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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 的分布列为：
0 1
P
设 则 的值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】由题意可知 ，
∵ ，∴ .
故选：A
2．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字 的正方体玩具．设事件 为“向上一面点数为偶
数”，事件 为“向上一面点数为6的约数”，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件 即为向上一面的点数为2或4或6，
事件 即为向上一面的点数为1或2或3或6，
事件 即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，
所以 ．
故选：D.3．在二项式 的展开式中，常数项为（ ）
A．180 B．270 C．360 D．540
【答案】A
【解析】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 .
故选：A
4．某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸
运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A．32个 B．28个 C．27个 D．24个
【答案】B
【解析】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：
①“006”组合，有 种，②“015”组合，有 种，③“024”组合，有 种，
④“033”组合，有 种，⑤“114”组合，有 种，⑥“123”组合，有 种，
⑦“222”组合，有1种.
由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有 个.
故选：B.
5．已知 ，则 （ ）
（注：若随机变量 ，则 ）
A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.4206
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
6．如果随机变量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】因为 ，即 ，
又因为随机变量 ，且 ，
则 ，解得 .
故选：D.
7．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为 ， ， ，且
各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为 ，则他三道题都答错的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且 .
恰好能答对两道题为事件 ，且 两两互斥，
所以
，
整理得 ，他三道题都答错为事件 ，
故 .
故选：C.
8．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条
移动路线．从1移动到数字 的不同路线条数记为 ，从1移动到11的事件中，跳过数字
的概率记为 ，则下列结论正确的是（ ）① ，② ，③ ，④ ．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】由题意可知 ，
则 ， ，
则①正确；显然 ，故②正确；
因为 ，经过数字5的路线共有 条.
理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，
利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有 条.
则 ，故③正确；
同理可得 即有 ，故④错误.
故选:A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．假设 是两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A选项，因为 ， ， ， ，
所以 ，A正确；
B选项，因为事件 与 相互独立，所以 与 相互独立，所以 ，B错误；
C选项， ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，D正确.
故选：AD.
10．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、
乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正
确的有（ ）
A．所有可能的方法有34种
B．若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种
C．若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】BCD
【解析】对于A，所有可能的方法有 种，故A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为 ，
另外两名同学的安排方法有 种，此种情况共有 种，
第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有 ，另外一名志愿者的排法有3种，
此种情况共有 种，
第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，
则共有 种安排方法，B正确.
对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有 种安排，C正确.
对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有 种安排，D正确.
故选：BCD.
11．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员
分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个
甜粽，现从乙款礼盒内随机取出 个粽子，其中含 个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出
一个粽子，记取到肉粽的个数为 ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，随机变量 服从两点分布B．随着 的增大， 减少， 增加
C．当 时，随机变量 服从二项分布D．随着 的增大， 增加， 减小
【答案】B
【解析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出 个粽子，含有肉粽个数 服从超几何分布，即 .故A，C错误.
其中 ，其中 ， 且 ， .
故从甲礼盒取粽子，相当于从含有 个肉粽的 个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为 .
故 ，
随机变量 服从两点分布，所以 ，
随着 的增大， 减小；
，随着 的增大， 增大.
故B正确，D错误.
故选：B.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 的展开式中各项系数的和为4，则 ．
【答案】3
【解析】令 得展开式中各项系数和，
则 ，解得 .
故答案为：3.
13．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道
题的概率均为 ，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对 道试
题的概率为 ，则当 时， 取得最大值.
【答案】13或14
【解析】由题意得 ， 且 ，
则 ，即故 又 ，所以 或 ，
故当 或 时， 取得最大值.
故答案为：13或14.
14．高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧.因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已
经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞
之间至少要有一名同学的规则.高三(一)班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，
现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞.则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为
【答案】1
【解析】由题意可设高三(一)班共有七名女生坐成一排依次为 ，
由于两侧已经摆好了两个遮阳伞，则1，7一定晒不到，
现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞，即在7位同学之间形成的空中选3个放置，共有 种放法；
设晒黑女生人数为X，则X可能取值为0，1，2，
时，若12之间放一把伞，则另外2把分别放在34，56之间，
若23之间放一把伞，则另外1把分别放在56之间，第三把放在34或45之间，
若67之间放一把伞，则另外2把分别放在23，45之间，
则 ；
时，被晒的人若是2，则23之间没有伞，34之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，
同理被晒的人若是6，则67之间没有伞，45之间必有一把伞，其余2把伞有3种放法，
被晒的人若是3或4或5，此时3把伞均有2种放法，
故 ，
，
故晒黑女生人数的数学期望为 ,
故答案为：1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活
动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中
的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为 ，乙每次套中西瓜的概率为 .
(1)求甲恰好套中1个西瓜的概率；(2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为 ，求随机变量 的分布列与
期望.
【解析】（1）依题意，甲恰好套中1个西瓜的概率为 .（5分）
（2）随机变量 的所有可能取值为 .
则随机变量 的分布列为
0 1 2
故 .（13分）
16．（15分）
某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的古钱币造型作为该活动的举办标志，举办方计
划在入口处设立一个如下图所示的造型.现拟在图中五个不同的区域栽种花卉，要求相邻的两个区域的花卉
品种不一样.
现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等5各不同的品种.
(1)（i）共有多少种不同的栽种方法；
（ⅱ）记“在③和⑤区域栽种不同的花卉”为事件A，“完成该标志花卉的栽种共用了4种不同的花
卉”为事件 ，求 ；
(2)设完成该标志的栽种所用的花卉品种数为 ，求 的概率分布及期望.
【解析】（1）（i）规定涂色顺序为：①→③→②→④→⑤，
若②和④同色，方法数为 ；
若②和④不同色，方法数为 ；所以共有 种不同的栽种方法；（5分）
（ⅱ）由题意可知： ， ，
所以 .（8分）
（2）由题意可知： 可能的取值为3，4，5，则有：
， ， ，
所以 的概率分布列为
3 4 5
期望为 .（15分）
17．（15分）
足球比赛积分规则为：球队胜一场积 分，平一场积 分，负一场积 分．常州龙城足球队 年
月将迎来主场与 队和客场与 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 队比赛：胜的概
率为 ，平的概率为 ，负的概率为 ；客场与 队比赛：胜的概率为 ，平的概率为 ，负的概率为 ，
且两场比赛结果相互独立．
(1)求常州龙城队 月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率；
(2)用 表示常州龙城队 月与 队和 队比赛获得积分之和，求 的分布列与期望．
【解析】（1）设事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分”，
，
，
，则 ，
∴常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率为 ；（7分）
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ，
，
，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：
∴ .（15分）
18．（17分）
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五
组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值 服从
正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称为 等品. 现从该品牌芯片
的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点
后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，
95]的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品
芯片的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，
使得每箱产品的利润最大.
【解析】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以 ，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 .（5分）
（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 .（10分）
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，所以 ，所以 ，
所以
.
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.
所以当 时，每箱产品利润最大.（17分）
19．（17分）
设离散型随机变量X，Y的取值分别为 ， ．定义X关于事件“
” 的条件数学期望为： ．已知条件数学期望满足全期
望公式： ．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人
员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入
药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时
刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为 ．规定 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)已知 ，证明： 随着n的增大而增大．
【解析】（1）在事件 发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则 ， ，
所以 ， ．（4分）
（2）由（1）可类似得到：在事件 发生的条件下，如果在第 天下午加入药物之后，
有 个个体分裂，则 的取值为 ．在事件 发生的条件下，令随机变量Z表示第 天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则 且 ．
因此 ．
设 的取值集合为 ，则由全期望公式可知
．
这表明 是常数列，所以 ．（11分）
（3）由（2）可知
，
这表明 是公差为10的等差数列．
又因为 ，所以 ，
从而 ．
可以看出， 随着n的增大而增大．（17分）
