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周二
1.(2024·赣州模拟)已知甲、乙两组数据分别为22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组
数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则( )
A.甲、乙两组数据的极差不同
B.乙组数据的中位数为24
C.甲、乙两组数据的方差相同
D.甲组数据的第一四分位数为21.5
2.(2024·邵阳联考)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，已知AB=2，
CD=1，∠A=45°，点P在线段AB与线段BL上运动，则⃗EH·⃗FP的取值范围为( )
A.[-4，6] B.[0，6]
C.[0，8] D.[4，8]
x2 y2
3.(多选)(2024·湖北名校联盟联考)已知O为坐标原点，双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦
a2 b2
点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，
若AD⊥DF，则C的离心率等于( )
|OD|2 |DF|2
A. B.
|OA|·|OF| |AD|2
|AD|2 √5+1
C. -1 D.
|BD|2 2
4.(2024·开封质检)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出
1
的两个球都是红球的概率为 ，则E(ξ)= .
6
{2a -1,n为奇数,
5.(2024·新乡模拟)已知数列{a }满足a =1，a = n
n 1 n+1 3a +3,n为偶数.
n
(1)记b =a ，证明数列{b }是等比数列，并求{b }的通项公式；
n 2n-1 n n
(2)求{a }的前2n项和S ，并证明2S ≥a -2.
n 2n 2n 2n+1答案精析
8
1.C 2.C 3.BCD 4.
9
b a 3a +3 3a +3
5.解 (1)由题意可知，
n+1
=
2n+1
=
2n
=
(2n-1)+1
b a a a
n 2n-1 2n-1 2n-1
3(2a -1)+3
2n-1
= =6，
a
2n-1
所以数列{b }是首项为b =a =1，公比为6的等比数列.
n 1 1
于是b =6n-1.
n
(2)由题意可知，a =2a -1，
2n 2n-1
所以S =a +a +a +…+a
2n 1 2 3 2n
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 2n-1 2 4 2n
=(a +a +…+a )+(2a -1+2a -1+…+2a -1)
1 3 2n-1 1 3 2n-1
=3(a +a +…+a )-n
1 3 2n-1
=3(b +b +b +…+b )-n
1 2 3 n
1-6n 3 3
=3× -n= ×6n-n- .
1-6 5 5
又b =a =6n，
n+1 2n+1
6 6 1 4
令c =2S -a +2= ×6n-2n- -6n+2= ×6n-2n+ ，
n 2n 2n+1 5 5 5 5
c -c =
1
×6n+1-2(n+1)+
4
-
(1
×6n-2n+
4)
=6n-2>0，
n+1 n 5 5 5 5
所以数列{c }单调递增，
n
故c ≥c =0，即2S ≥a -2.
n 1 2n 2n+1
