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《平方差公式》典型例题
例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
（5）
例2 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
例3 计算 ．
例4 利用平方差公式计算 ：
（1）1999×2001； （2） ．
例5 计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)
例6 计算：
（1）
（2）
例7 计算：(x2+4)(x-2)(x+2)
例8 填空
(1)(a+d)·( )=d2-a2
(2)(-xy-1)·( )=x2y2-1
例9 计算
1 / 5参考答案
例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们
的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．
解：（1）两个二项式的两项分别是 ， 和 ， 两部分的符号都不
相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（2）这两个二项式的两项分别是 ， 和 ， ，所含字母不相同，
没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．
（3） 与 ， 与 ， 与 ，没有完全相同的项，不能用平方差公式．
（4）两个二项式中， 完全相同，但 与 除去符号不同外，相同
字母的指数不同，所以不能用平方差公式．
（5） 与 ， 与 ，只有符号不同，完全相同，所以可以用平方差公式．可
用平方差公式．
例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、
符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真
观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．
解： （1）原式
（2）原式
或原式
（3）原式
2 / 5（4）原式
说明：1）乘法公式中的字母 ，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示
一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方
法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行
观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准
的形式．
例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将
原式整理为 可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有
，又有互为相反数的两项， 和 ，也可以直接用平方差公式计算，可得
．④可变形为 ，得 ．
解：
或
说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如
．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如
，两因式中都有 ，并且 与 互为相反数，
因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即 ．
例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平
方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第
3 / 5（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，
解：（1）1999×2001=
（2）
说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．
例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘
多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再
进行下面的计算.
解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)
=2a2-ab-4ab+2b2- ［ ( 2 a ) 2 - b 2 ］ 打括号
=2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)
=2a2-5ab+2b2-4a2+b2
=-2a2-5ab+3b2
说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他
项进行加、减、乘、除等运算！
例6 分析：（1）中的 都可以利用平方差
公式计算， 可以利用多项式乘法法则计算．
（2）中的 可以逆用幂的运算法则，写成 再计算
解：（1）原式
（2）原式
4 / 5说明：（1）平方差公式积适用于 类型的多项式乘法，其中 、 可
以是数，也可以是单项式或多项式．
（2）逆用幂的运算法则， 是常用的解题技巧．
（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运
用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两
数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．
例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将
可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.
解：(x2+4)(x-2)(x+2)
=(x2+4)［(x-2)(x+2)］
=(x2+4) ( x 2 -4) 用公式计算后的结果要打括号
=（x2）2-42
=x4-16
例8 分析：根据平方差公式右边a2-b2中被减数中的a代表相同的项，而减数
中的b在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d2-a2中的d在两个二项式中
皆为正，而a在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy的
项为a，即相同的项，而含1的项为b,即互为相反的项.
解：（1）
（2）
例9 分析：在式子前面添上 ，便可反复运用平方差公式，以达到简化
运算的目的．
解：原式
说明：添加 极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解
决类似问题时受益．
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