几何问
M
题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．
[针对训练]
6．已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M
两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
解：设M(x，y)，则由题意知y>0.
1 1 1
(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y＝.
1
因此△AMN的面积S ＝2×××＝.
△AMN
(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)．
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1，
得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x·(－)＝，得x＝，
1 1
故|AM|＝|x＋|＝.
1
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
t>3等价于＝<0，
即<0.
因此得或解得0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的
准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．3 D．2
解析：选B ∵直线MF的斜率为，MN⊥l，
∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，
∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲
线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D 不妨设B(0，b)，由BA＝2AF，F(c,0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，
∴＝.①
又|BF|＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1.
3．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当 △AOB
的面积取得最大值时，|AB|＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，
1 1 2 2 1 2
xx＝，
1 2
|AB|＝＝＝.
又O到直线AB的距离d＝，
则△AOB的面积S＝d·|AB|＝≤＝，
当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝＝.
4．记双曲线C：－＝1的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝
∠MOF＝90°，则＝( )
A．3＋2 B．4＋2
C．3＋ D．4＋
解析：选A 设双曲线的右焦点是F′，由双曲线的对称性和∠MF′N＝90°，得四边形
MFNF′是矩形，∵∠MOF＝120°，∴∠MOF′＝60°，故△MOF′是等边三角形．
∴在Rt△MFF′中，∴∠MFF′＝30°，＝2c，
∴＝c，＝c，
∵－＝2a，∴c－c＝2a，
∴＝＝＋1，
∴＝＝－1＝(＋1)2－1＝3＋2，故选A.
5．椭圆＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x－2y－3＝0对称，若O为坐标原点，则
＝( )
A．1 B．C. D．
解析：选C 由题意直线AB与直线4x－2y－3＝0垂直，设直线AB的方程为y＝－x＋m.
由消去y整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，
∵直线AB与椭圆交于两点，
∴Δ＝(－2m)2－4(2m2－2)＝－4m2＋8>0，
解得－0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点 A，B，若
△MAB的内切圆圆心为(1，t)，则直线l的斜率为________．
解析：将点M(1,2)代入y2＝2px，可得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，
由题意知，直线l斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x＝my＋n(m≠0)，
代入y2＝4x，得y2－4my－4n＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4m，yy＝－4n，
1 1 2 2 1 2 1 2
又由△MAB的内切圆心为(1，t)，
可得k ＋k ＝＋＝＋＝0，
MA MB
整理得y＋y＋4＝4m＋4＝0，解得m＝－1，
1 2
从而l的方程为y＝－x＋n，所以直线l的斜率为－1.
答案：－1
7．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x
－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．
解析：联立得x＝1，y＝1，
∴直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为M(1,1)，∴线段AB的中点为M(1,1)．
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝2，y＋y＝2，分别把A(x，y)，B(x，y)代入椭圆方程＋＝
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
1(a>b>0)，得两式相减整理，得＝－＝－，
∴a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，∴a＝b＝c，∴e＝＝.
答案：8.(2021·镇江模拟)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F关于
坐标原点 O 对称，过 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，使得
AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则＋－－＝________.
解析：设A(x，y)，B(x，y)，AB过焦点得xx＝1，又AB⊥BM，得B在
1 1 2 2 1 2
以MF为直径的圆上，
故x＋y＝1，而y＝4x，得1－x＝y＝4x，
2 2
又－＝1＋x－(1＋x)＝x－x＝－x＝＝＝4，又∠ABM＝∠ACM，
1 2 1 2 2
所以AMBC四点共圆，进而得AC＝BC，
故＋－－＝4.
答案：4
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动
点，且线段PQ长度的最大值为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．
解：(1)因为y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，
又的最大值为4，因此2a＝4，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当P，Q为椭圆顶点时，
易得△OPQ的面积为×2×＝，
②当P，Q不是椭圆顶点时，
设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
由得x2＝，
所以＝ ，
由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，
所以＝ ＝ ，
所以S ＝·＝6
△OPQ
＝6＝6，
＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，
所以0<≤，所以≤S <，
△OPQ
综上，△OPQ面积的最小值为.
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4t，yy＝－4，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以OA·OB＝xx＋yy＝(ty ＋1)(ty ＋1)＋yy
1 2 1 2 1 2 1 2
＝t2yy＋t(y＋y)＋1＋yy＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
1 2 1 2 1 2
(2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得
y2－4ty－4b＝0，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝4t，yy＝－4b，
1 2 1 2
所以OA·OB＝xx＋yy＝(ty ＋b)(ty ＋b)＋yy
1 2 1 2 1 2 1 2
＝t2yy＋bt(y＋y)＋b2＋yy＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
1 2 1 2 1 2
令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
所以直线l过定点(2,0)．
