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周三
1.(2024·鞍山质检)已知直线l：x-y-2=0，点C在圆(x-1)2+y2=2上运动，那么点C到直线l的距离的最大值为(
)
3√2 5√2
A. +1 B.
2 2
3√2 √2
C. D.
2 2
答案 C
解析 圆(x-1)2+y2=2的圆心坐标为(1，0)，半径为r=√2.
|1-0-2| √2
则圆心(1，0)到直线l：x-y-2=0的距离为d= = .
√1+1 2
√2 3√2
所以圆上的点C到直线l：x-y-2=0距离的最大值为 +√2= .
2 2
x+6 y+6
2.(2024·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则 的最小值为( )
xy
A.12 B.3+2√2
25 6√2-3
C. D.
2 2
答案 C
x+6 y+6 2x+12y+12
解析 由x+y=2，则 =
xy 2xy
(x+ y)x+6(x+ y)y+3(x+ y) 2
=
2xy
4x2+9 y2+13xy 2x 9 y 13
= = + +
2xy y 2x 2
√2x 9 y 13 25
≥2 · + = ，
y 2x 2 2
2x 9 y 6 4
当且仅当 = ，即x= ，y= 时，等号成立.
y 2x 5 5
3.(多选)(2024·长沙模拟)在正方体ABCD-A B C D 中，点P为线段BD 上的动点，直线m为平面A DP与平
1 1 1 1 1 1
面B CP的交线.下列说法正确的是( )
1
A.存在点P，使得BB ∥平面A DP
1 1B.存在点P，使得B P⊥平面A DP
1 1
C.当点P不是BD 的中点时，m∥平面A B CD
1 1 1
D.当点P不是BD 的中点时，m⊥平面ABD
1 1
答案 ACD
解析 当点P与点D 重合时，由BB ∥DD ，且DD 平面A DP，BB ⊄平面A DP，可知BB ∥平面
1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 DP，即A正确； ⊂
若B P⊥平面A DP，注意到A D 平面A DP，则B P⊥A D，
1 1 1 1 1 1
以D为原点，建立如图所示的空⊂间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
⃗BP=λ⃗BD ，λ∈[0，1]，
1
则⃗B P=⃗B B+⃗BP=⃗B B+λ⃗BD =(0，0，-1)+λ(-1，-1，1)=(-λ，-λ，λ-1)，
1 1 1 1
⃗A D=(-1，0，-1)，
1
所以⃗B P·⃗A D=λ-(λ-1)=1≠0，与B P⊥A D矛盾，即B错误；
1 1 1 1
当P不是BD 的中点时，由A D∥B C，且B C 平面B CP，A D⊄平面B CP，可知A D∥平面B CP，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又直线m为平面A
1
DP与平面B
1
CP的交线，A 1⊂D 平面A
1
DP，则A
1
D∥m，又A
1
D 平面A
1
B
1
CD，m⊄平面
A 1 B 1 CD，从而可得m∥平面A 1 B 1 CD，即C正确；⊂ ⊂
由选项C的分析可知，当点P不是BD 的中点时，A D∥m，又AB⊥平面ADD A ，A D 平面ADD A ，所
1 1 1 1 1 1 1
以AB⊥A 1 D， ⊂
又AD ⊥A D，AB∩AD =A，AB，AD 平面ABD ，所以A D⊥平面ABD ，则m⊥平面ABD ，即D正确.
1 1 1 1 1 1 1 1
4.(2024·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城
⊂
西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称
于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处测得楼
顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为
米.
45√3
答案
4
AB √3AB
解析 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， =tan 60°=√3，BC= ，
BC 3AB √3
在Rt△ABD中，∠ADB=30°， =tan 30°= ，BD=√3AB，
BD 3
√3AB 2√3
因为CD=22.5，所以BD-BC=√3AB- = AB=22.5，
3 3
45√3
解得AB= .
4
5.(2024·郑州模拟)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原
型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”称号.有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人
比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2
局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均
1
为 ，各局比赛的结果相互独立.
2
(1)求前3局比赛甲都获胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
1 1 1 1
解 (1)因为各局比赛的结果相互独立，则前3局比赛甲都获胜的概率为P= × × = .
2 2 2 8
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
1 1 1
其中，X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X=0)= × = ；
2 2 4
X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
1 1 1 1 1
则P(X=1)= × + × = ；
2 2 2 2 2
X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
1 1 1 1
则P(X=2)= × × = ；
2 2 2 8
X=3表示前3局都是乙赢，
1 1 1 1
则P(X=3)= × × = ，
2 2 2 8
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 1 1
P
4 2 8 8
1 1 1 1 9
故X的数学期望为E(X)=0× +1× +2× +3× = .
4 2 8 8 8
