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第六周
周一
1.(2024·荆州模拟)已知集合A={x∈Z|-1<x<3}，B={x|3x-a≥0}，且A∩B={1，2}，则实数a的取值范围为(
)
A.(0，1) B.(0，1]
C.(0，3] D.(0，3)
答案 C
解析 因为A={x∈Z|-1<x<3}={0，1，2}，
{ | a}
B={x|3x-a≥0}= x x≥ ，
3
a
又A∩B={1，2}，所以0< ≤1，解得0<a≤3，则实数a的取值范围为(0，3].
3
x2 y2
2.(2024·桂林模拟)已知椭圆C： + =1的右焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，其中点A在x
4 3
轴上方，且⃗AF=2⃗FB，则点B的横坐标为( )
1 3
A. B.
2 2
7 7
C.- D.
4 4
答案 D
解析 由题意可知c=√a2-b2=1，则F(1，0).
设A(x ，y )，B(x ，y )，则⃗AF=(1-x ，-y )，⃗FB=(x -1，y ).
1 1 2 2 1 1 2 2
因为⃗AF=2⃗FB，
{- y =2y ,
1 2
所以
1-x =2(x -1),
1 2
{ y =-2y ,
1 2
整理得
x =3-2x .
1 2
{(3-2x ) 2 (-2y ) 2
2 + 2 =1,
4 3
将A，B代入椭圆C的方程可得
x2 y2
2+ 2=1,
4 3
7
解得x = ，
2 47
可知点B的横坐标为x = .
2 4
m2-n n2
3.(多选)(2024·金华模拟)已知正实数m，n满足 =ln ，则下列不等式可能成立的有( )
2 m
A.m<n<1 B.n<m<1
C.1<m<n D.1<n<m
答案 ACD
m2-n n2
解析 由 =ln ，
2 m
可得m2+2ln m=n+4ln n.
记f(x)=x2+2ln x，g(x)=x+4ln x，
由于函数y=x2，y=ln x，y=x均在(0，+∞)上单调递增，
故f(x)=x2+2ln x，g(x)=x+4ln x在(0，+∞)上单调递增.
记h(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x-x，x>0，
2 2x2-x-2
则h'(x)=2x- -1= ，
x x
1+√17
令h'(x)>0，得x> ，
4
(1+√17 )
故h(x)在 ，+∞ 上单调递增；
4
1+√17
令h'(x)<0，得0<x< ，
4
( 1+√17)
故h(x)在 0， 上单调递减.
4
而h(1)=0，h(2)=2-2ln 2>0，故存在x ∈(1，2)，使得h(x )=0，
0 0
故当x>x 时，h(x)>0，即f(x)>g(x)，
0
当1<x<x 时，h(x)<0，即f(x)<g(x)，
0
当0<x<1时，f(x)>g(x)，
故作出f(x)，g(x)的大致图象如图所示.
由图可知，
当f(m)=g(n)>f(x )时，可得1<m<n；
0
当f(1)<f(m)=g(n)<f(x )时，可得1<n<m，
0
当f(m)=g(n)<f(1)时，可得m<n<1.4.(2024·安庆模拟)一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4.现甲从
中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字
大即获胜(若所标数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 .
1
答案
3
解析 设事件“甲获胜”为事件A，事件“乙摸到2号球”为事件B，
1+2+C1C1
9
2 3
则P(A)= = ，
C1C1 25
5 5
C1
3
3
P(AB)= = ，
C1C1 25
5 5
3
P(AB) 25 1
所以P(B|A)= = = .
P(A) 9 3
25
5.(2024·东北三省三校联考)如图，四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，DC=1，
1 1 1 1
AB=3，AD=BC=2，⃗BE=2⃗EA.
(1)求证：D E∥平面DB C ；
1 1 1
(2)若四边形ADD A 为菱形，∠A AD=60°，平面ADD A ⊥平面ABCD.
1 1 1 1 1
①求平面DB C 和平面DCC 夹角的余弦值；
1 1 1
②求点A 到平面DB C 的距离.
1 1 1
(1)证明 在棱AB上取点F，使AF=2FB，连接DF，FB .
1
由已知DC∥FB，DC=FB，
∴四边形BCDF为平行四边形，∴DF∥BC，
又∵BC∥B C ，∴DF∥B C ，即D，F，B ，C 四点共面.
1 1 1 1 1 1
连接FC ，由已知EF∥DC，EF=DC，DC∥D C ，DC=D C ，
1 1 1 1 1
∴EF∥D C ，EF=D C ，
1 1 1 1
∴四边形EFC D 为平行四边形，∴D E∥FC .
1 1 1 1
∵D E⊄平面DFB C ，FC 平面DFB C ，
1 1 1 1 1 1
∴D
1
E∥平面DFB
1
C
1
，即D⊂1 E∥平面DB
1
C
1
.
(2)解 在菱形ADD A 中，∠A AD=60°，
1 1 1
取A D 的中点G，连接DG，则DG⊥AD.
1 1又平面ADD A ⊥平面ABCD，平面ADD A ∩平面ABCD=AD，DG 平面ADD A ，
1 1 1 1 1 1
∴DG⊥平面ABCD.
⊂
在等腰梯形ABCD中，DE⊥DC，DE=√3，
∵DE，DC，DG两两互相垂直，
以D为原点，DE，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，
0)，A(√3，-1，0)，B(√3，2，0)，C(0，1，0)，G(0，0，√3).
1
①⃗DC =⃗DG+⃗GD +⃗D C =⃗DG+ ⃗AD+⃗DC
1 1 1 1 2
( √3 3 )
= - ， ，√3 ，
2 2
⃗C B =⃗CB=(√3，1，0)，⃗DC=(0，1，0)，
1 1
设n=(x，y，z)为平面DB C 的法向量，
1 1
{ √3 3
n·⃗DC =- x+ y+√3z=0,
则 1 2 2
n·⃗C B =√3x+ y=0,
1 1
取x=1，则有n=(1，-√3，2).
设m=(x ，y ，z )为平面DCC 的法向量，
1 1 1 1
{ √3 3
m·⃗DC =- x + y +√3z =0,
则 1 2 1 2 1 1
m·⃗DC= y =0,
1
取x =2，则有m=(2，0，1).
1
设平面DB C 与平面DCC 的夹角为θ，
1 1 1
|m·n| |2+2| √10
则cos θ=|cos〈m，n〉|= = = ，
|m||n| √5×2√2 5
√10
∴平面DB C 与平面DCC 夹角的余弦值为 .
1 1 1 5
1 (√3 1 )
②∵⃗DA =⃗DG+⃗GA =⃗DG+ ⃗DA= ，- ，√3 ，
1 1 2 2 2
|√3 √3 |
|⃗DA ·n| + +2√3 3√6
∴点A 到平面DB C 的距离为 1 = 2 2 = .
1 1 1 |n| 4
√1+3+4
